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1、倒倒倒计计计时时时111 000天天天 数数数学学学( ( (理理理) ) )222 000 111 999高高高考考考最最最后后后一一一卷卷卷本试卷分第卷( 选择题) 和第卷( 非选择题) 两部分, 共1 5 0分, 考试时间1 2 0分钟.第卷一、 选择题( 本大题共1 2小题, 每小题5分, 共6 0分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)1 .若集合A=x|x2- 5x+ 4 0 ,B=x|(x-a)2 1 , 则“a(2,3) ” 是“BA” 的( )A.充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件2 .已知复数z=2 + 3 ii, 则
2、z的共轭复数为( )A. 3 - 2 iB . 3 + 2 iC . - 3 - 2 iD. - 3 + 2 i3 .向量a=(c o s,s i n) ,b=(c o s,s i n) , 其中0 0,b 0) 与圆C2:x2+y2=a2+b2的一个交点, 且2P F1F2=P F2F1, 其中F1,F2分别为双曲线C1的左、 右焦点, 则双曲线C1的离心率为( )A. 3+ 1B .3+ 12C .5+ 12D. 5- 18 .如图, 在A B C中,D是A B边上的点,且满足A D=3B D,A D+A C=B D+B C= 2,C D= 2, 则c o sA=( )A.13 B .24
3、C .14 D. 09 .已知函数f(x)=xc o sx- s i nx-13x3, 则不等式f(2x+3)+f(1) 0) 的图象相邻两个对称中心之间的距离为2, 则f(x) 的一个单调递减区间为( )A.-6,3()B .-3,6()C .6,2 3()D.3,5 6()第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第1 3 - 2 1题为必考题, 每个实体考生都必须作答.第2 2 - 2 3题为选考题, 考生根据要求作答.二、 填空题( 本大题共4小题, 每小题5分, 共2 0分.把答案填在题中横线上)1 3 .若实数x,y满足约束条件2x+y- 4 0,x- 2y- 2 0,x- 1 0,则y-
4、 1x的最小值为 .1 4 .数列an 的前n项和记为Sn,a1= 1,an+ 1= 2Sn+ 1(n 1,nN*) , 则数列an 的通项公式是 .1 5 .某框图所给的程序运行结果为S=3 5, 那么判断框中应填入的关于k的条件是 .1 6 .某航模兴趣小组的同学, 为了测定在湖面上航模航行的速度, 采用如下办法: 在岸边设置两个观察点A,B, 且A B长为8 0米, 当航 模在C处时, 测得A B C=1 0 5 和B A C= 3 0 , 经过2 0秒后, 航模直线航行到D处, 测得B A D= 9 0 和A B D=4 5 , 则航模的速度为 米 / 秒.( 答案保留根号)1三、 解
5、答题( 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤,1 7 - 2 1题每小题1 2分,2 2 - 2 3题每小题1 0分)1 7 .已知公比不为1的等比数列an 的前3项积为2 7, 且2a2为3a1和a3的等差中项.(1) 求数列an 的通项公式an.(2) 若数列bn 满足bn=bn- 1l o g3an+ 1(n2,nN*) , 且b1=1, 求数列bnbn+ 2的前n项和Sn.1 8 .为了缓解城市交通压力和改善空气质量, 有些城市出台了一些汽车限行政策, 如单双号出行, 外地车限行等措施, 对城市交通拥堵的缓解和空气质量的改良起了一定的作用.某中部城市为了应对日益增长的交通压力, 现
6、组织调研, 准备出台新的交通限行政策, 为了了解群众对“ 汽车限行” 的态度, 在当地市民中随机抽取了1 0 0人进行了调查, 调查情况如表:年龄段1 5,2 5)2 5,3 5)3 5,4 5)4 5,5 5)5 5,6 5)6 5,7 5频数51 52 0n2 01 0赞成人数31 21 71 81 62(1) 求出表格中n的值, 并完成被调查人员年龄的频率分布直方图( 如图所示).(2) 若从年龄在4 5,5 5) 的被调查者中按照是否赞成进行分层抽样, 从中抽取1 0人参与某项调查, 然后再从这1 0人中随机抽取3人参加座谈会, 记赞成的人数记为, 求的分布列.1 9 .如图, 在四棱
