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1、 1 多面体与球 高考能力要求 多面体与球是我们生活中最常见、最基本的几何体。掌握它们的性质，会计算它们的表面积和体积是十分重要的，因此多面体和求球在高考中年年出现，其中多面体的考查依然是近几年高考的重点热点，而球有关的内容考查要求有所下降。多面体内容考查的重点是：几种特殊多面体的概念（如：锥体、柱体），多面体中有关角度、距离、面积、体积的计算；球内容考查的重点是：球的概念，球面距离、球面积、体积的计算，几何体的内切球与外接球等。球面距离的计算是球内容中的难点。其计算步骤一般是：（1）计算线段AB的长度；（2）计算AB 所对的球心角AOB；（3）利用弧长公式计算大圆弧AB的长。关于球的问题，比
2、如球的概念与性质、球面距离等在高考中多以客观题的形式出现。多面体与球的切接问题，在高考试题中有时出现，也要给予适当的重视。例题精讲 【例1】70C 分子中有类似的球状多面体结构，它有70 个顶点，以每个顶点为一端都有三条棱，各面是五边形或六边形，求70C分子中五边形和六边形的个数。分析：本题是欧拉公式的应用问题，在计算时应当注意顶点数、从顶点出发的棱数与多面体的棱数；面数及每一面的边数与多面体的棱数的关系。解：设70C分子中五边形和六边形分别有yx,个，70C这个多面体的顶点数V=70，面数F=yx，棱数E=105)703(21，根据欧拉公式可得：2105(70yx，即)1(37 yx；另一方
3、面，棱数是所有边数的一半，于是又得：105)65(21yx，即)2(21065yx 由（1）（2）可解得：25,12yx。所以70C分子中五边形有12 个，六边形有 2 25 个。【例2】如图，三棱锥P-ABC 中，已知PA BC，PA=BC=l，PA、BC 的公垂线DE=h，求三棱锥P-ABC 的体积。分析1：直接求三棱锥的体积比较困难，考虑到DE 是对棱PA 和 BC 的公垂线，可把原棱锥分割成两个三棱锥P-EBC 和 A-EBC，利用PA截面EBC，且EBC 的面积易求，从而体积可以求出。解法1：如图，连结BE，CE。DE 是 PA、BC 的公垂线，PA DE。又PA BC，PA截面EB
4、C，AESEBCVAPESVEBCEBCEBCP31,31。)(31,2121,AEPESVVVlhDEBCSBCDEEBCEBCAEBCPABCPEBChlSPAEBC26131。说明：本例的解法称为分割法，把原三棱锥分割成两个小锥体，它们有公共的底面EBC，而高的和恰为PA，因而计算简便。分析2：本题也可用补形法求解。解法2：如图，3 将ABC补成平行四边形ABCD，连结PD，则PAAD，则BC/平面PAD，故C到平面PAD的距离即为BC到平面PAD的距离。PAMN，又BCMN，BC/AD，ADMN，于是MN平面PAD。故 hlMNPDPAMNSVVVPADPADCADCPABCP261)
5、21(3131。说明：本题的解法称为补形法，将原三棱锥补形成四棱锥，利用体积互等的技巧进行转换，以达到求体积的目的。本题也可将三棱锥补成三棱柱求积，想一想，怎样做？【例3】在半径为1 的球面上有A、B、C 三点，A 和 B、A 和 C 的球面距离都是2，B 和 C 的球面距离是3，过A、B、C 作截面，求球心到截面的距离。分析：本题主要涉及到球直观图、球面距离的概念、球的性质以及球体内的线面关系，点到平面距离的求法。解法1：如图，由球面距离定义知AOB=AOC=2，3BOC。1,2,1BCACABOCOBOA。取BC中点为D，则AD BC，ODBC，BC平面ADO。平面ABC平面ADO，过O
6、作 OH AD 于 H，则OH平面ABC。27)21(2222BDABAD，OD=23，AO=1，2DOA。由面积相等，得72127123ADAODOOH，故球心到截面ABC 的距离是721。解法二：如图所示，在三锥棱O-ABC 中，过O 作 OH 垂直平面ABC 于 H，连结AH、BH、CH。rrCHBHAHOCOBOA(,为ABC的外接圆半径）。2,2ABAOB，同理2AC。又1,3BCCOBOBOC。4 47sin,4322122cosBACBAC，由正弦定理得7724721sin2BACBCr，72174122rROH，故球心到截面 ABC 的距离是721。说明：把球有关的问题转化为相
7、应的平面问题或直线与平面、多面体等方面的问题，是解决有关球的计算或证明问题的常用思路和方法。O【例4】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，D、E分别为BB1、AC1的中点（）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（）设AA1AC2AB，求二面角A1ADC1的大小 解法一（）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO12C1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD为平行四边形，EDOB ABBC，BOAC，又平面ABC平面ACC1A1，BO面ABC，故BO平面ACC1A1，ED平面ACC1A1，BDAC1，EDCC1，EDBB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线（）连接A1E
8、，由AA1AC2AB可知，A1ACC1为正方形，A1EAC1，又由ED平面ACC1A1和ED平面ADC1知平面 ADC1平面A1ACC1，A1E平面ADC1作EFAD，垂足为F，连接A1F，则A1FAD，A1FE为二面角A1ADC1的平面角 A B C D E A1 B1 C1 A B C D E A1 B1 C1 O F 5 不妨设AA1 2，则AC 2，AB2EDOB 1，EFAEEDAD23，tanA1FE3，A1FE 60 所以二面角A1ADC1为 60 解法二：（）如图，建立直角坐标系Oxyz，其中原点O为AC的中点 设A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)则C(a
