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1、培优专题21与概率有关的创新问题探究（含转盘、比赛、创新题探究等）【巩固训I练】1. （2022.河北保定.二模）嘉嘉用大小和形状都完全一样的正方形按照一定规律排放了一组图案（如下图），每个图案中他只在最下面的正方形上写“城”字，寓意“众志成城，抗击 疫情其中第（1）个图案中有1个正方形，第（2）个图案中有3个正方形，第（3）个 图案中有6个正方形，按照此规律，从第（10）个图案中随机抽取一个正方形，抽到带“城”字正方形的概率是（）a. nB- nD-1A.116B-【答案】A【分析】先根据图形得出第10个图形中，正方体一共有1+2 + 3 + 9+10=55个，再用带“城”字的正方体个数除以
2、总个数即可得.【详解】解：第1个图形中正方体的个数为1, 第2个图形中正方体的个数3 = 1+2,第3个图形中正方体的个数6=1+2+3, 工第10个图形中，正方体一共有1+2 + 3 + 10=55 （个），其中写有“城字的正方 体有10个,10 2抽到带“城”字正方体的概率是三二5 JL JL应选：A.【点睛】此题主要考查概率公式及图形的变化规律，解题的关键是得出第1。个图形中正方 体个数和概率公式.2.（2022全国九年级课时练习）“新冠病毒”的英语单词“中，字母”出现的频率是【答案】B【分析】根据频率的定义求解即可.【详解】解：新冠病毒的英语单词Wove/cos似应ms”中共有16个字
3、母，“0”出现了 3次,3字母“。”出现的频率是三16应选:B.【点睛】此题考查频数与频率，解题的关键是理解频率的定义，属于中考常考题型.3. （2021 .江苏.九年级专题练习）在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的 数量,他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取 出100粒豆子，发现其中8粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量 约为（）粒.A. 125B. 1250C. 250D. 2500【答案】B【分析】设瓶子中有豆子X粒，根据取出100粒刚好有记号的8粒列出算式，再进行计算 即可.【详解】设瓶子中有豆子1粒豆子，根据题意
4、得：图=之，x 100解得：尸1250,经检验：尸1250是原分式方程的解，答：估计瓶子中豆子的数量约为1250粒.应选：B.【点睛】此题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体 进行估算是统计学中最常用的估算方法.4.（2022山东烟台九年级期末）小南观察某个红绿灯口，发现红灯时间20秒，黄灯5秒，绿灯15秒，当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（）1113A. -B. ：C. -D. 13288【答案】D【分析】直接利用概率的意义即可求出出遇到绿灯的概率.【详解】解：:红灯时间20秒，黄灯5秒，绿灯15秒，遇到绿灯的概率是遇到绿灯的概率是1520 + 5 + 1
5、5应选：D.【点睛】此题主要考察概率的意义以及概率求法，正确理解概率的意义是解题关键.5. （2022.全国.九年级单元测试）某篮球运发动去年共参加40场比赛，其中3分球的命中 率为0.25,平均每场有12次3分球未投中.该运发动去年的比赛中共投出多少个3分球？共投中多少个3分球？在其中的一场比赛中，该运发动3分球共出手20次，小明说，该运发动这场比赛中一 定投中了 5个3分球，你认为小明的说法正确吗？请说明理由.【答案】共投出640个3分球，共投中160个3分球说法不正确；理由见解析【分析】（1）设该运发动共出手九个3分球，那么3分球命中0.25x个，未投中0.75x个，根 据“某篮球运发动
6、去年共参加40场比赛，平均每场有12次3分球未投中”列出方程，解方 程即可；（2）根据概率的意义知某事件发生的概率，就是在大量重复试验的基础上事件发生的频率 稳定到的某个值；由此加以理解即可.（1） 解：设该运发动共投出x个3分球.3分球的命中率为0.25,A3分球的未命中率为1-0.25 = 0.75.十 ZH 0.75x根据题意，得=12.40解得x=640.0.25x=0.25x640 = 160（个）.答：运发动去年的比赛中共投出640个3分球，共投中160个3分球.（2） 解：小明的说法不正确；3分球的命中率为0.25,是相对于40场比赛来说的，而在其中的 一场比赛中，虽然该运发动3
7、分球共出手20次，但是该运发动在这场比赛中不一定投中了 5个3分球.【点睛】此题考查了一元一次方程的应用、概率的意义.解题的关键是理解概率的意义.6. （2022.山西大附中一模）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活 动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择：方案一：是直接获得20元的礼金卷；方案二：是得到一次摇奖的机会.规那么如下：如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如 表）决定送礼金券的多少.指针指向两红一红一蓝两蓝礼金
8、券 （元）189184款B款请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率.如果一名顾客当天在本店购物满200元，假设只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选 择哪种方案较为实惠.【答案】，（2）方案一，见解析；【分析】（1）根据列表法（或画树状图法）求指针分别指向一红区和一蓝区的概率即可； （2）根据（1）的树状图求出方案二的平均收益即可判断；解：由题可知，转盘A中红色区域的圆心角的度数是蓝色区域的圆心角的度数的2倍，转 盘B中蓝色区域的圆心角的度数是红色区域的圆心角的度数的2倍，故可画树状图如下： 开始转盘/ 蓝 红 红/4 /1 /4转盘8红蓝蓝红蓝蓝红蓝蓝由树状图
