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1、2016 年高考押题精粹数学文科本卷共 48 题，三种题型：选择题、填空题和解答题. 选择题 30 小题，填空题4 小题，解答题14小题. 1. 若集合02|2xxxA，2, 0,1,B则AB等于（） A.2 B.1 ,0 C.1, 0 D.1,0,11【答案】 B 【解析】|12,Axx0,1AB.2. 若复数z满足i1iz(i是虚数单位 ) ，则z的共轭复数是（）Ai1 Bi1 Ci1 Di1【答案】 B 【解析】试题分析：11,1iziizii，所以z的共轭复数是1 i3. 已知集合ln|,2, 1,0 xyxBA，则RABe=（）A.2 B.2,0 C.1, 0 D.1,0,2【答案】
2、 C 【解析】解：,0|ln|xxxyxB|0,0,1.RRBxxAB痧4. 已知z是复数，则“0zz”是“z为纯虚数”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】 B 【解析】当0z时，满足0zz，此时z为实数；而当z为纯虚数时，0zz，所以“0zz”是“z为纯虚数”的必要不充分条件，故选B5. 下列有关命题的说法错误的是（）A若“qp”为假命题，则p与q均为假命题B“1x”是“1x”的充分不必要条件C “21sinx”的必要不充分条件是“6x”D 若命题0R200 xxp，：，则命题0R2xxp，：【答案】 C 【解析】对于选项A，
3、由真值表可知，若“pq”为假命题，则p，q均为假命题，即选项A 是正确的；对于选项B，由逻辑连接词或可知，“1x”能推出“1x”；反过来，“1x”不能推出“1x”，即选项B 是正确的；对于选项C ，因为1sin26xx，1sin62xx，命题中所说的条件是6x，即6x是1sin2x的充分不必要条件，即选项C是不正确的；对于选项D ，由特称命题的1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页311511326否定为全称命题可得，选项D是正确的 . 6. 下图为某几何体的三视图，图中四边形为边长为1 的正方形，两条虚线互相垂直，
4、则该几何体体积为（）A. 16B. 45C. 15D. 56【答案】 D 【解析】由三视图可知该几何体的直观图为棱长为1 的正方体中挖空了一个正四棱锥，则该几何体体积为：为64 16，则实数a等于7. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积A.2 B.22 C.4 D.42【答案】 C 【解析】由三视图可知该几何体是由一个三棱柱和一个圆柱的14的组合而成，圆柱的底面半径和高均为a. 三棱柱的底面是一个底为2a，高为a的三角形，三棱柱的高为a，故该几何体的体积23112(1)6416244Vaaaaaa，解得4a. 8. 南北朝时期的数学古籍张邱建算经有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫
5、赐金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给. 问：每等人比下等人多得几斤？”精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页 A.394 B.787 C.767 D.815【答案】 B 【解析】这是一个等差数列问题，不妨设从低到高的每个人所得的金为：1021,.,aaa, 依题意有：7874243364431110984321ddadaaaaaaaa. 9. 执行如图所示的程序框图，如果输入1a，2b，则输出的a的值为（） A.16 B.8 C.4 D.2 【答案】
6、B【解析】当1a，2b时，( 1)( 2)26a；当2a，2b时，2( 2)46a；当4a，2b时，( 4)( 2)86a，此时输出8a，故选 B. 10. 执行如下图所示的程序框图, 则输出的结果为（）A7B9C 10D 11【答案】 B 【解析】11,lglg 31,3iS否；1313,lg+lglglg51,355iS否；1515,lg+lglglg 71,577iS否；1717,lg+lglglg91,799iS否；1919,lg+lglglg111,91111iS是，输出9,i故选 B11. 执行如图所示的程序框图，如果输入的tx,均为 2，则输出的M等于A21B23C 25D 27
7、【答案】 B 【解析】当2x时，2M，11122x；12x，52M，1112x；1x，32M，1122x，输出3.2M输入x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页12. 语文、数学、英语共三本课本放成一摞，语文课本与数学课本恰好相邻放置的概率是（）A61 B31 C21 D32【答案】 D 【解析】三本书放一摞的所有可能为（语，数，英），（语，英，数），（数，语，英），（数，英，语），（英，语，数），（英，数，语）共6 种放法，其中有4 种情况符合条件，故数学课本和语文课本放在一起的概率为4263P. 13. 在区间0