9、，0，0)，C1(a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)ED（0，b，0），BB1(0，0，2c)EDBB1 0，EDBB1 又AC1(2a，0，2c)，EDAC1 0，EDAC1，所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线（）不妨设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，C(1，0，0)，A1(1，0，2)，BC(1，1，0)，AB(1，1，0)，AA1(0，0，2)，BCAB 0，BCAA1 0，即BCAB，BCAA1，又ABAA1A，BC平面A1AD 又 E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(1，0，1)，EC(1，0，1)，AE(1，0，1)，ED(0，1，0)，ECAE 0
10、，ECED 0，即ECAE，ECED，又AEEDE，EC面C1AD cosEC，BCECBC|EC|BC|12，即得EC和BC的夹角为60所以二面角A1ADC1为 60 【例5】已知如图，在多面体ABCDEF中，AB平面ACD，DE平面ACD，1,2ABDECDADAC，F为CE的中点（）求证：BF平面CDE；A B C D E A1 B1 C1 O z x y A B C E D F 6（）求多面体ABCDEF体积；（）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小(1)证明：取CD中点G，连GEAG,，则DEGFCDAG/,，DEGF21 ACDDE面，CDEACD面面，CDEAG面，又ACD
11、DEACDAB面面,，GFDEABDEAB21,/且，则四边形AGFB为平行四边形，AGBF/则CDEBF面 (2)解 连BD，则所求体积为 314433132221313131ABSBFSVVVACDCDEACDBCDEB(3)解 延长EB与DA交于H，连CH，则CH为所求二面角的棱 又F为CE中点，BFHC/CDEHC面，ECD即为面BCE与面ACD所成二面角的平面角，得45ECD 能力演练 1正四面体的内切球半径与正四面体的高之比是（）A 1：3 B 1：4 C 1：6 D 5：12 2有三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面相切，第二个球与正方体各条棱相切，第三个球过正方体各顶点，
12、则这三个球的表面积之比是（）A 1：2：3 B 1：3:2 C 33:22:1 D 1：4：9 3如图，O 是半径为1 的球的球心，点A、B、C 在球面上，OA、OB、OC 两两垂直，E、F 分别是大圆弧AB、AC 的中点，则点E、F 在该球面上的球面距离是（）D A B C E F H G 7 A 4 B 3 C 2 D 42 4把长和宽分别是8cm和cm6的长方形ABCD 沿对角线AC 折成二面角B-AC-D，使 A、B、C、D 四点在同一球面上，那么此球的表面积为（）A 2100 cm B 2400 cm C 23400cm D 2200 cm 5过正三棱锥的侧棱与底面中心作截面，已知截
13、面是等腰三角形，若侧面与底面所成的角是，则cos 。6 正方体有四个顶点在半径为R 的半球的底面上，另四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积为 。7 正四面体ABCD 的棱长为1，棱 AB/平面，则正四面体上所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是 。8已知铜的单晶的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶有24 个顶点，以每个顶点为一端都有三条棱，计算两种单晶铜的晶面的数目。9.已知正三棱锥P-ABC 的侧棱长l,两侧棱的夹角2,求其外接球的体积.8 10.如图,已知三棱锥P-ABC 中,E、F 分别是AC，AB 的中点，PEFABC,都是正三角形，.ABPF
14、（1）证明：PC平面PAB；（2）求二面角P-AB-C 的平面角的余弦值；（3）若点P、A、B、C 在一个表面积为12的球面上，求ABC的边长。参考解答：1 B 2 A 3 B 4 A 531或66 624R 721,42 8设三角形晶面有x个，八边形晶面有y个，则单晶铜的面数F=yx，又已知铜的单晶的顶点数V=24，且每个顶点的一端都有3 条棱，所以棱数E=36)243(21，由欧拉公式可得14236)(24yxyx，又由于棱数,7283,36)83(21yxyxE由上可得6,8yx，即三角形晶面有8 个，八边形晶面有6 个。9 9 如图所示,作 PD底面ABC 于 D,则 D 为正ABC的
15、中心.OD底面ABC,DOP,三点共线.2,APBlPCPBPA,sin22cos2222lllAB,sin33233lABAD,设APD,作OEPA于E,在APDRt中,lPAPEROAOPPAAD2121,sin332sin.在POERt中,2223322)sin43(2sin433sin341234,sin3412cosllVlPEPOR球 10（1）连结CF。,.,2121ABPFABCFPCAPACBCEFPF AB平面PCF。PC平面PCF，PCABPC,平面PAB。（2）PFCCFABPFAB,为所求二面角的平面角。设AB=a，则PF=EF=33232cos,23,2aaPFCaCFa。（3）设PA=x，球半径为R。PC平面PAB，PA.23,RxPB 3,1242RR，得,2xABC的边长为22。