高等数学基础模拟题答案.pdf

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1、高等数学基础模拟题一、单项选择题(每小题 3 分,本题共 15 分)1.设函数f(x)的定义域为(,),则函数f(x)f(x)的图形关于(D)对称(A)y x(B)x轴(C)y轴(D)坐标原点2.当x 0时,变量(C)是无穷小量1sin x(A)(B)xxxx(C)e 1(D)2xf(1 x)f(1)x3.设f(x)e,则lim(B)x0 x(A)2e(B)e11(C)e(D)e42d4.xf(x2)dx(A)dx12(A)xf(x)(B)f(x)dx212(C)f(x)(D)xf(x)dx25.下列无穷限积分收敛的是(B)(A)(C)0e dx(B)exdx011dxdx(D)1xxx1二、

2、填空题(每小题 3 分,共 15 分)9 x21.函数y 的定义域是(1,2)U(2,3ln(x 1)x 1x 02.函数y 的间断点是X=0sin xx 03.曲线f(x)x 1在(1,2)处的切线斜率是 1/224.函数y (x 1)1的单调减少区间是(,1)5.(sin x)dx sinx+c三、计算题(每小题 9 分,共 54 分)sin6xx0sin5xsin x 2x2.设y,求y2x1.计算极限lim3.设y sin e,求4.设2xy是由方程ycos x e确定的函数,求5.计算不定积分6.计算定积分xcos3xdx2lnxdxxe1四、应用题(本题 12 分)圆柱体上底的中心

3、到下底的边沿的距离为l,问当底半径与高分别为多少时,圆柱体的体积最大?五、证明题(本题 4 分)当x 0时,证明不等式x arctanx高等数学基础模拟题答案模拟题答案一、单项选择题(每小题 3 分,本题共 15 分)1.D2.C3.B4.A5.B二、填空题(每小题 3 分,本题共 15 分)1.(1,2)(2,32.x1 03.4.(,1)5.sinxc2三、计算题(每小题 6 分,共 54 分)sin6xsin6xlimsin6x66x06x6 lim6x1.解:limx0sin5xx05sin5xsin5x55limx05x5x2.解:由导数四则运算法则得3.解:y 2e sine co

4、se e sin(2e)4.解:等式两端求微分得左端 d(ycosx)yd(cosx)cosxdy右端 d(e)e dy由此得整理后得5.解:由分部积分法得6.解:由换元积分法得四、应用题(本题 12 分)解:如图所示,圆柱体高h与底半径r满足yyxxxxxh2 r2 l2圆柱体的体积公式为将r l求导得22 h2代入得l令V 0得h 3663l,并由此解出r l即当底半径r l,高h l时,圆柱体的体3333积最大五、证明题(本题 4 分)1x2证明:设F(x)x arctan x,则有F(x)1221 x1 x当x 0时,F(x)0,故F(x)单调增加,所以当x 0时有F(x)F(0)0,

5、即不等式x arctanx成立,证毕高高 等等 数数 学学 基基 础础 练练 习习 题题一、单项选择题:一、单项选择题:(每小题 3 分,共 15 分)1设函数f(x)的定义域为(,),则函数f(x)f(x)的图形关于()对称。y x(B)x轴(C)x轴(D)坐标原点(A)2当x0 时,下列变量中是无穷小量的是()。1sin x(B)xxxx(C)e 1(D)2xf(1 x)f(1)x3设f(x)e,则lim()。x0 x11(A)2e(B)e(C)e(D)e42d24xf(x)dx()。dx12(A)xf(x)(B)f(x)dx212(C)f(x)(D)xf(x)dx2(A)5下列无穷积分收

6、敛的是()。(A)(C)01e dx(B)x0exdx11dxdx(D)1xx二、填空题:二、填空题:(每空 3 分,共 15 分)9 x21函数y的定义域是_。ln(x 1)x 1x 02函数y 的间断点是_。sin xx 03曲线f(x)x 1在点(1,2)处的切线斜率是_。24函数y (x 1)1的单调减少区间是_。5(sin x)dx _。三、计算题:三、计算题:(每小题 9 分,共 54 分)sin6xx0sin5xsin x 2x,求 y2设y 2x2x3设y sin e,求 y1计算极限:lim4设隐函数yf(x)由方程ycos x e确定,求dy5计算不定积分:yxcos3xd

7、x6计算定积分:2ln x1xdxe四、应用题:四、应用题:(本题 12 分)圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l,问当底半径与高分别为多少时,圆柱体的体积最大?五、证明题五、证明题(本题 4 分)当x0 时,证明不等式x arctanx高等数学基础样题一、单项选择题(每小题 3 分,本题共 15 分)2x 2x1.函数y 的图形关于()对称2(A)坐标原点(B)y轴(C)x轴(D)y x2.在下列指定的变化过程中,()是无穷小量11(x 0)(B)xsin(x )xxx(x )(C)ln x(x 0)(D)e(A)xsin3.下列等式中正确的是()1dx)ln xdx(B)d(ln x)x

