《2022-2023学年江苏省苏州市工业园区星海实验中学高一（上）期中数学试卷（附答案详解）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年江苏省苏州市工业园区星海实验中学高一（上）期中数学试卷（附答案详解）.docx（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022-2023学年江苏省苏州市工业园区星海实验中学高一(上)期中数学试卷1 .已知集合 M = %|V% 2,N = x|0 x5,则 M n N =()A. (0,4B. (4,5C. 0,4)D. 4,52 .已知q为实数，使2,3, 2%-q NO”为真命题的一个必要不充分条件是()A. a 8B. a 10C. a 4D. a c b B. c a b C. b c a D. a b c.对印表示不超过 x 的最大整数，如3.14 = 3, 0.618 = 0, 2.71828 =-3, 我们把y= %, % 6R叫做取整函数，也称之为高斯(Gmssicm)函数，也有数学爱好者形象
2、的 称其为“地板函数”，早在十八世纪，人类史上伟大的数学家，哥廷根学派的领袖约翰卡尔 弗里德里希高斯(/。/1。九几。包/7丁诂47%八6。552几)最先提及，因此而得名“高斯(Gaassicm) 函数”.在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL 电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中，已知九6七 则lg2 + lg3 + lg沟的取值不可能为()A. 90B. 91C. 92D. 947 .若正实数x, y, z满足4Jxyz = (% + y)(y + z),则+ y + z的最大值为()A. 2B. 3C. 4D. 6
3、.整数集Z中，被4除所得余数为Z的所有整数组成一个“类”，其中0,123,记为田， 即k = xx = 4n + kfn e Z,以下判断正确的是()A. 2022 e 1B. -3 e 3C. Z = 0 U 1 U 2 U 3D.若a-bO,则整数4, b属于同一个类本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.16 .【答案】(0,1【解析】解:定义域为(0,+8)上的单调函数/(%), Vx E (0,+oo),都有+ log” = 4,则3存在正常数m,使得/(%) + logi% = m,3有/(th) = 4,即有/(zn) log3ni =因此m + log3m = 4,而函
4、数/i(m) = m + log3m在(0,+8)上单调递增，又h=4,于是得zn = 3, f(x) = log3x + 3,依题意，当 6(0,3时，q = |log3%|有两解，必有 a 0,当t G (0,3时，a = U与:上;号1，当0 V % 4 1时，函数一log3%单调递减，一1唯 6 0,+8),当1%43时，函数log?汽单调递增，log3x e (0,1,因此方程a = |log3%|在(0,3上有两解,当且仅当a = log3%在(L3上有解即可,则0 V a41,所以实数a的取值范围是故答案为：(0,1.根据给定条件，求出函数/(%)的解析式，再分段讨论即可求解作答
5、.本题主要考查分段函数零点个数求参数范围问题，考查运算求解能力，属于中档题.17 .【答案】解：(1)4 = %|/ + 2第3 0 = %|3% VI,B = xx - 2| 3 = x 3x 23 = %| - 1 % 5,所以4 n 5 = %| - 1 % ，解得ae。；当C =。时，由2-aWa,解得a之1；综上，实数的取值范围为L+8).选择条件：x E B, qz x e C,若是学的必要不充分条件，所以。星B,a 1当CW。时，由 2 QW5,解得一1 WaVl.2 a a当C =。时，2 - a 0,且a W 1),且/(4) = 0,(5 % 0.)| +血。,求得血=一1
6、,且2V%V5,故函数的定义域为(2,5).1/(4) = 0-loga(2 + m) = 0(2)当0 V a V 1时，y = 1。8式5 %)在其定义域(2,5)上单调递增，y = 108。61)在其定义域(2,5) 上单调递减，1故函数/(%) = loga(5 - %) - loga(-x +6)在其定义域(2,5)上单调递增.由于f (3) = loga2 -loga| = loga4,乙故由不等式/(2%-3) V log”，可得二求得|v%V3.当时，)/ = 108/5-)在其定义域(2,5)上单调递减， =108式5-1)在其定义域(2,5)上单调 递增，故函数/(%) =
