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1、-高中数学必修五知识点大全-第 18 页知识点串讲 必修五第一章：解三角形111正弦定理1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。2、已知ABC中，A，,求证明出解：设则有，从而=又，所以=2评述：在ABC中，等式恒成立。3、已知ABC中，求（答案：1：2：3）1.1.2余弦定理1、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 从余弦定理，又可得到以下推论：2、在ABC中，已知，求b及A解：=cos求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos解法二
2、：sin又，即评述：解法二应注意确定A的取值范围。3、在ABC中，若，求角A（答案：A=120）113解三角形的进一步讨论1、在ABC中，已知，讨论三角形解的情况 分析：先由可进一步求出B；则 从而1当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。2当A为锐角时，如果，那么只有一解；如果，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若，则有两解；（2）若，则只有一解；（3）若，则无解。（以上解答过程详见课本第910页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。2、（1）在ABC中，已知，试判断此三角形的解的情况。（2）在ABC中
3、，若，则符合题意的b的值有_个。（3）在ABC中，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。（答案：（1）有两解；（2）0；（3）3、在ABC中，已知，判断ABC的类型。解：，即，4、（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。 （2）已知ABC满足条件，判断ABC的类型。 （答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形）5、在ABC中，面积为，求的值解：由得，则=3，即，从而 1.2解三角形应用举例1、两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？解略：a km2、 某人在M汽车站的北偏西20的方向上的
4、A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得cosC=,则sinC =1- cosC =, sinC =,所以 sinMAC = sin（120-C）= sin120cosC - cos120sinC =在MAC中，由正弦定理得 MC =35从而有MB= MC-BC=15答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。3、S=absinC
5、，S=bcsinA, S=acsinB4、在ABC中，求证：（1） （2）+=2（bccosA+cacosB+abcosC）证明：（1）根据正弦定理，可设 = = = k显然 k0，所以 左边= =右边（2）根据余弦定理的推论， 右边=2(bc+ca+ab) =(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左边变式练习1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。答案：a=6,S=9;a=12,S=185、如图，在四边形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=，求：（1）
6、 AB的长（2） 四边形ABCD的面积略解（1）因为BCD=75，ACB=45，所以 ACD=30 ，又因为BDC=45，所以 DAC=180-（75+ 45+ 30）=30， 所以 AD=DC= 在BCD中，CBD=180-（75+ 45）=60，所以 = ，BD = = 在ABD中，AB=AD+ BD-2ADBDcos75= 5,所以得 AB=（3） S= ADBDsin75=同理， S= 所以四边形ABCD的面积S=第二章：数列21数列的概念与简单表示法1、概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。辩析数列的概念：“1，2，3，4，5”与“5，
7、4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？给出首项与第n 项的定义及数列的记法：an2、数列的分类: 有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。3、数列的表示方法：项公式列表和图象等方法表示数列4、 = 2 an-1 + 1（nN，n1），（） 式称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。22 等差数列1、数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。2、个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。3、等差数列中，若m+
8、n=p+q则4、通项公式：以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为：5、迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：（迭加法）： 是等差数列，所以 两边分别相加得 所以 （迭代法）：是等差数列，则有 所以 6、 求等差数列8，5，2，的第20项.-401是不是等差数列-5，-9，-13，的项？如果是，是第几项？解：由=8，d=5-8=-3，n=20，得 由=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。 解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。7、某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为1
9、0元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费. 令=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费 答：需要支付车费23.2元。22 等差数列的前n项和1、倒序相加法求和我们用两种方法表示：（1） 由+，得 由此得到等差数列的前n项和的公式（2） 2、已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条
10、件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？ 解：由题意知 ， 将它们代入公式 得到 解这个关于与d的方程组，得到=4，d=6， 所以另解： 得 所以 -，得， 所以 代入得： 所以有 3、已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：根据 与 可知，当n1时， 当n=1时， 也满足式. 所以数列的通项公式为. 由此可知，数列是一个首项为，公差为2的等差数列。 这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前n项和，可求出通项（n1） 4、如果一个数列前n项和公式是常数项为0，且关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列.5、 已知等差数