8、,上随机地取一个数x, 则事件“1sin2x”发生的概率为（）A.34 B.23 C.12 D.13【答案】 D 【解析】由正弦函数的图象与性质知, 当50, 66x时,1sin2x, 所以所求事件的概率为5(0)()1663, 故选 D 14. 若点sin,cosP在直线xy2上，则sin2的值等于（）A.54 B.54 C.53 D.53【答案】 A 【 解 析 】 点(cos ,sin)P在 直 线2yx上 ， sin2cos， tan2，222sincossin2sincos22tan44tan1415. 15. 某 工 厂 利 用 随 机 数 表 对 生 产 的 700 个 零 件
9、进 行 抽 样 测 试 ， 先 将700 个 零 件 进 行 编 号001,002 ， 699,700. 从中抽取70 个样本，下图提供随机数表的第4 行到第 6 行，若从表中第5行第 6 列开始向右读取数据，则得到的第5 个样本编号是（）33 21 18 34 29 78 64 56 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77
10、34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A607 B328 C253 D007 【答案】 B 【解析】根据题意依次读取数据，得到的样本编号为：253,313,457,860,736, 253,007,328,，其中 860,736 大于 700，舍去； 253 重复出现，所以第二个253舍去，所以得到的第5 个样本编号为328，故选 B16. 已知函数( )sincos ()f xxxR的图象关于4x对称，则把函数( )f x的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2 倍，再向右平移3，得 到函数( )g x的图象，则函数( )g x的一条对称轴方程
11、为（） A.6x B.4x C.3x D.116x【答案】 D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页【解析】(0)()2ff，可得1，所以( )sincos2sin()4f xxxx，横坐标扩大到原来的2 倍，再向右平移3，得到函数( )g x的图象，115( )2sin()2sin()234212g xxx，所以函数( )g x的对称轴的方程为1511,2,21226xkxkkZ. 当0k时，对称轴的方程为116x. 17. 已知向量AB与AC的夹角为120, 且2AB,3AC, 若APABAC, 且APBC, 则
12、实数的值为（）A.37 B.13 C.6 D.127【答案】 D 【解析】由向量AB与AC的夹 角为120, 且2AB,3AC, 可得6cos1203AB AC, 又APBC, 所以22(1)AP BCABACACABAB ACACAB= 12 70, 所以127, 故选 D. 18. 设等比数列na前n项和为nS，若0841aa，则43SS( ) A.53B.157C.56 D.1514【答案】 C 【解析】等比数列na中，因为0841aa，所以21q. 所以441433311115151216.96111821aqsqsaqq19. 已知实数, x y满足1033000 xyxyxy，则3
13、2zxy的最大值为（）A2 B. 3 C.12 D. 15【答案】 C 【解析】将32zxy变形为322zyx，OyxA3x-y-3=0 x-y+1=0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页当目标函数322zyx过点 A时，取最大值，10,2,3303,xyxxyy即(2,3)A，代入可得max322 312.z20. 已知2,21xxfxax若(ln 3)2,f则1(ln)3f等于（）A.2 B.1 C.0 D. 1 【答案】 B 【解析】因为2,21xxfxax, 所以221.2121xxxxfxfx111(ln)
14、(ln 3),(ln)(ln 3)( ln 3)(ln 3)1, (ln)1.333fffffff21. 不等式组2503020 xyxyxy的解集记为D，11yzx，有下面四个命题：p1：( , )x yD，1zp2：( , )x yD，1zp3：( , )x yD，2zp4：( , )x yD，0z其中的真命题是 ( ) Ap1，p2 Bp1，p3 Cp1，p4Dp2，p3 【答案】 D 【解析】可行域如图所示，A(1，3),B(2 ，1) ，所以所以，故p2，p3正确，故答案为 D. 22. 若 圆221:0Cxyax与 圆222:2tan0Cxyaxy都 关 于 直 线210 xy对
