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1、- 1 -2019 月考试题数学月考试题数学( (理工农医类理工农医类) )第第卷（共卷（共 6060 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. .1. ( )3 1i iA B C D1 2i12i2i2i2.已知全集集合，则( )UR2 |20Axxx41 |log2BxxAB. C.D.ABUC ABRABBABB3.已知是空间不同的三条直线，则下列四个命题正确的是( ), ,a b c ,ab
2、bcac,ab bcac ,ab bcac,ab bcacA B C D4.若等比数列的首项为，且，则公比等于( ) na2 344112ax dxA-3 B3 C2 D-25.宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题: 松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分ab、别为 5、2，则输出的( ) n A. 2 B. 3 C. 4 D. 5- 2 -6.若点在直线上，则( )cos ,sinP2yx 2sincos(2)2A0 B C D2 56 58 57.已知变量满足，则的最大值是( )xy、240 1 0xy x y 2z
3、xy A B2 C. -2 D-81 28.下列命题正确的个数是( )命题“”的否定是“” ；2 000,13xR xx 2,13xR xx 函数的最小正周期为是“”的必要不充分条件； 22cossinf xaxax1a 在上恒成立在上恒成立；22xxax1,2x2 minmax(2 )()xxax1,2x“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“” ab0a b A. 1 B. 2 C. 3 D. 49.若在上是减函数，则的取值范围是( ) 21ln22f xxax 1, aA. B. C. D. 1,) ( 1,) (, 1 1,110.若将函数的图象向左平移个单位长 sin 23cos
4、 2f xxx04度，平移后的图象关于点对称，则函数在上的最小值( )(,0)2 cosg xx,2 6 A. B. C. D. 1 23 22 21 211.已知双曲线，过点的直线 与相交于两点，2222:10,0xyCabab)(3,6PlC,A B且的中点为，则双曲线的离心率为( )AB12,15NCA. 2 B. C. D. 3 23 5 55 212.若存在，使得关于的方程成立，其中mx(224)xaxmexln()ln 0xmx为自然对数的底数，则实数的取值范围是( )ea- 3 -A. B. C. D. 1(,0),)2e1(0,)2e(,0)1,)2e第第卷（共卷（共 9090
5、 分）分）二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中，的系数为 6(2 )xy24x y14.直线 与圆相交于两点，若弦的中点为，l222403xyxyaa,A BAB2,3则直线 的方程为 l15.在中，角所对的边分别为，若，且ABCA, ,A B C, ,a b c4ab2 3c ，则的面积是 2 3CA CB ABCA16.已知为的外心，其外接圆半径为 1，且.若，OABCABOBABC 60ABC则的最大值为 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤第分解
6、答应写出文字说明、证明过程成演算步骤第 17172121 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答17.设数列的前项和为，且 nannS231nnSa()求数列的通项公式；na()设，求数列的前项和n nnba nbnnT18.某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动活动规则如下:消费额每满 100 元可转动如图所示的转盘一次(指针停在任一位置的可能性相等)，并获得相应金额的返券若指针停在区域返券 60 元；停在区域返券 30 元；停在区域不返券例如:消费 218 元，可转动ABC转盘 2
7、 次，所获得的返券金额是两次金额之和()若某位顾客消费 128 元，求返券金额不低于 30 元的概率；()若某位顾客恰好消费 280 元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为(元)求X随机变量的分布列和数学期望X- 4 -19.在四棱锥中，底面为平行四边形，PABCDABCD，点在底面内的射影在线段上，且32 245ABADABC、PABCDEAB，为的中点，在线段上，且 .2PE 2BEEAFADMCDCMCD()当时，证明:平面平面；2 3PFM PAB()当平面与平面所成二面角的正弦值为时，求四棱锥的体PAMABCD2 5 5PABCM积.20.已知点在圆上，而为在轴上的投影，且点满
8、足，P22:4C xyQPxNPNNQ设动点的轨迹为曲线.NE()求曲线的方程；E()若是曲线上两点，且，为坐标原点，求的面积的最大值.,A BE| 2AB OAOBA21.设函数 ln1f xxkx()研究函数的极值点； f x()当时，若对任意的，恒有，求的取值范围；0k 0x 0f x k()证明: 222222ln2ln3ln 23n n221(,2)2(1)nnnN nn请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. .22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线 过定点，且倾斜