11、列的前n项和为，求使得最大的序号n的值. 解：由题意知，等差数列的公差为，所以 于是，当n取与最接近的整数即7或8时，取最大值.6、已知数列是等差数列，Sn是其前n项和，且S6，S12-S6，S18-S12成等差数列，设成等差数列吗？生：分析题意，解决问题.解：设首项是，公差为d则：同理可得成等差数列.7、求集合的元素个数，并求这些元素的和。解由m=100，得满足此不等式的正整数n共有14个，所以集合m中的元素共有14个，从小到大可列为：7，72，73，74，714即：7，14，21，28，98这个数列是等差数列，记为其中解由m=100，得满足此不等式的正整数n共有14个，所以集合m中的元素共
12、有14个，从小到大可列为：7，72，73，74，714 即：7，14，21，28，98这个数列是等差数列，记为 其中答：集合m中共有14个元素，它们和等于7352. 3等比数列1、等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q表示（q0），即：=q（q0）2、既是等差又是等比数列的数列：非零常数列3、等比数列的通项公式1: 等比数列的通项公式2: 4、若为等比数列，则由等比数列通项公式得：，故且，5、已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。解：由题意可以设这三个数分别为
13、，得：，即得或，或， 故该三数为：1，3，9或，3，或9，3，1或，3，说明：已知三数成等比数列，一般情况下设该三数为6、数列为各项均为正数的等比数列，它的前项和为80，且前项中数值最大的项为54，它的前项和为6560，求首项和公比。解：若，则应有，与题意不符合，故。依题意有：得即得或（舍去），。由知，数列的前项中最大，得。将代入（1）得 （3），由得，即 （4），联立（3）（4）解方程组得。2.4等比数列的前n项和1、等比数列的前n项和公式：一般地，设等比数列它的前n项和是由得论同上）当时， 或 当q=1时，2、已知等比数列，求使得大于100的最小的n的值.答案：使得大于100的最小的n的值
14、为7.3、设数列的前n项和为当常数满足什么条件时，才是等比数列？答案：4、已知等比数列中, ,求.5、某商店采用分期付款元的方式促销一款价格每台为6000电的脑.商规店定，购买时先支付货款的，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为0.5%到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？解(1)因为购买电脑时,货主欠商店的货款,即6000=4000(元),又按月利率0.5%到第一个月底的欠款数应为4000(1+0.5%)=4020(元).即到第一个月底,欠款余额为4020元. (2)设第i个月底还款后的欠款数为y,则有 y=4000(1+0.5%
15、)- y=y(1+0.5%)- =4000(1+0.5%)-(1+0.5%)- y=y(1+0.5%)-y=y(1+0.5%)- =4000(1+0.5%)-(1+0.5%)-(1+0.5%)- y=y(1+0.5%)-=4000(1+0.5%)-(1+0.5%)-(1+0.5%)- -, 整理得 y =4000(1+0.5%)-.(=1,2,36) (3)因为y=0,所以 4000(1+0.5%)-=0 即每月还款数 =(元) 所以每月的款额为121.69元.第三章不等式3.1不等式与不等关系1、不等式的基本性质：（1）（2）（3）（4）2、已知求证。证明：以为，所以ab0,。于是 ，即由c
16、0 ，得3.2 一元二次不等式及其解法1、一元二次不等式的定义象这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式2、设一元二次方程的两根为，则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根的解集R的解集3、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到移项整理，得因为，所以方程有两个实数根由二次
17、函数的图象，得不等式的解为：因为x只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51-59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益4、 设，且，求的取值范围解：令由，及二次函数图象的性质可得，即，解之得因此的取值范围是3 3二元一次不等式（组）与平面区域1、画出不等式2+y60表示的平面区域。解：先画直线2+y60（画成虚线）。取原点（0，0），代入2+y6，20+0660，原点在2+y60表示的平面区域内，不等式2+y60表示的区域如图：2、线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等
18、式，故又称线性约束条件线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解3、有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见表方式效果种类轮船运输量飞机运输量粮食石油现在要在一天内运输至少粮食和石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机？答案：解：设需安排艘轮船和架
19、飞机，则即目标函数为作出可行域，如图所示作出在一组平行直线（为参数）中经过可行域内某点且和原点距离最小的直线，此直线经过直线和的交点，直线方程为：由于不是整数，而最优解中必须都是整数，所以，可行域内点不是最优解经过可行域内的整点（横、纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线经过的整点是，即为最优解则至少要安排艘轮船和架飞机 34基本不等式1、一般地，对于任意实数 、，我们有，当且仅当时，等号成立。2、如果,也可写成 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数3、已知x、y都是正数，求证：（1）2；（2）x0，当x取何值时x+有最小值，最小值是多少4、已知x，则函数f（x）4x的最大值是多少？
20、5、证明：（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.6、（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？解：（1）设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则 篱笆的长为2（）由 ，可得 2（）等号当且仅当，因此，这个矩形的长、宽为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m (2)设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则2（）=36，=18，矩形菜园的面积为，由 可得 ,可得等号当且仅当 7、用长为的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？解：设矩形的长为，则宽为，矩形面，且由（当且近当，即时取等号），由此可知，当时，有最大值答：将铁丝围成正方形时，才能有最大面积例2（教材例2）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？解：设水池底面一边的长度为，水池的总造价为元，根据题意，得当因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元