7、锥P - A B C D中, 底面A B C D是 边 长 为2的 菱 形,A B C= 6 0 ,P AP B,P C= 2 .(1) 求证: 平面P A B平面A B C D.(2) 若P A=P B, 求二面角A - P C - D的余弦值.2 0 .已知椭圆C:y2a2+x2b2= 1(ab 0) 的上、 下两个焦点分别为F1,F2, 过F1的直线交椭圆于M,N两点, 且MN F2的周长为8, 椭圆C的离心率为32.(1) 求椭圆C的标准方程.(2) 已知O为坐标原点, 直线:y=k x+m与椭圆C有且仅有一个公共点, 点M ,N 是直线上的两点, 且F1M l,F2M l, 求四边形
8、F1M N F2面积S的最大值.2 1 .已知函数f(x)= l nx+a x.(1) 讨论函数f(x) 的单调性.(2) 当a= 1时, 函数g(x)=f(x)-x+12x-m有两个零点x1,x2, 且x1 1 .请考生在第2 2 - 2 3题中任选一题作答.如果多做, 则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.2 2 .在 直 角 坐 标 系x O y中,直 线l的 参 数 方 程 为x= 1 +tc o s,y=ts i n(t为参数) , 以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为2- 2c o s- 4s i n+ 4 = 0 .(1) 若直线l与曲线C
9、相切, 求直线l的直角坐标方程.(2) 若t a n=2, 设直线l与曲线C的交点为点A,B, 求O A B的面积.2 3 .已知函数f(x)= | 2x- 1 | + | 2x+ 1 |,g(x)= |a- 1 | -a|x| .(1) 当x 0时, 求不等式f(x) 4的解集.(2) 设函数f(x) 的值域为M, 函数g(x) 的值域为N, 若满足MN, 求a的取值范围. 数学学科 第卷一、 选择题1 .选A.A=x| 1 x 4 ,B=x|a- 1 xa+ 1.因为BA, 所以a- 1 1,a+ 1 4,即2 a 3 .因为(2,3)2,3 , 所以“a(2,3) ” 是“BA” 的充分
10、不必要条件.2 .选B .z=2 + 3 ii= 3 - 2 i, 因此z的共轭复数为3 + 2 i .3 .选B .由| 2a+b| = |a- 2b|两边平方整理, 得3 |a|2- 3 |b|2+8ab= 0 .因为|a| = |b| = 1, 故ab= 0,所以c o sc o s+ s i ns i n= 0,即c o s(-)= 0, 因为0 , 故- - 0时,y=x单调递增且大于零, 函数y= ex- e-x单调递增也大于零, 所以y=x(3x- 3-x) 在(0,+) 上为增函数.7 .选A.x2+y2=a2+b2=c2, 所以点P在以F1F2为直径的圆上, 所以P F1P
11、F2,又2 P F1F2=P F2F1, 所以P F2=c,P F1= 3c,又P在双曲线上,2所以3c-c= 2a, 所以e=ca=23- 1= 3+ 1 .8 .选D.设B D=x, 则A D= 3x,A C= 2 - 3x,B C= 2 -x,易知c o s A D C=- c o s B D C, 由余弦定理的推论可得9x2+ 2 -(2 - 3x)22 2 3x=-x2+ 2 -(2 -x)22 2x,解得x=13, 故A D= 1,A C= 1,所以c o sA=A D2+A C2-C D22 A DA C= 0 .9 .选A.易证函数f(x) 是奇函数.由题得f (x)=c o
12、sx-xs i nx- c o sx-x2=-xs i nx-x2=-x(s i nx+x).所以当x0时,f (x)0, 函数在(0,+) 上单调递减,因为函数是奇函数,所以函数在(-,0) 上单调递减,因为f(2x+3)+f(1)0, 所以f(2x+3)- 1, 所以x- 2 .故解集为(- 2,+).1 0 .选D.函数y=-x2- 2的图象与函数y=x2+ 2的图象关于原点对称,若函数y=a+ 2 l nx x1e,e()的图象上存在点P,函数y=-x2- 2的图象上存在点Q, 且P,Q关于原点对称, 则函数y=a+ 2 l nx x1e,e()的图象与函数y=x2+ 2的图象有交点,
13、即方程a+ 2 l nx=x2+ 2x1e,e()有解,即a=x2+ 2 - 2 l nx x1e,e()有解,令f(x)=x2+ 2 - 2 l nx, 则f (x)=2(x2- 1)x,当x1e,1时,f (x) 0, 故当x= 1时,f(x) 取最小值3,由f1e()=1e2+ 4,f(e)=e2, 故当x=e时,f(x) 取最大值e2, 故a 3,e2.1 1 .选A.由三视图可知, 该几何体是由半个圆柱与半个圆锥组合而成, 其中圆柱的底面半径为2, 高为4, 圆锥的底面半径和高均为2, 其体积为V=12 4 4 +1213 4 2 =2 8 3.1 2 .选D.f(x)= s i n