9、角为，以坐标原点为极点，l1,00O以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为xCcoscos8 ()写出 的参数方程和的直角坐标方程；lC- 5 -()若直线 与曲线交于两点，且，求的值lC,A B| 8 10AB 23.选修 4-5: 不等式选讲设函数的最小值是-3. |1|f xxxm ()求的值；m()若，是否存在正实数满足？并说明理由11mab, a b7112ab试卷答案试卷答案- 6 -一、选择题一、选择题1-5: DCABC 6-10: DABCD 11、12：BA二、填空题二、填空题13. 240 14. 15. 16. 50xy3 32 3三、解答题三、解答题1
10、7.解:()由 231nnSa（）11231nnSa2n -得，1233nnnaaa13nna a又当时，即，(符合题意)1n 11231Sa11a 是首项为 1，公比为 3 的等比数列， na13nna()由()得: ， 13nnnb0121123 3333nnnT， 1211121 33333nnnnnT-得：012121111 333333nnnnT113233 1322 313nnnnn969 44 3nnnT18.解:设指针落在区域分别记为事件.则ABC、ABC、 111,632P AP BP C()消费 128 元的顾客，只能转一次，若返券金额不低于 30 元，则指针落在或区域，A
11、B其概率， 111 632PP AP B即消费 128 元顾客返券金额不低于 30 元概率是1 2()该顾客可转动转盘 2 次.随机变量的可能值为 0，30，60，90，120.X；1110224P X 111302233P X 60P X 111152263318 ；- 7 -；111902369P X 1111206636P X 所以，随机变量的分布列为：XP0306090120X1 41 35 181 91 36其数学期望.115030604318EX 11901204093619.()证明: 连接，作交于点，则四边形为平行四边形，ECANECCDNAECN， 在 中， 由余弦定理得1C
12、NAEBCEA2BE 2 2BC 45ABC.所以，从而有.在中，分别是2EC 222BEECBCBEECANDA,F M的中点，则，因为，所以.由,AD DN,FMAN FMECABECFMAB平面，平面，得，又，PE ABCDFM ABCDPEFMFMAB，得平面，又平面，所以平面平PEABEFM PABFM PFMPFM 面PAB()以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间E,EB EC EPxyz直角坐标系，则，1,0,0A 0,0,2P0,2,0C3,2,0D 1,0,2AP . 平面的一个法向量为.设平面1 3 ,2,0AMACCD ABCD0,0,1m 的法向量为
13、，由，得，令PAM, ,nx y z0AP n 0AM n 201 320xzxy，得.2x 2,31, 1n由题意可得， |cos,| |m nm nmn 215 55(31) 解得，所以四棱锥的体积.1 3PABCM18 33P ABCMABCMVSPE、- 8 -20.解:()设，轴，所以，(,)ppP xy224ppxyPQx(,0)pQ x又设，由有代入有.即曲线的方( ,)N x yPNNQ2ppxxyy224xy2 214xyE程为2 214xy()设，直线方程为: ，联立得11( ,)A x y22(,)B xyAB ykxt2244xyykxt，故，222(41)84(1)0
14、kxktxt1228 14ktxxk 21224(1) 14tx xk由，得，222 214 |(1)()ABkxx22 2112(1)()4kxxx x22 22 2(41)(41)4(1)ktkk故原点到直线的距离，令，则OAB 2| |1td k 21| |221tSd k 2214 1kuk，又，22211(2)144Suuu 22214341,4)11kukk当时，2u max21S当斜率不存在时，不存在，综合上述可得面积的最大值为 1.AOBAAOBA21.解:() ，的定义域为， ln1f xxkx f x0, 11 kxfxkxx当时，在上无极值点0k 0fx f x0,- 9
15、 -当时，令，随的变化情况如下表:0k =0fx10,xk fxf x、xx1(0,)k1 k1(,)k fx+0- f x极大值从上表可以看出：当 时有唯一的极大值点0k f x1xk()当时在处取得极大值也是最大值，要使恒成立，0k 1xk 0f x 只需11( )ln0fkk，即的取值范围为1k k1,() 令，由()知，1k ln10xx ln1xx,2nN n，22ln1nn22222ln111nn nnn 222222ln2ln3ln 23n n222111(1)(1)(1)23n222111(1)()23nn111(1)()2 33 4(1)nn n111111(1)()2334
16、1nnn，结论成立21121(1)()212(1)nnnnn22.选项 4-4：坐标系及参数方程解:() 1cos:sinxtlyt 2:8C yx()把直线方程代入抛物线方程得: 22sin8 cos80tt，1228cos sintt 1 228 sint t2 12121 2| |()4ABttttt t224 46sin8 10sin - 10 -，或4220sin3sin2021sin41sin265 623.选项 4-5: 不等式选讲解：()因为，( ) |1|f xxxm 21,1 1,1xm x m x 所以min132ymm () ，112ab221abababab(1)(1)1ababab7312ab ，矛盾516ab 所以不存在正实数满足条件, a b