15、称 , 则sin cos（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页A25 B. 25 C.637 D. 23【答案】 B 【解析】圆1C与圆2C都关于直线210 xy对称，则两圆的圆心(,0)2a、1(,tan )2a都在直线210 xy上，由此可得1a，tan2，所以222sincostan2sincossincostan15. 23. 设21FF 、分 别为椭圆22122:1(0)xyCabab与双曲线222112211:1(0,0)xyCabab的公共焦点 , 它们在第一象限内交于点M,9021MFF, 若椭圆的
16、离心率3=4e, 则双曲线2C的离心率1e的取值范围为 ( ) A.92 B.3 22 C.32 D.54【 答案】 B 【 解 析 】 由 椭 圆 与 双 曲 线 的 定 义 ,知122MFMFa,122MFMFa,所 以11MFaa,21MFaa 因 为1290F MF, 所 以222124MFMFc, 即22212aac, 即221112ee, 因为34e, 所以1322e. 24. 已知函数0,0, 3xbaxxxxf满足条件：对于R1x，唯一的R2x，使得21xfxf. 当bfaf32成立时，则实数ba( ) A.26 B.26 C.326 D.326【答案】 D 【解析】由题设条件
17、对于R1x，存在唯一的R2x，使得21xfxf知xf在0,和, 0上 单 调 ， 得3b， 且0a. 由bfaf32有39322a， 解 之 得26a， 故326ba，选 D. 25. 已知抛物线xy42的焦点为F，BA、为抛物线上两点，若FBAF3，O为坐标原点，则AOB的面积为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页A33 B8 33 C4 33 D2 33【答案】 C 【解析】如图所示，设BFm，则3ADAFm，32mAG，又22ADAGOF，43m，又8 3CDBE3，AOB14 3OFCD.23S26. 如
18、图，已知21FF 、为别双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足0)( ,22112PFFFPFaPF，线段2PF与双曲线C交于点Q，若225F PF Q，则双曲线C的渐近线方程为（）A12yx B55yxC 2 55yx D33yx【答案】 A 【解析】1122()0F PF FF P，121| |2F FF Pc，又225F PF Q，21|5F Qa，1111|255FQaaa，在12F F Q中，22221112142525cos1225acaQF Fac，在12F F P中，2222144cos22accPF Fac，222222112144
19、42525,122225acaaccacac22225,44caab，渐近线方程为12byxxa27 如图 ， 点P在 边 长 为 1 的 正 方 形的 边 上 运 动 ， 设M是CD的 中点 ， 则 当P沿 着 路 径精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页AB CM运动时，点P经过的路程x与APM的面积y的函数( )yfx的图象的形状大致是（）A B C D【答案】 A 【解析】根据题意得1,01231( ),1244515, 2422xxf xxxxx，分段函数图象分段画即可. 28. 已知数列na中，*12212
20、121,1,2kkkkkkaaaaakN，则na的前60 项的和60S（）A312154 B312124 C32294 D322124【答案】 C 【 解 析 】 由 题 意 ， 得214365605910,1,1,1aaaaaaaa， 所 以SS奇偶 又121222kkkaa(2 )k，代 入221( 1)kkkaa，得12222(1)kkkkaa(2)k，所以20a，12422( 1)aa，23642( 1)aa，34862( 1)aa，12222( 1)kkkkaa，将上式相加，得2123222( 1)( 1)( 1)kk111 ( 1)3 ( 1)22222kkkk，所以S偶23293
21、01(22222 )(15215 4)2302 1-2-451-231247，所以31602 247S3229429. 在平面直角坐标系xOy中，已知2111ln0 xxy，2220 xy，则221212()()xxyy的最小值为（）A1 B2 C3 D5 【答案】 B 【解析】根据题意，原问题等价于曲线2lnyxx上一点到直线20 xy的距离的最小值的平方.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页因为12yxx，令121xx，得1x，可得与直线20 xy平行且与曲线2lnyxx相切的切点为1,1，所以可得切线方程为0