14、 x-6()的图象相邻两个对称中心之间的距离为2, 于是有T=2 = 2 2=,= 2,所以f(x)= s i n2x-6().当2k +2 2x-6 2k +3 2,kZ, 即k +3xk+5 6,kZ时,f(x)= s i n2x-6()单调递减.因此结合各选项知,f(x)= s i n2x-6()的一个单调递减区间为3,5 6().第卷二、 填空题1 3 .【 解析】 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示, 因为y- 1x表示可行域内的点与定点P(0,1) 连线的斜率.由图知,点P(0,1) 与 点A1,-12()连 线 的 斜 率 最 小, 所 以y- 1x()m i n=kP
15、A=-12- 11 - 0=-32.答案:-321 4 .【 解析】 由an+ 1=2Sn+1可得an=2Sn- 1+1(n2) , 两式相减得an+ 1-an= 2an, 即an+ 1= 3an(n 2).又a2= 2S1+ 1 = 3, 所以a2= 3a1, 故an 是首项为1, 公比为3的等比数列, 所以an= 3n- 1.答案:an= 3n- 11 5 .【 解析】 由题意可知输出结果为S= 3 5,第1次循环,S= 1 1,k= 9, 第2次循环,S= 2 0,k=8, 第3次循环,S= 2 8,k= 7, 第4次循环,S= 3 5,k= 6, 此时S满足输出结果, 退出循环, 所以
16、判断框中的条件为:k6或k 7?答案:k 6? 或k 7?1 6 .【 解析】 在A B D中,因为B A D= 9 0 ,A B D= 4 5 , 所以A D B= 4 5 ,所以A D=A B=8 0米, 所以B D=8 0 2米, 在A B C中B Cs i n3 0 =A Bs i n4 5 ,所以B C=A Bs i n3 0 s i n4 5 =8 0 1222= 4 0 2( 米).在D B C中,D C2=D B2+B C2- 2D BB Cc o s 6 0 =(8 0 2)2+(4 0 2)2- 2 8 0 2 4 0 212= 96 0 0,所以D C= 4 0 6米,
17、航模的速度v=4 0 62 0= 2 6米 / 秒.因此航模的速度为2 6米 / 秒.答案:2 6三、 解答题1 7 .【 解析】 (1) 由前3项积为2 7, 得a2= 3, 设等比数列的公比为q,由2a2为3a1和a3的等差中项, 得33q+ 3q= 4 3, 由公比不为1, 解得:q= 3,所以an= 3n- 1.(2) 由bn=bn- 1l o g3an+ 1=bn- 1n,得bn=bnbn- 1bn- 1bn- 2b2b1b1=n!.令cn=bnbn+ 2=n!(n+ 2) !=1(n+ 2) (n+ 1)=1n+ 1-1n+ 2,则Sn=12-13()+13-14()+1n+ 1-
18、1n+ 2()=12-1n+ 2=n2(n+ 2)31 8 .【 解析】 (1) 由题知被调查者一共有1 0 0人,所以有5 + 1 5 + 2 0 +n+ 2 0 + 1 0 = 1 0 0,所以n= 3 0 .所以被调查人员年龄各组的频率组距为0 . 0 0 5,0 . 0 1 5,0 . 0 2 0,0 . 0 3 0,0 . 0 2 0,0 . 0 1 0 .2分所以被调查人员年龄的频率分布直方图如图所示:4分(2) 由(1) 知, 年龄在4 5,5 5) 的共有3 0人, 其中赞成的有1 8人, 不赞成的有1 2人.由分层抽样赞成者应选1 0 35= 6人,6分不赞成有4人.则= 0
19、,1,2,3 .7分P(= 0)=C34C31 0=41 2 0=13 0,8分P(= 1)=C16C24C31 0=3 61 2 0=31 0,9分P(= 2)=C26C14C31 0=6 01 2 0=12,1 0分P(= 3)=C36C31 0=2 01 2 0=16,1 1分所以的分布列为0123P13 031 012161 2分1 9 .【 解析】 (1) 取A B中点O, 连接A C,C O,P O,因为四边形A B C D是边长为2的菱形,所以A B=B C= 2 .因为A B C= 6 0 , 所以A B C是等边三角形.所以C OA B,O C= 3.因为P AP B, 所以