7、 loga(5 - %) - loga(1x + m)在其定义域(2万)上单调递减.由于f(3) = loga2 -loga| = loga4,故有求得3 ”4.综上可得，当OVQ1时，不等式的解集为(3,4).【解析】(1)由题意利用对数函数的性质，求得函数的定义域.(2)由题意利用对数函数的性质，分类讨论，求得不等式的解集.本题主要考查求函数的定义域，对数函数的性质，对数不等式的解法，属于中档题.18 .【答案】解：(1)当a = 1时,/(%) = (% 2)|%+1|；当 -1时，/(%) = (%-2)(%+1)=/一%一2,/(%)在(L上单调递减，在，+8)上单 调递增，综上所述
8、：/(%)的单调递增区间为(一 8,1,白+8);单调递减区间为-1百； 乙乙(2)因为a 3,当 G 3,3时，/(%) = (% 2)(% + a) = %2 + (a 2)x 2a,当3 ?之一3,即3 4 aM 8时，/(%)在-3,浮单调递减，在早,3单调递增,.*(。)=/(竽)=吟1;当竽 8时，/(%)在% e 一3,3单调递增， 乙. g(a) = /(-3) = 15 5a,q24q4综上所述:g(a)=/ 3 a 8【解析】(1)根据自变量的范围去掉绝对值，结合二次函数的性质即可求解,(2)根据二次函数的性质分类讨论即可求解.本题主要考查函数解析式和函数单调性，属于中档题
9、.19 .【答案】解：(1)由题意知隔离室的左右两侧的长度均为x米(1工工工5),则底面长为4米,X则正面费用为360(4 x - 2 x 6),.?424184故 /(%) = 360(4 x - 2 x 6) + 4 x x 100 + 2 x 300 X 4% + 12000 = 240( + 10%) + 7680 ,XXX1 % 48t(x+1),对任意第E 1,5都成立, XX即tv5x24-16x+9210(x+l)对任意 6 1恒成立,令k = x + 1,则 = k 1, k e 2,4,/ 5/ + 16x+92 fc . 81 , 3则 00Q+l) =2 + 荻 + ?
10、而打黑之2嘉=竿，当且仅当仁写2,6取等号，故。 x2,二匚N / 、, 、 21+2-、1 2攵+2-2 2町_2%2 2一勺_2r21QX . , , 1所以g(%i) g(%2)= -22 = 2- + 2 = 2【(2 2- Q故/(%)min = -r = 49，(Wmax则% w 口2时,/(%) e py.若对于任意的%i E L2,存在%2 1,2, 使得9(%i) + mf(X2)= 5可知A G B,Q1 C 则则显然k 0,则8 =匕皿不血, o 2) +(否萍)二12X2?X111I (2X1 - 2力+ (芸金)=*%】一2刃(1 西，因为数 。，+8),%1 %2所
11、以2%2%231,2/2%21, 1 -/%o,所以g(%i) 。(%2) 0 = 9(%i) 。(%2)，所以9(%)在。,+8)上单调递增；(3)设力= g(x)|l%4 2,?X.7-X+工令2% = t E 2,4,则g(x) = 5化为y =三，易知y =字在t 2,4上单调递增， 乙17-8 =1 -4+ 2417-8 =1 -4+ 242+15故 9(%)min =-r = 49 9(X)max故4 =串乱设B = mf(x)|l % 2,oX_oXfl令2X = t 2,4,则/Q) =化为y =乙乙易知y易知y。在t e 2,4单调递增,则由福G 端词, 5则之Y ,解得【解
12、析】(1)根据已知条件用-替换工,构造一个关于-%)、g(-%)的方程，再利用函数的奇偶 性化简，与已知方程联立即可求得答案；(2)先判断，在利用定义法证明；(3)设4 = g(%)|l % 2, B = m/(x)|l % /(%)，即% /(%)与/(%) 很矛盾,若/(%) %,而 1 /(%) 3,又y = /(%)在区间1,3)上是严格增函数，则/(f(x) f Q)，即 /(%)，与/(%) %矛盾，所以当 W 1,3)时,/(%) = %；(2)由(1)知，函数y = /(%)在区间1,3)上的值域为1,3),函数y = /(% + 2)的图象可由y = /(%)的图象向左平移2
