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1、椭圆专项训练一、单选题（共8小题）1 .已知椭圆一个焦点（2,0）,离心率为;，则椭圆的标准方程（）A. +=1B. f+3=lC上十足=1De+足=1J 12 十 16 116 十 12 1【答案】D【解析】因为椭圆一个焦点（2,0）,所以椭圆的的焦点在横轴上，且。=2,又因为该概Ifl圆的离心率为E，所以有=4,所以户=4d= 164= 12,因此#有圆的方程为记十 *12= 1.故选 D.2.如图，已知椭圆C的中心为原点。，尸（一2小，0）为C的左焦点，尸为C上一点,满足|OP| = |OQ,且伊川=4,则椭圆C的方程为（）25+Bx2 _C 30+10【答案】B【解析】由题意可得c=2
2、小，设右焦点为F,【解析】由题意可得c=2小，设右焦点为F,由|OP| = |OF| = |OF |知NPF尸=/FPO, NO尸 P= NOPF,所以 NPF尸 +NO尸 P=NFPO+NOPF ,由 /PFF +NO尸 P+NY）+NOP尸 =180。知/尸尸。+/0F产=90。，即 P/7, P尸.在 RtAPFF 中，由勾股定理，得仍尸|=，底尸2_p尸=叱4小）242=8,由椭圆定义，得仍回+尸I =2a=4+8=12,从而=6,得病=36,于是户=42一。2=3620= 16,所以椭圆的方程为72+受=1.故选B.36 lo3 .已知方程七+=1表示焦点在），轴上的椭圆，则实数小的
3、取值范围是（）A. (-6, 1)C. (-1,4)【答案】AA. (-6, 1)C. (-1,4)【答案】AB. (一6, -1)U(-1,4)D. (, 6)U(4, +0)6+?0,【解析】因为方程表示椭圆，且焦点在），轴上，则有一?0,解得一6V?V、6+？V4-7,I.故选A.4 .椭圆C：5+5=1（0人3）上恰有4个不同的点E（i=l,2,3,4）满足|P网=2/阊，其 中A（l,0）, 8（4,0）,则椭圆C的离心率的取值范围为（）A.卜,坐）B,（0,明C.殍,1）D.停 1）【答案】D【解析】设P（x,），），则|P8| = 2|%|,即.（.1-4）2+.=24。- 1产
4、+产,化简得到十产=4,即横圆与圆有4个交点，故力V2,卓 故le乎.故选D. ,5.已知B，B是椭圆C：+=1（。0）的左右焦点，点M是过原点。且倾斜角为60。的直 线/与椭圆。的一个交点，且|加I+加z| = |痴卜L/赤2卜则椭圆C的离心率为（）A. 1B. 2一小C.5-ID.当【答案】C【解析】不妨设M在第一象限，由|加|+必月| = |加L加z|，两边平方后化简得 证i.加2=0,所以语L旎.在 RtZkMR尸2 中，VZMOF2=60, OM=c, OF2=ct ZA/F2Fi=60, MF2=c, |A/Fi|=V3c,由椭圆定义可知眼/引 + 眼”|=。+小c=2a,所以离
5、心率e=1=；小=小 f.故选C.226.已知椭圆C：，+=1（4。0）的一条弦所在的直线方程是2x+），-9=0,弦的中 点坐标是用（41），则椭圆。的离心率是（）A. 1B.当C西D近J 32【答案】B【解析】设交点坐标分别为(XI, 3,1), (%2, ,2),则【解析】设交点坐标分别为(XI, 3,1), (%2, ,2),则mf,v2f +-+ 3767二两式作差得(汨+工2)(汨一也)| ()1+)2)。1一12)_ 工上山上 .o13 公滔+ 2=0,而 M(4,I)是交点的中点，片+刈=8, yi+”=2,结合已知直线方程，有：；_：；=_*=2,又.从=/一2, 1 /=/
6、，可得e=乎.故选B.7.己知|成|=3, 4, 6分别在y轴和x轴上运动，O为原点，OP=oAOA,则动点P的轨迹方程是()A. +)2=1B.+片=1C. +)2=1D. f+=i【答案】A 1，2【解析】设P(x, y), A(0, yo), 8(的,0),由已知得(x,)，)=0,闻+5(沏0),即1=/，=p?o,所以演)=|x, ,o=3y.因为|丽=3,所以 H+M=9,即&+(35)2=9,整理得动点P的就迹方程是+F= 1.故选A. 48.已知点。在椭圆+王=1上运动，点Q在圆(x1)2+产=得上运动，则|PQ|的最小 7 JO值为()A. 2B.手C. 2一手D.手【答案】
7、D【解析】设点P(x, y),则古+,= 1，得)2=3一,，圆(x1)2+)?=2的圆心A(l,0),半 7 JJO径为则AP|2=(x1)2+)?=/2x+I+3-彳=某一2x+4, x3, 3,令/心)=多2Zv+4, x 3,3,对称轴为x=点所以当x=，时，(x)取得最小值(|)=1X +4=|,所以|AP|的最小值为手，所以|PQ|的最小值为手一乎=乎.故选D.二、多选题(共2小题)9.已知椭圆C：则下列结论正确的有()A. PQB的周长为8B. PFiB的最大面积为的左、右两个焦点分别为Fi，尸2, P为椭圆上一动点，C.存在点P使得了I国2=()D. IPM + IPQI的最大
