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1、word高二数学高二数学多面体与球 知识精讲 人教版人教版一.本周教学内容多面体与球二.重点、难点1.欧拉公式：V F E 2各面棱数之和=2 倍棱数各顶点引出棱数之和=2 倍棱数2.球：4S球 4R2V球R333.球面距离的计算：（1）求线段 AB（2）在AOB中利用余弦定理求AOB（3）AB 的球面距离为R【典型例题】【典型例题】例 1 填表棱长为 a全面积体积成异面直线的棱相邻两面二面角内切球，外接球半径正四面体正六面体正八面体3a26a2a324 对902 3a223a123 对23a324 对1arccos366aa124arccos62aa621331aa22例 2 两个平行平面截
2、半径为 5 的球，截面周长为6、8，求两个平行平面间的距离。r1 3 r2 4两圆到圆心距离为 4 或 3 两平面在圆心同侧距离为 1 两平面在圆心异侧距离为 7例 3 球面距离，地球半径为 R，求 A、B 两地的球面距离。（1）A 地：西经 50赤道上B 地：西经 110 赤道上AOB 11050 60 球面距离为3R（2）A 地：东经 70 北纬 20 B 地东经 70 南纬 70AOB 2070 90 球面距离为2R1/4word（3）A 东经 20北纬 60B 西经 160北纬 60北纬 60圆半径为 球面距离为RAB 为直径AB=RAOB 233R（4）A 东经 30赤道上 B 北纬
3、 45东经 120OA OBAOB 90 球面距离为2R例 4 求半径 R 的球的内接正四棱柱的体积最大值。解：解：底正四棱柱，底面边长为 a，侧棱长为 h4R h 2a222V a2h 111(4R2 h2)(4R2 h2)2h2(4R2 h2)h222114R2h2 4R2h2 2h238 33()R22392 3R此时，h 3例 5 正三棱锥底面边长为 1，侧棱长为 2，求内切球，外接球半径。PADB解：解：PD HC1531323CD DH CD CH CD 22363333OC2(PH PO)2 HC2PH 33312 R)2即R(33R 2 33/11PI2 MI2 PM2DM D
4、H(PH HI)2 MI2(PD DH)22/4word(3315323 5 1 r)2 r2()r 3264 33PPODHCDMIHC例 6 某元素单晶体为简单几何体，只有三角形和八边形两种晶面，共有24 个顶点，以每个顶点为端点均有三条棱，试计算该晶体为几个三角形晶面。设三角形 x 个，八边形 y 个V 24F x yE 11(3x 8y)32422136 (3x 8y)x 8 有 8 个三角形晶面2y 624 x y 236例 7 已知正方体，等边圆柱（轴截面为正方形），等边圆锥（轴截面为正），球体积相等，则表面积的大小关系。设体积为 V，正方体棱长为 a，等边圆柱底面半径为 r1，等
5、边圆锥底面半径为 r2，球半径为 r3。V aa VS正 6a 3216V333223V 2rr131VS柱 6r12354V323233V r2r233VS锥 3r2281V23233V4V r33r33S球 4r32336V343显然：S锥 S正 S柱 S球【模拟试题】【模拟试题】（答题时间：30 分钟）1.已知一个简单多面体，每个顶点都有三条棱，那么2F V（）A.2B.4C.8D.122.一个正 n 面体有 8 个顶点，每个顶点有 3 条棱，则 n=（）A.4B.5C.6D.83.如果四面体每个面均不是等腰，那么其长度不等的棱的条数最少为（）A.3B.4C.5D.64.直径为 6m、8m、10m 的铁球，熔成一个球，这个大铁球直径为（）A.6B.12C.16D.243/4word5.正方体内切球，外接球半径之比为（）A.1:2B.1:3C.1:2D.2:36.四个半径为 r 的小球，两两相切放在桌面上（下面三个上面一个）求上面小球距桌面的距离。ABDC 参考答案参考答案 1.B2.C3.A4.B5.B6.设球心为 A、B、C、D为桌面，四球两两相切，ABCD 构成正四面体棱长为 2r过 A 作AH 面 BCD 于 Hd(A,)AH r (ABHC2 61)r3D4/4