13、个单位而得，因对任意给定的实数x,总有/(% + 2) = /(%),则函数y = /(%)在R上的图象可由数y = /(%)(% e 1,3)的图像向左向右每2个单位平移而得，于是得函数y = /(%)在R上的值域为L3),由2 3得：遮 x V3,当一34%VU寸，1 % + 4 /得：%2% + 4,解得上手三刀工匕千，则有手1, 乙乙乙当一1%1时、1 % + 2 /得：%2 % + 2,解得一1三%w2,则有一1三 VI,当1 % 产得：%2 %,解得OWxWl,则有 = 1,综上得：ix/的解集是上手,1； 乙(3)因对任意给定的实数x,总有f(3x) = 3/(%),n N*,当
14、3n 4% 3九+1 时丁 有1算 1,函数y = 3%的值域是3,+8),函数y = 3-1的值域是(0刀，则取尽一切正整数，x3-n x 3一九+1 U %|1 % 3 U x3n x 3rl+1 = (0, +oo),因此，当 6(0,+8)时，/(%)=%,而y = f (%)是R上的奇函数，则当第 6(-8,0)时，-X G (0,4-00),/(%) = -f(一%) = %,又/(0) = 0,所以，X E R, /(%) = %,即函数/ (%)的表达式是/ (%) = %.【解析】(1)在函数y = /(%)(% 6 1,3)的图像任取点，推导可得/(/(%) = x,再结合
15、严格递增推理作答；(2)根据给定条件结合(1)可得y = /(%)的值域23),在/ ”符号，并逐渐被数学届接受，不 等号的引入对不等式的发展影响深远，若a、b、CGR,则下列命题正确的是()A.若q b 0,则Ge? be2B.右q b,C.若0 a Z? 1,则log/ b 0, m 0,则今空 - a+m a11 .下列命题，其中正确的命题是()A.函数y =(/+2久+3的最大值为B.函数y = 7 + 6% -2的减区间是+8)C.若3a =d=36,则：为 1 a bD.已知/(%)在 R 上是增函数，若/(a)+f(b) /(a)+/(b),则a + b012 .若/(%)的定义
16、域为R,且满足/(3%+1)为偶函数，/。-1)关于(3,2)成中心对称，则下 列说法正确的是()A. /(%)的一个周期为6B. /(%)的一条对称轴为 = 9C. /(34) = 2D. /(1)+/(2) +-+/(11) = 22.命题“V% 0, %2 3%”的否定为. o2771313 .已知幕函数、= %一(meN*)的图像关于y轴对称，且在(0,+8)上是递减的，则m =.14 .设正数a, Z?满足b - a 2,若关于x的不等式(小-4)x2 + 4bx - b2 0的解集中的整数解恰有4个，则。的取值范围是.15 .已知/(%)是定义域为(0,+8)的单调函数，若对任意的
17、 6(0,+8),都有/(%) +logix = 4,且方程(%) - 3| = a在区间(0,3上有两解，则实数a的取值范围是.316 .已知集合Z = xx2 + 2% 3 0, B = xx - 2| V 3, C = xa x 0,且a H 1),且/(4) = 0.(1)求/(%)的定义域；(2)求不等式/(2% - 3) log”的解集.18 .已知函数/(%) = (% 2)|x + a.(1)当Q = 1时，求函数/(%)的单调区间；(2)当2 3,函数/(%)在3,3的最小值记为。色)，求g(a)的表达式.19 .新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生的安全，拟借助校门口一
18、侧原有墙体，建 造一间高为4米，底面为24平方米，背面靠墙的长方体形状的隔离室.隔离室的正面需开一 扇安全门，此门高为2米，长为底边长的点为节省费用，此室的后背靠墙，无需建造费用，只 需粉饰.甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧为每平方米300元，已有 墙体粉饰每平方米100元，屋顶和地面报价共计12000元.设隔离室的左右两侧的长度均为 x 米(1 % 5).(1)记y为甲工程队报价，求y = /Q)的解析式；(2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为480X+1)元,是否存x 在实数无论左右两侧长为多少，乙工程队都能竞标成功，若存在，求出，满足的条件；
