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1、第第 1616 讲讲 相似三角形相似三角形一、 知识清单梳理知识点一：比例线段 关键点拨与对应举例1.比例线段在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例ac bd线段列比例等式时，注意四条线段的大小 顺序，防止出现比例混乱.2.比例 的基 本性 质(1)基本性质： adbc；（b、d0）ac bd(2)合比性质：；（b、d0）ac bdab bcd d(3 ) 等比性质：k(bdn0)ac bdm nk.（b、d、 、n0）. .acm bdn 已知比例式的值，求相关字母代数式 的值，常用引入参数法，将所有的量 都统一用含
2、同一个参数的式子表示， 再求代数式的值，也可以用给出的字 母中 的一个表示出其他的字母，再 代入求解.如下题可设 a =3k,b=5k,再 代入所求式子，也可以把原式变形得 a=3/5b 代入求解.例：若，则.3 5a bab b（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3l4l5，则.ABDE BCEF（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的 延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若 ABCD，则.OAOB ODOC3.平行线 分线段 成比例 定理（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交， 所构成的三角形和原三角形相似 如图所示，若 DEBC，
3、则ADEABC.利用平行线所截线段成比例求线段长 或线段比时，注意根据图形列出比例 等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知 D，E 分别是ABC 的 边 BC 和 AC 上的点，AE=2，CE=3，要 使 DEAB，那么 BC：CD 应等于.4.黄金分 割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果=0.618，那么线段AB被点C黄金分割其中点C叫AC AB512做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比例：把长为 10cm 的线段进行黄金分 割，那么较长线段长为 cm知识点二 ：相似三角形的性质与判定FEDCBAl5l4l3l2l1ODCBAEDCBA(1) 两角对应相等的两个
4、三角 形相似(AAA). 如图，若 AD，BE， 则ABCDEF.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个 三角形相似 如图，若AD，则ABCDEF.ACAB DFDE5.相似三 角形的 判定(3) 三边对应成比例的两个三角形相似如图，若，则ABACBC DEDFEFABCDEF.判定三角形相似的思路：条件中若 有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定； 条 件中若有 一对等角，可再找一对等角 或再找 夹这对等角的两组边对应成比例； 条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等； 条件 中若有一对直角，可考虑再找一对等 角或证 明直角边和斜边对应成比例；条件 中若有 等腰关系，可找顶角相等或找一对底
5、 角相等 或找底、腰对应成比例.6.相似 三角形的 性质(1)对应角相等，对应边成比例(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比例：(1)已知ABCDEF，ABC 的 周长为 3，DEF 的周长为 2，则 ABC 与DEF 的面积之比为 9：4. (2) 如图，DEBC， AFBC,已知 SADE:S ABC=1:4，则 AF:AG=1：2. 7.相似三 角形的基 本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基 本图形，可以迅速找到解题思路， 事半功倍. （2）证明等积式或者比例式的一般方 法：经常把等积式化为比例式，把 比
6、例式的四条线段分别看做两个三 角形的对应边.然后，通过证明这 两个三角形相似，从而得出结果.二、经典试做 1已知ABCDEF，A80，B20， 那么DEF的各角的度数分别是_2如图 27211，直线CDEF，若OE7，CE4，则_.OD OF图 27211 3已知ABCABC，如果AC6，AC2.4，那么ABC与ABC 的相似比为_ 4如图若BADCAE，EC，则_.FEDCBAFEDCBAFEDCBA5如图 27213，DEFGBC，图中共有相似三角形( ) A2 对 B3 对 C4 对 D5 对图 272136在ABC和ABC中，有下列条件：；AA；CC.AB ABBC BCBC BCAC
7、 AC 如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断ABCABC的共有( ) A1 组 B2 组 C3 组 D4 组 7如图 27214，BAC90，ADBC于点D，求证：AD2CDBD.9如图 27215，已知ABC，延长BC到点D，使CDBC.取AB的中点F，连接FD交AC于点E.(1)求的值；AE AC (2)若ABa，FBEC，求AC的长图 2721510如图 27216，在 RtABC中，A90，AB8，AC6.若动点D从点B出发， 沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒 2 个单位长度过点D作DEBC交AC于点 E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y. (1)求出y关于x的函数关
8、系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求出BDE的面积S与x之间的函数关系式； (3)当x为何值时，BDE的面积S有最大值，最大值为多少？4已知ABC和DEF相似且对应中线的比为 34，则ABC和DEF的周长比为 _ 5高为 3 米的木箱在地面上的影长为 12 米，此时测得一建筑物在水面上的影长为 36 米， 则该建筑物的高度为_米 7如图 27226，直立在B处的标杆AB2.4 m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶 A、树顶C在同一条 直线上(点F，B，D也在同一条直线上)已知BD8 m，FB2.5 m， 人高EF1.5 m，求树高CD.图 272269如图在ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DECD.1 2 (1)求证：ABFCEB； (2)若DEF的面积为 2，求ABCD的面积图 272289如图 27315，在 68 的网格图中，每个小正方形边长均为 1，点O和ABC的顶点均 为小正方形的顶点 (1)以O为位似中心，在网格图中作ABC，使ABC和ABC位似，且位 似比为 12； (2)连接(1)中的AA，求四边形AACC的周长(结果保留根号)图 27315