8、xdxxx(C)d(3)3 dx(D)d(x)x1f(x)dx()4.若f(x)dx F(x)c,则x(A)F(x)(B)F(x)c(A)d(C)2F(x)c(D)2F(x)5.下列无穷限积分收敛的是()1(A)dx(B)exdx1x011dx(D)(C)dx11x2x二、填空题(每小题 3 分,共 15 分)1.函数y x 1的定义域是ln(x 1)1xx 0,在x 0处连续,则k 2.若函数f(x)(1 x)x 0 x k3.曲线f(x)x在(1,1)处的切线斜率是4.函数y ln(1x)的单调增加区间是5.2(cosx)dx sin(x 2)x2x2 4三、计算题(每小题 9 分,共 5

9、4 分)1.计算极限limx2sin x2.设y,求yxe3.设4.设y sinex,求cos2y3是由方程ln x e y确定的函数,求5.计算不定积分6.计算定积分x1xdx2e1x lnxdx四、应用题(本题 12 分)圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l,问当底半径与高分别为多少时,圆柱体的体积最大?五、证明题(本题 4 分)当x 0时,证明不等式x ln(1 x)高等数学基础样题答案一、单项选择题1.B2.A3.B4.C5.D二、填空题1.(1,2)(2,)2.e3.三、计算题14.(0,)5.cosxc22x x2 cosx sin x11x2x22xecosedx1.2.3.4

10、.2yxx(3y e)4e12345.sinc6.e x99四、应用题当底半径r 63l,高h l时,圆柱体的体积最大33高等数学基础第一次作业第 1 章函数第 2 章极限与连续(一)单项选择题下列各函数对中,()中的两个函数相等f(x)x2,g(x)xx213C.f(x)ln x,g(x)3ln xD.f(x)x 1,g(x)x 1设函数f(x)的定义域为(,),则函数f(x)f(x)的图形关于()对称A.f(x)(x),g(x)xB.A.坐标原点 B.x轴C.y轴 D.y x下列函数中为奇函数是()A.y ln(1 x)B.22y xcosxax axC.y D.y ln(1 x)2下列函

11、数中为基本初等函数是()y x 1B.y x1,x 02C.y xD.y x 01,A.下列极限存计算不正确的是()x21B.limln(1 x)0A.lim2xx 2x0sin x1C.lim 0D.limxsin 0 xxxx当x 0时,变量()是无穷小量sin x1A.B.xx1C.xsinD.ln(x 2)x若函数f(x)在点x0满足(),则f(x)在点x0连续。A.lim f(x)f(x0)B.f(x)在点x0的某个邻域内有定义xx0C.xx0lim f(x)f(x0)D.limf(x)limf(x)xx0 xx0(二)填空题x29 ln(1 x)的定义域是函数f(x)x 32已知函

12、数f(x 1)x x,则f(x)1xlim(1)x2x1x若函数f(x)(1 x),x 0,在x 0处连续,则k x 0 x k,x 1,x 0函数y 的间断点是sin x,x 0若lim f(x)A,则当x x0时,f(x)A称为xx0(三)计算题设函数求:f(2),f(0),f(1)2x 1求函数y lglg的定义域x在半径为R的半圆内内接一梯形,梯形的一个底边与半圆的直径重合,另一底边的两个端点在半圆上,试将梯形的面积表示成其高的函数sin3xx0sin2xx21求limx1sin(x 1)tan3x求limx0 x求lim1 x21求limx0sin xx 1x求lim()xx 3x2

13、6x 8求lim2x4x 5x 4设函数讨论f(x)的连续性,并写出其连续区间高等数学基础第二次作业第 3 章导数与微分(一)单项选择题设f(0)0且极限limA.f(0)B.f(0)C.f(x)D.0设x0f(x)f(x)存在,则lim()x0 xxf(x)在x0可导,则limh0f(x0 2h)f(x0)()2hA.2 f(x0)B.f(x0)C.2 f(x0)D.f(x0)设f(x)e,则A.eB.2exx0limf(1 x)f(1)()x11eD.e24设f(x)x(x 1)(x 2)(x 99),则f(0)()C.A.99B.99C.99!D.99!下列结论中正确的是()A.若f(x

14、)在点x0有极限,则在点x0可导f(x)在点x0连续,则在点x0可导C.若f(x)在点x0可导,则在点x0有极限D.若f(x)在点x0有极限,则在点x0连续当x 0时,变量()是无穷小量sin x1A.B.xx1C.xsinD.ln(x 2)x若函数f(x)在点x0满足(),则f(x)在点x0连续。A.lim f(x)f(x0)B.f(x)在点x0的某个邻域内有定义B.若xx0C.xx0lim f(x)f(x0)D.limf(x)limf(x)xx0 xx0(二)填空题12x sin,x 0设函数f(x),则f(0)xx 00,d f(ln x)x2xx设f(e)e5e,则dx曲线f(x)x