22、xy，所以直线0 xy与直线20 xy之间的距离为222， 即 曲 线2lnyxx上 的 点 到 直 线20 xy的 距 离 的 最 小 值 为2， 所 以 曲 线2lnyxx上的点到直线20 xy的距离的最小值的平方为2；所以221212()()xxyy的最小值为2，故选 B. 30. 若过点,P a a与曲线lnfxxx相切的直线有两条, 则实数a的取值范围是 ( ) A.(, )e B.( ,)e C.1(0, )e D.(1,)【答案】 B 【解析】设切点为, lnQ t tt, 则切线斜率kft=1 lnt, 所以切线方程为ln1lnytttxt,把,P a a代入得ln1lnatt
23、tat, 整理得lnatt, 显然0a, 所以1ln tat, 设ln tg tt, 则问题转化为直线1ya与函数g t图象有两个不同交点, 由21ln tgtt , 可得g t在0,e递增,e,递减 , 在ex处取得极大值1e, 结合g t图象 , 可得110eeaa , 故选 B. 31已知向量(1,1),(2,2),ttmn若()()mnmn，则t. 【答案】3【解析】(23,3),( 1, 1),tmnmn()(),(23)30,tmnmn解得3t. 32. 某单位为了了解用电量y度与气温xC之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表气温（C）1813101用电量（
24、度）24343864由表中数据得回归直线方程?ybxa中?2b，预测当气温为4C时，用电量约为_度【答案】68【解析】回归直线过yx,，根据题意1041101318x，40464383424y，代入a6010240，所以4x时，686042y，所以用电量约为68 度33 . 正项等比数列na中，1a，4031a是函数3214633fxxxx的极值点，则20166loga精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页【答案】1【解析】286fxxx，1a，4031a是函数3214633fxxxx的极值点，140316aa，又正
25、项等 比数列na，22016140316aaa，201666loglog61a34. 如图，在ABC中，点D在边BC上，,4CAD27AC，102cosADB. 若ABD的面积为7，则AB . 【答案】37【解析】因为102cosADB，所以1027sinADB. 又因为,4CAD所以,4ADBC所以4sincos4cossin)4sin(sinADBADBADBC5422102221027. 在ADC中，由正弦定理得ADCACCADsinsin，故2210275427sinsin)sin(sinsinsinADBCACADBCACADCCACAD. 又,710272221sin21BDADB
26、ABADSABD解得5BD. 在ADB中，由余弦定理得.37)102(5222258cos2222ADBBDADBDADAB35已知公差不为0的等差数列na中，12a，且2481,1,1aaa成等比数列 . (1) 求数列na通项公式；(2) 设数列 nb 满足3nnba，求适合方程1223145.32n nbbb bb b的正整数n的值 . 【答案】（ 1）31nan；（2）10. 【解析】： (1) 设等差数列na的公差为d，由2481,1,1aaa，得2(33 )(3)(37 ),ddd解得3d或0d（舍），精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
27、- - -第 11 页，共 23 页故1(1)23(1)31.naandnn .6分(2) 由（1）知331nbn，19113().(31)(32)3132nnb bnnnn12231111111119.3(+)3(),2558313223264nnnbbb bb bnnnn依题有9456432nn解得10.n .12分36. 在ABC中, 内角A、B、C对应的边长分别为a、b、c, 已知221( cos)2c aBbab（1）求角A；（2）求sinsinBC的最大值【答案】（ 1）3；（2）3,2 3. 【解析】：（ 1）221( cos)2c aBbab, 由余弦定理得2222222acb
28、bcab,222abcbc2222cosabcbcA, 1cos2A0,A, 3A（2）sinsinsinsinsinsincoscos sinBCBABBABAB33sincos3sin()226BBB. 20,3B, 5,666B,1sin,162BsinsinBC的最大值为337.ABC中, 角CBA,的对边分别为cba, 已知点),(ba在直线CcByBAxsinsin)sin(sin上（1）求角C的大小；（2）若ABC为锐角三角形且满足BACmtan1tan1tan, 求实数m的最小值【答案】（ 1）3；（2）2. 【解答】： (1) 由条件可知(sinsin)sinsinaABbB