19、若 不存在，请说明理由.20 .已知奇函数/(%)和偶函数g(x)满足/(%) + g(x) = 2X.(1)求/(%)和g(x)的解析式；(2)判断并证明g(%)在。+8)上的单调性；(3)若对于任意的1 e L2,存在%2 G 1,2,使得g(%i) + m/(%2)= 5,求实数机的取值范围.21 .已知定义在R上的函数y = /(x)满足：y = /(%)在区间L3)上是严格增函数，且其在区 间口3)上的图像关于直线y = %成轴对称.(1)求证：当 1,3)时,/(%)=%；(2)若对任意给定的实数了,总有/(% + 2) =/(%),解不等式(3)若y = /(%)是R上的奇函数，
20、且对任意给定的实数%,总有/(3%) = 3/(%),求/(%)的表达 式.答案和解析.【答案】C【解析】解：因为M = x4x 2 = %|0 % 4, N = %|0 % 0”为真命题的一个必要不充分条件是a 0),则t 1,则有y = t+；,由对勾函数的性质可知在(1,+8)上单调递增，即、= + ?-%在(0,+8)上单调递 增，符号题意.故选：D.2根据基函数的性质可知判断函数y =若为偶函数，且在(0,+8)上单调递增，再对4个选项逐一判 断即可.本题考查了函数的奇偶性及单调性，属于中档题.3 .【答案】D【解析】解：当Q = 0时，/(%) = -X-1,此时/(%)只有一个零
21、点，零点为一 1,不符合要求； 当QHO时，函数/(%)为二次函数，/(0) = -1 0,解得q1.故选：D.分类讨论a = 0和a W 0两种情况，再利用零点存在性定理和二次函数的图象性质列不等式求解即 可.本题主要考查了函数零点的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题.4 .【答案】D1【解析】解：y = %一9定义域为(一8,0) U (0,+8),且在(-8,0)与(0,+8)上均为减函数, 1 1且当 6 (-8,0)上，丫 = %一?0恒成立，当 6(0,+8)上，y = %/o恒成立，便+ 1 0故弓-%To或3 一 2” 。,3 2x x + 1(3 2% % + 1解得
22、：% -1,解得：。，解得：|%|,综上：不等式的解为(8,1) U (|,|).故选：D. 1 1先求出函数y = %”的定义域，单调性，且当 e (一8,0)上,)/ =0恒成立，从而分三种情况，列出不等式组，求出解集.本题主要考查了幕函数性质在不等式求解中的应用，属于基础题.5 .【答案】A【解析】解：因为a = log68 1 = log66, b = log43 1 = log77, 所以b的值最小，C,。错误，又610g79 =(7 X今1限9 = 71呜9 X (乎密9 = 9 X (乎咱9 9 X )1附7 =六8,所以6麟79 8 log79 log68 c c b.故选：A
23、.先由三个实数的初值比较大小排除一些答案，在进一步比较，从而得出结果.本题主要考查了对数值大小比较中的应用，属于基础题.6 .【答案】B【解析】解：当时，0lg%Vl,故Igx = 0,当 10 4% 99 时，1 Igx 2,故lg% = 1,当 100 4工工999时,2 Igx 3,故1g% = 2,当 10 4九4 99 且九 e N+时,f(n) = lg2 + lg3 4Flgn = 8x0 + (n-10 + l)xl=n - 9,令九 9 = 90,解得：n = 99EN+，A正确；当 100 n 999且九 G N+时，f(n) = lg2 + lg3 41- Ign = 8
24、x0 + 90xl + (n - 99) x 2 =2n- 108,令2n一 108 = 92,解得：n = 100 e /V+,令2九一 108 = 94,解得：n = 101 e /V+,QQ令2九一108 = 91,解得：n =*比N+，故lg2 + lg3 +lgn的取值不可能是91.故选：B.通过分析得到当 10 n 99且九 G N+时,f(n) = lg2 + lg3 4I-Ign = n - 9,当 100 n 2yjxyz(x + y + z),即2 2+ y + z),所以 + y + z cl b 4(九一电)+ (h k2)，9 a b E 0,kr k2 = 0,即七
25、=k2 ,整数a, /?属于同一个类，D正确.故选：CD.根据给定的定义，计算判断A, B；推理判断C,。作答.本题考查元素与集合的关系，化归转化思想，属中档题.10 .【答案】BD【解析】解：对于A选项，当c = 0时，ac2 = be2, A错;对于8选项，若a b, - 则工一。=也三0,所以，ab 0, b 0, 8对; a b a b ab对于 C 选项，因为 0 VaVb 1,则Iga Igb 0,所以，10gQ10gbC=髭-霭所以，10gQ10gbC=髭-霭嚅臀 。，Mogaclogbc, C错;对于。选项，若a b 0, m 0,则空a-Fm aa(6+m)-6(a+m)m(