15、1在(1,2)处的切线斜率是曲线f(x)sin x在(,1)处的切线方程是42x设y x,则y 设y xln x,则y(三)计算题求下列函数的导数y:y (x x 3)ey cot x x ln xy y y y 2xx2ln xcosx 2xx3ln x x2sin xx4sin xln xsin x x2y x3xy e tan x ln x求下列函数的导数y:y e3y lncos xy y1x2x x x3x x2xy cos e cosexny sin xcosnxyyyyy2 5sin x22 esin x xex2xx2x xeee是由方程确定的函数,求:2y在下列方程中,yco

16、s x ey cos yln xx22xsin y yy x ln yln x e yy 1 e sin ye e yy 5 2求下列函数的微分dy:yxyyx32xy2 cot x cscxln xy sin x1 xy arcsin1 x1 xy 31 x2xy sin ey tanex3求下列函数的二阶导数:y xln xy xsin xy arctanx2y 3x(四)证明题设f(x)是可导的奇函数,试证f(x)是偶函数高等数学基础第三次作业第 4 章导数的应用(一)单项选择题若函数f(x)满足条件(),则存在(a,b),使得A.在(a,b)内连续B.在(a,b)内可导C.在(a,b)

17、内连续且可导D.在a,b内连续,在(a,b)内可导函数f(x)x 4x 1的单调增加区间是()A.(,2)B.(1,1)C.(2,2f()f(b)f(a)b a)D.(2,)2函数y x 4x 5在区间(6,6)内满足()A.先单调下降再单调上升 B.单调下降C.先单调上升再单调下降 D.单调上升函数f(x)满足f(x)0的点,一定是f(x)的()A.间断点 B.极值点C.驻点 D.拐点设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数,x0(a,b),若f(x)满足(),则f(x)在x0取到极小值A.f(x0)0,f(x0)0B.f(x0)0,f(x0)0C.f(x0)0,f(x0)0D.f(x0)0

18、,f(x0)0设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数,且f(x)0,f(x)0,则f(x)在此区间内是()A.单调减少且是凸的 B.单调减少且是凹的C.单调增加且是凸的 D.单调增加且是凹的设函数f(x)ax(ax)ax a在点x 1处取得极大值2,则a()32131C.0D.3A.1B.(二)填空题设f(x)在(a,b)内可导,x0(a,b),且当x x0时f(x)0,当x x0时f(x)0,则x0是f(x)的点若函数f(x)在点x0可导,且x0是f(x)的极值点,则f(x0)函数y ln(1x)的单调减少区间是2f(x)e的单调增加区间是若函数f(x)在a,b内恒有f(x)0,则f(x)

19、在a,b上的最大值是3函数f(x)25x 3x的拐点是32若点(1,0)是函数f(x)ax bx 2的拐点,则a,b 函数(三)计算题求函数y (x 1)(x 5)的单调区间和极值求函数y322x23(x2 2x)2在区间0,3内的极值点,并求最大值和最小值32试确定函数y ax bx cx d中的a,b,c,d,使函数图形过点(2,44)和点(1,10),且x 2是驻点,x 1是拐点2求曲线y 2x上的点,使其到点A(2,0)的距离最短圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L,问当底半径与高分别为多少时,圆柱体的体积最大?一体积为V的圆柱体,问底半径与高各为多少时表面积最小?欲做一个底为正方形

20、,容积为 62.5 立方米的长方体开口容器,怎样做法用料最省?从面积为S的所有矩形中,求其周长最小者从周长为L的所有矩形中,求其面积最大者(四)证明题当x 0时,证明不等式x ln(1 x)当x 0时,证明不等式ex x 1高等数学基础第四次作业第 5 章不定积分第 6 章定积分及其应用(一)单项选择题若f(x)的一个原函数是1,则f(x)()xA.lnC.xB.12x12D.3xx下列等式成立的是()f(x)dx f(x)B.df(x)f(x)dC.df(x)dx f(x)D.f(x)dx f(x)dx若f(x)cosx,则f(x)dx()A.A.sinxcB.cosxcC.sin x cD

21、.cosxcd23x f(x)dx()dx323A.f(x)B.x f(x)113C.f(x)D.f(x)33若f(x)dx F(x)c,则1x1xf(x)dx()A.F(x)cB.2F(x)cC.F(2 x)cD.F(x)c由区间a,b上的两条光滑曲线y f(x)和y g(x)以及两条直线x a和x域的面积是()A.C.b所围成的平面区ba f(x)g(x)dxB.g(x)f(x)dxabbaf(x)g(x)dxD.ba f(x)g(x)dx下列无穷限积分收敛的是()1xB.dxe1x0dx11dxD.C.dx11x2xA.(二)填空题函数f(x)的不定积分是若函数F(x)与G(x)是同一函数的原函数,则F(x)与G(x)之间有关系式dxedx 2(tanx)dx 若f(x)dx cos3x c,则f(x)1(sin x)dx 2353若无穷积分11dx收敛,则pxp(三)计算题cosx1xdx2x1dxxln xxsin2xdxexdxe13ln xdxx10exe2xdxxlnxdxln xdx2xaa1e1(四)证明题证明:若f(x)在a,a上可积并为偶函数,则证明:若f(x)在a,a上可积并为奇函数,则证明:f(x)dx 0aaf(x)dx 2f(x)dx0aaaf(x)dx f(x)f(x)dx0a

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