29、cC，根据正弦定理得222abcab，又由余弦定理知2221cos22abcCab，.3,0CC（2）11sincoscostan()()tantancossinsinCABmCABCAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页2222sincossincossin2sin22()cossinsinsinsinCABBACcababCABABabab2(1)2(21)2abba，当且仅当ab即ABC为正三角形时，实数m的最小值为 2. 38. 已知数列,nnab满足1, 211ba，12nnaa，).( 113121*
30、1321Nnbbnbbbnn（1）求na与nb；（2）记数列 nanb的前 n 项和为nT，求nT【答案】（ 1）nbannn,212；（2）.2282nnnT【解答】：（ 1）nnaaa112,2得,2121221nnna由题意知：当1n时，121bb，故,22b当2n时，,11nnnbbbn得,11nbnbnn所以nbn. （2）由（ 1）知22nnnnba.,22221201nnnT,2222121110nnnT两式相减得,2211)211(222121212121112101nnnnnnnT.2282nnnT39. 据统计， 2015 年“双 11”天猫总成交金额突破912亿元 . 某
31、购物网站为优化营销策略，对11 月11 日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1000元的1000名网购者（其中有女性800名，男性200名）进行抽样分析采用根据性别分层抽样的方法从这1000名网购者中抽取100名进行分析，得到下表：（消费金额单位：元）女性消费情况：男性消费情况：（1）计算,x y的值；在抽出的100名且消费金额在800,1000（单位：元）的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的两名网购者恰好是一男一女的概率；消费金额(0,200)200,400400,600600,800800,1000人数5101547x消费金额(0,200)200,400400,600600,
32、800800,1000人数2310y2女性男性总计网购达人精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页（2）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写右边22列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为网购达人与性别有关 ?”附：20()P kk0.100.050.0250.0100.0050k2.7063.8415.0246.6357.879（22()()()()()n adbckab cd ac bd，其中nabcd）【答案】（ 1
33、）,3, 3 yx53；（2）能. 【解答】：（ 1）依题意，女性应抽取80名，男性应抽取20名，80(5101547)3x，20(23102)3y. 设抽出的100名且消费金额在800,1000（单位：元）的网购者中有三位女性记为,A B C；两位男 性记为,a b，从5人中任选2人的基本事件有：( ,),(,),(, ),(, )A BA CA aA b ,( ,),(, ),(, )B CB aB b,( , ),(, )C aC b,( , )a b共10个. 设“选出的两名网购者恰好是一男一女”为事件M， 事件M包含的基本事件有：( , ),(, ),(, ),(, ),(, ),(
34、, )A aA bB aB bC aC b共6件63().105P M（2）22列联表如下表所示则22()()()()()n adbckab cd ac bd2100(50 1530 5)802055 459.091，因为9.091 6.635，所以能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为网购达人”与性别有关 . 40. 某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1 至 10 分，随机调阅了A、B 两所学校各60 名学生的成绩，得到样本数据如下：非网购达人总计女性男性总计网购达人50555非网购达人301545总计8020100精选学习资料 - - - - - - - - -