20、P O=12A B= 1 .因为P C= 2, 所以O P2+O C2=P C2.所以C OP O.因为A BP O=O, 所以C O平面P A B.因为C O平面A B C D, 所以平面P A B平面A B C D.(2) 因为P A=P B,O为A B的中点由(1) 知, 平面P A B平面A B C D,所以P O平面A B C D,所以直线O C,O B,O P两两垂直.以O为原点建立空间直角坐标系O - x y z, 如图,则O(0,0,0) ,A(0,- 1,0) ,B(0,1,0) ,C(3,0,0) ,D(3,- 2,0) ,P(0,0,1)所以A P=(0,1,1) ,P
21、C=(3,0,- 1) ,D C=(0,2,0).设平面A P C的法向量m=(x,y,z) ,由mA P= 0,mP C= 0,得y+z= 0,3x-z= 0,取x= 1, 得m=(1,- 3,3) ,设平面P C D的法向量为n=(x,y,z) ,由nP C= 0,nD C= 0,得3x-z= 0,2y= 0,取x= 1, 得n=(1,0,3) ,所以c o s=mn|m|n|=2 77,由图可知二面角A - P C - D为锐二面角.所以二面角A - P C - D的余弦值为2 77.2 0 .【 解析】 (1) 因为MN F2的周长为8, 所以4a=8, 所以a= 2 .又因为ca=3
22、2, 所以c= 3, 所以b=a2-c2= 1,所以椭圆C的标准方程为y24+x2= 1 .(2) 将直线的方程y=k x+m代入到椭圆方程y24+x2=1中, 得(4 +k2)x2+ 2k m x+m2- 4 = 0 .由直线与椭圆仅有一个公共点,知= 4k2m2- 4(4 +k2) (m2- 4)= 0, 化简得m2= 4 +k2.设d1= |F1M | =| - 3+m|k2+ 1,d2= |F2N | =|3+m|k2+ 1,所以d21+d22=m- 3k2+ 12+m+ 3k2+ 12=2(m2+ 3)k2+ 1=2(k2+ 7)k2+ 1,d1d2=| - 3+m|k2+ 1|3+
23、m|k2+ 1=|m2- 3 |k2+ 1= 1,所以|M N | = |F1F2|2-(d1-d2)2= 1 2 -(d21+d22- 2d1d2)=1 2k2k2+ 1.因为四边形F1M N F2的面积S=12|M N |(d1+d2) ,所以S2=141 2k2k2+ 1(d21+d22+ 2d1d2)=3k2(4k2+ 1 6)(k2+ 1)2.令k2+ 1 =t(t 1) , 则S2=3(t- 1) 4(t- 1)+ 1 6t2=1 2(t- 1) (t+ 3)t2=1 2(t2+ 2t- 3)t2= 1 2 + 1 2 - 31t-13()2+13,所以当1t=13时,S2取得最大
24、值为1 6, 故Sm a x=4, 即四边形F1M N F2面积的最大值为4 .2 1 .【 解析】 (1)f (x)=1x+a,x(0,+).当a 0时,f(x) 在(0,+) 上单调递增;当a 0,所以h(t) 在(0,1) 上单调递增,所以h(t)h(1)= 0, 即t-1t 2 l nt.又因为l nt 1, 所以x1+x2 1 .2 2 .【 解析】 (1) 由x=c o s,y=s i n可得曲线C的直角坐标方程为x2+y2- 2x- 4y+ 4=0, 即(x-1)2+(y-2)2=1,x= 1 +tc o s,y=ts i n消去参数t, 可得y= t a n(x-1).设k=t
25、 a n, 则直线l的方程为y=k(x- 1) ,由题意, 得圆心(1,2) 到直线l的距离d1=|k- 2 -k|k2+ 1=1, 解得k= 3,所以直线l的直角坐标方程为y=3(x- 1).(2) 因为t a n= 2,所以直线l的方程为2x-y- 2 = 0,原点到直线l的距离d2=25,联立2x-y- 2 = 0,(x- 1)2+(y- 2)2= 1,解得x= 2,y= 2或x=85,y=65,所以|A B| =2 -85()2+ 2 -65()2=25, 所以S=122525=25.2 3 .【 解析】 (1) 当x0时,2x-10, 所以f(x)4可化为| 2x+ 1 | - 2x
26、 3 .当x-12时,化为- 2x- 1 - 2x- 1,此时- 1 x-12.当-12x 0时,化为2x+ 1 - 2x 3, 解得xR,此时-12x 0 .综上, 原不等式的解集是x| - 1 x 0.(2) 因为f(x)= | 2x- 1 | + | 2x+ 1 | |(2x- 1)-(2x+ 1)| = 2,所以f(x) 的值域为2,+).当a 0时, 因为|x| 0, 所以g(x) 的值域为(-,|a- 1 |.若MN, 则|a- 1 | 2, 解得a- 1或a 3 .从而a 3 .当a 0时, 因为|x| 0, 所以g(x) 的值域为|a- 1 |,+) , 此时一定满足MN.从而a0 .综上,a的取值范围是(-,0)3,+).5