8、值为5【答案】AB【解析】对于A,由椭圆C：5+?=l,可得的周长为|PFi| + |PF2| + |FiBI=2X3 + 2亚仄=8,故A正确；对于B,当P为椭圆短轴顶点时，的面积最大，且最大 面积为S=：X2X2吸=2啦，故B正确；对于C,当P为辅圆短轴顶点时，NQP乃为最 大，此时cosNBPBn1 2|&巾晨 =2X3X3=90即/产砂用为锐角，所以不 存在点P使得际i即2=0,故C错误；对于D,由椭圆C:，+?=1,所以尸2(1,0),又因 为(1,1),所以|用问=7(1 一 1+(0 1产=1,所以|PM + |PEI = |PM+6-|PB|=6+|PM 一|尸尸2|W6+|M
9、Fd = 7,故D错误.故选AB.2。10.已知椭圆方=l(QQ0)的左、右焦点分别是Q, B，P是椭圆上一点，若IPQI =2|P&|,则椭圆的离心率可以是()A- 5B- 4C, 3D, 3【答案】CD4【解析】由楠圆的定义，可得|PR| + |PBI = 2a.又因为|人| = 2|尸尸2,所以|PQI=?d IPBI 2_2=/ 当点户与尸2不共线时，在PQ尸2中，IPQI一俨BIVIQBI,即?V2c,所以e =1:当点夕与人，尸2共线时，分析知|PQ|=a+c, |PBI=ac,所以+c=25一 c), a J即a=3c,所以e=；.综上，椭圆的离心率的取值范围是:，1).故选CD
10、.三、填空题(共4小题)、21 1 .若点八(I ,6)在椭圆，+= 1的内部，则实数7的取值范围是.【答案】(一也，也)【解析】点A(l, ?)在椭圆与+?=1的内部，4+*1,整理得m2V2,解得一地 乙 *14112.已知椭圆C+=1（。匕0）的左、右焦点分别为R，尸2,离心率为*过B 的直线与椭圆C交于A, B两点.若QA8的周长为16,则椭圆方程为.【答案亳+711c 1【解析】由/iA8的周长为16可得4=16,所以。=4,因为离心率为弓，即一=5，所 /d /,2以c=2,可得力2=*/=12,所以椭圆方程为器+为=1.7213 . （2021年镇江模拟）已知椭圆$+方=13匕0
11、）的左、右焦点分别为R, B,右顶 点为A,点P在过点A且垂直于x轴的直线/上，当2P的外接圆面积达最小时，以长 等于半焦距，则该椭圆的离心率为.【答案】乎【解析】如图，设RB尸的外接圆的圆心为0,则0在FiB的垂直平分线上，又 点P在x=a上，0在），轴上，.|。 P|2a,即当F1F2尸的外接圆的半径为I。 P=a 时，面积最小，由题意可知|以| = |0 0=cf 0 P = 0 F2=a,在RtZk。 中，+ （r=a2,即 6=察14 .已知圆G： （x+2）2+2=81和圆Q：（刀一2）2+）2=9,动圆”与圆G内切，与圆 G外切，则动圆圆心M点的轨迹方程是.【答案】各以=1【解析
12、】由题可得圆G的圆心为G（-2,0）,半径为门=9,圆C2的圆心为。2（2,0）,半 径为2=3,设动圆M的半径为,，因为动圆M与圆G内切，则由题可知圆M在圆Ci内部， 所以|MG|=9r.因为动圆M与圆 J外切，所以|MC2|=3+r,则|MCi|+|MC2|= 12屿。2|, 所以圆心M点的轨迹是以G,。2为焦点的椭圆，即=6, c=2,则/=/一=32,所以 圆心M点的枕迹方程是号+写=1.四、解答题（共2小题）15 .已知椭圆C：，+5=的离心率为坐，椭圆上长轴顶点和短轴顶点的距离为小.(1)求椭圆。的方程；(2)过椭圆的左焦点且斜率为2的直线/交椭圆于人，B两点,求|AB|.解：(1
13、)由题意得6=?=坐，即。=小a短轴一个顶点到长轴一个顶点的距离为小，即 b2+a2=(y/5)2=5f 而 a2=b2+c2,所以/=3,护=2.?2所以椭圆C的方程为+= 1.由得左焦点(一1,0),直线/的方程：y=2(x+l),联立直线/与椭圆的方程，消去y整理得7+ 1+ 3=0,123设 &工，)，)，B(x , y),所以xxf =,.所以H3| =勺l+icl(x+ JW =y 1 +4X4(一写了4X,= 1?.16 .椭圆C： +9=1的左、右焦点分别为F2, P为椭圆C上一点.(1)当P为椭圆C的上顶点时，求NRP&;(2)若RP16P，求满足条件的点P的个数(直接写答案
14、);(3)直线y=*x1)与椭圆。交于点A, B,若|A用=5，求上解：(1)因为椭圆C:解：(1)因为椭圆C:鸿=1的左、右焦点分别为Q,/2, P为椭圆。的上顶点,所以 F1(1,0),尸2(1,0), P(0,小).所以仍产1| =仍同| = 2, |尸|乃| = 2,所以/产&=60.(2)若QP_LBP,满足条件的点P的个数为0.(3)设 A(xi, yi), 8(x2, J2),联立 o 24+f=,， ,y=k(x-)可得(4公+3)8 三t+4K 12=0,所以片+也=8标4+3,4-12X,X2=4FfT-所以|A3| = d(l+K)(总+M)24即也=(I +()(j磊衰;：=黑普 =16彳解得k= 土木.