26、a-b)a(a+m)a(a+m) 0,所以空。对.a+m a故选：BD.取。=0可判断A选项；利用作差法可判断3s选项.本题主要考查了不等式的性质，考查了对数的运算性质，属于基础题.11 .【答案】ACD【解析】解：A 选项：设/(%) = %2 + 2% + 3 = (% + I)2 + 2 2, 由y=4尸在R单调递减，所以y = (%)工点2=故4正确； B选项：由7 + 6% %2n0 = -14%7,所以函数的定义域为-L7,此时函数y = 7 + 6% - -在7单调递减, 所以原函数的单调减区间为3,7,故3错误；C选项：由3a =d=36 = a = log336, b = l
27、og436, I 71所以Z + 石=谴云 + 136 = 210g363 + log364 = log369 + 10g364 = log3636 = 1,故 C 正确； 344。选项：假设a + b0,则a b b -a,由/(%)在R上是增函数，所以7(a)Mf(-b), /(b) /(-a), 所以f + f(b) /(-a) + /(-Q矛盾, 所以当函数f(%)在R上是增函数时， 若/(Q)+f(b) /(Q)+/(b)，则a + b0，故。正确. 故选：ACD.A选项，先求/(%) = /+ 2%+ 3的值域，再利用y =)”单调性求最值；3选项先求函数的定义 域，在求函数y =
28、 7 +6%-的减区间；。选项指数化为对数进行化简即；。选项，利用函数单 调性及e h的关系判断.本题主要考查复合函数的单调性，函数最值的求法，命题真假的判断，考查运算求解能力，属于 中档题.12 .【答案】BCD【解析懈：因为f(3x + 1)为偶函数,W(1 - 3%) = /(I + 3%),令t = 3%,可得/(I t)= f(l + t), 因为函数/(% - 1)关于点(3,2)对称，设9(%) = f (% - 1)，则。(%) + g(6 - %) = 4,即/(% - 1) + /(5 -x) = 4, 所以,/(x)+/(4-x) = 4,则/+1)+/(3 ，= 4,故
29、/(I -t)+ /(3 - t) = 4,即/(%) + /(% + 2) = 4,故f (% + 2)+ /(% + 4) = 4, 所以，/(% + 4) = /(%).对于A选项，/(X)的一个周期为4, A错；对于3选项，因为/(18-) =/(2-) =/(%),故函数/(%)的一条对称轴为 = 9, 3对； 对于。选项，因为/(%)+/(4-) = 4,则函数/(%)的图象关于点(2,2)对称, 又因为函数/(%)的定义域为凡 则“2) = 2,则/(34) = /4x8 + 2) = /(2) = 2, C对;对于力选项，/(1)+/(3) = 4, “2) = 2, /(4)
30、=/(0)=/(2) = 2,因此/(I) + / (2) + +/(11) = 3/(1) + /(2) + f (3) + /(4) 一 /(12) = 3x8-/(4) = 22, Q 对. 故选：BCD.根据题意推导出函数/(%)的周期，可判断A选项;利用函数周期性和对称性的定义可判断3选项； 利用函数的周期性可判断CD选项.本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题.13 .【答案】3% 0, %2 0, %2 0, %2 3%.利用全称量词命题的否定可得出结论.本题主要考查全称命题的否定，属于基础题.14 .【答案】1【解析】解：.幕函数y = x7712 2nl
31、3（血e N*）的图象关于y轴对称，且在（0,+8）上是减函数,. m2 - 2m - 3是偶数且.2晨朗一 3 V 0,解得：m = 1.故答案为：1.根据幕函数的性质可知加2 2m - 3是偶数且# - 3 0,计算求解即可得m的值.本题主要考查了嘉函数的定义和性质，属于基础题.15.【答案】（2,4）【解析】解：由不等式(q2 - 4)x2 + 4bx - b2 0得：(q + 2)x - b(a - 2)x + b 2, 1,贝!J有一 则四个整数解为：3, -2, -1, 0,所以一4 3,a2即3 V工 4 = 3a - 6 V b 4 4a 8, a-2又b a 2,所以b V 2 + Q,所以 3a 6v2 + q = 2q8,所以a 2,所以a的取值范围为：（2,4）.故答案为：（2,4）.根据题意解出不等式，利用已知得条件分析即可得出结果.