9、可知，共有9种等可能的情况，其中两个转盘指针一个指向红色区域、一个指向 蓝色区域的情况有5种，P（一红区和一蓝区尸|（1） 由(1)中的树状图可知，指针指向两个红色区域有2种情况，指向两个蓝色区域也有2种 情况，(两个红区尸-，P(两个蓝区尸-,252方案二的平均收益为：-xl8 + -x9 + -xl8 = 13,999V1320,假设只考虑获得最多的礼品券，选择方案一更加实惠；【点睛】此题主要考查列表法(或画树状图法)求概率，掌握概率的求解方法是解题的关 键.7. (2022全国.九年级专题练习)为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体 内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠
10、随机分成A8两组，每组100只，其中A组 白鼠给服甲离子溶液，3组白鼠给服乙离子溶液.每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相 同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比.按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如下表：离子残留百分比分组2.5 3.53.5 4.55.5 6.56.5 7.57.5 8.5给服甲离子白鼠(只数1827302212给服乙离子白鼠(只 数)5a15b2015(注：表中4A?表示实验数据x的范围为假设记A为事件：“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5,根据实验数据得到P(A)的估计值为0.70.(1 ) Q =； b =.(2)实验
11、室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲 离子残留百分比的平均值估计如下：(3x0.0l) + (4x0.08) +(5x0.27) +(6x0.30) +(7x022) + (8x0.12) = 6.00 ,用上述方法估计乙 离子残留百分比的平均值.(3)甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到 两组数据的中位效、众数、方差如下表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安 全？请说明理由.离子残留百分比分组中位数众数方差给服甲离子白鼠的实验组5.96.01.38给服乙离子白鼠的实验组6.36.21.8【答案】(1) 10； 3
12、5； (2) 6.00； (3)由甲乙两种离子残留百分比的平均值估计均为6.00,甲中位数5.96.3,甲好，甲离子众数6.06.3,甲好，从方差看甲离子方差1.38 1.8,甲好.【分析】(1)根据题意可求a+b=45,由P(A)的估计值为0.70,那么斗彩=0.7解方程求出 b,再求a即可；(2)根据样例给定的方法求即可；(3)由甲离子中位数5.96.3,甲离子众数6.06.3,从甲离子方差看甲离子方差1.38 L8做决策即可.【详解】解： 根据题意a+b= 100-5-15-20-15=45,因为尸(A)的估计值为0.70,35 +人100解得 b=35, a=45-b=45-35=10
13、, 故答案为：10； 35；(2) (3x0.05)+ (4x0.10) + (5x0.15)+ (6x0.35)+ (7x0.20)+ (8x0.15) = 6.00；(3)由甲乙两种离子残留百分比的平均值估计均为6.00,甲中位数5.96.3,甲好，甲 离子众数6.06.3,甲离子残留体内会对生物体产生一定不良副作用小于乙离子，甲好， 从方差看甲离子方差1.38 A3A1A2、A3 A2A 1；请你猜想：(1)四个舞蹈演员Ai、A2、A3、A4跳舞，面对观众作队形变化的情况有几种？请你列出这 四个舞蹈演员跳舞时演员Ai和A2相邻的所有情况，并计算演员Ai和A2相邻的可能性是 多少？n个舞蹈
14、演员跳舞，面对观众作队形变化的情况有多少种？(3)用1、2、3、4、5、6、7共7个数字排列成7位数的 号码(在同一个 号码内每个数字只能用一次)，可能排成多少个 号码？【答案】(1) 24 种,0.5,见解析；(2) ”2x3xxn； (3) 5040.【分析】(1)根据列举出所有可能结果即可得出演员Ai和A2相邻的可能性；根据得出n个舞蹈演员跳舞，面对观众作队形变化的规律是Ix2x3x.xn；结合(2)直接得出可能排成的 号码个数.【详解】(1) 面对观众作队形变化的情况有24种，Ai和A2相邻的情况有:AiA2A3A4、Ai A2A4A3、A3A1A2 A4、A3 A4 Ai A2、A4
15、A1A2 A3、A4 A3 Al A2、A2A IA3 A4、A2A 1A4 A3、A3 A2 Ai A4、A3 A4A2A1、A4A2A1 A3、A4A3A2A1;演员Al和A2相邻的可能性是0.5；(2)：n个舞蹈演员跳舞，面对观众作队形变化的情况有：Ix2x3x.xn；(3);根据(2)中规律得出：1 x2x3 x. x7=5040.【点睛】此题主要考查了规律性问题以及可能性大小有关知识，得出面对观众作队形变化 的规律是解决问题的关键.7. (2018,贵州遵义中考模拟)在一次数学调考中，小明有一道选择题(四选一)不会做， 随机选了一个答案，小亮有两道选择题不会做，他也猜了两个答案，他估
16、算了一下，只要 猜对一道题，这次测试就可上100分；小宁有三道选择题不会做，临交卷时随机填了三个 答案；(1)小明随机选的这个答案，答错的概率是;(2)小亮这次测试不能上100分的概率是,要求画出树形图；(3)小宁三道选择题全错的概率是；(4)这个班数学老师参加集体阅卷，在改卷的过程中，发现一个学生12道选择题一题也 没选对，请你根据(1) (2) (3)发现的规律，推出12道选择题全错的概率是 (用 鬲表示).Q273【答案】0.75;7T;(3) ;(4)(-)%16644【详解】分析：(1)错误答案有3个，除以答案总数4即可;（2）这次测试不能上100分，那么2道题都答错，找到2道题都答错的情况占所有情况的 多少即可；3小宁三道选择题全错的概率为3储的积;312道选择题全错的概率是12 t的积.详解：（1）答错的概率是4二0.75；（2）画树状图为:第一道题第二道题 对错错错对错错错 对错错错对错错错9共有16种情况，2道都答错的情况有9种，所以概率是二； 1633（3）由（2）得2道题都答错的概率是（:）2,小宁三道选择题全错的概率为（=）3= 442764 ,3（4） 12道选择题全错的概率是（；）%4点睛：概率的求法：概率=所求情况数与总情况数之比.对于第（4）题，解决此题的关键3是得到n道题都答错的概率是（=）L4