35、 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页（1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较. (2) 从 A校样本数据成绩分别为7 分、8 分和 9 分的学生中按分层抽样方法抽取6 人，若从抽取的6人中任选 2 人参加更高一级的比赛，求这2 人成绩之和大于或等于15 的概率 . 【答案】（ 1）1.5,ABxx21.5,AS21.8;BS（2）()0.02P C. 【解析】：（ 1）从 A校样本数据的条形图可知：成绩分别为4 分、5 分、6 分、 7 分、8 分、9 分的学生分别有： 6 人、 15 人、21 人、12 人、3 人、3 人. A校样本的平均成
36、绩为465 156217128393660Ax（分），A校样本的方差为22216 (46)3 (96)1.560AS. 从 B校样本数据统计表可知：B校样本的平均成绩为495 1262179869 3660Bx（分），B校样本的方差为22219(46)3 (96)1.860BS. 因为,ABxx所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又因为22ABSS，所以 A 校的学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比B 校好 . (2) 依题意， A校成绩为 7分的学生应抽取的人数为：61241233人，设为, , ,a b c d； 成绩为 8 分的学生应抽取的人数为：6311233人，设为e；成绩为 9
37、 分的学生应抽取的人数为：6311233人，设为f；所以，所有基本事件有：,ab ac ad ae af bc bd be bf cd ce cf de dfef共 15 个，其中，满足条件的基本事件有：,ae af be bf ce cf de df ef共 9 个，所以从抽取的6 人中任选 2 人参加更高一级的比赛，这2 人成绩之和大于或等于15 的概率为93155P.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页41. 在三棱柱111CBAABC中，侧面11AABB为矩形，2, 11AAAB，D为1AA的中点，BD与1
38、AB交于点O，CO侧面11AABB（1）求证：1ABBC；（2）若OAOC，求三棱锥ABCB1的体积【答案】（ 1）证明见解析；（2）618【解析】 (1)112,2ADABDAEABBABAA, 1.BB AABD11190 ,90 ,ABDDBBBB ADBB故1,ABBD11111COABB ABDABB ACOAB平面，平面，11,.BDCOOABCBDABCB平面，(2)21113cos,.33OAABABOABOAOCABABAB1111361232318BABCCABBVV.42. 如 图 ， 在 四 棱 锥PABCD中 ，PD平 面ABCD， 底 面ABCD是 菱 形 ，60B
39、AD，2ABPD,O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点（1）证明：平面EAC平面PBD；(2) 若E是PB中点 , 求点B平面EDC的距离 . 【答案】（ 1）证明见解析；（2）2217证明:(1)PD平面ABCD, AC平面ABCD,ACPD. 四边形ABCD是菱形 , ACBD, 又PDBDD,AC平面PBD. 而AC平面EAC,平面EAC平面PBD. （2）E是PB中点，连结EO，则PDEO/，EO平面ABCD，且1EO. ,2,2,3, 1ECDEOCOD.27214221CDES精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，
40、共 23 页12B EDCEBDCP BDCVVV1123BDCSPD113232623 ，设点B平面EDC的距离为d，13322 21,3.3377B EDCCDECDEVSddS43. 如图, 已知O为原点 , 圆C与y轴相切于点0,2T, 与x轴正半轴相交于两点,M N（点M在点N的右侧） , 且3MN. 椭圆2222:10 xyDabab过点6( 2,)2, 且焦距等于2 ON（1）求圆C和椭圆D的方程；（2）若过点M斜率不为零的直线l与椭圆D交于A、B两点, 求证：直线NA与直线NB的倾角互补【答案】（ 1）22525224xy；22143xy（2）见试题解析 . 【解析】（ 1）设
41、圆的半径为r, 由题意 , 圆心为,2r, 3MN, 222325224r,52r故圆的方程为22525224xy令0y, 解得1x或4x, 所以1,0 ,4,0NM由222222222,6221,cababc得221,4,3cab椭圆D的方程为22143xy（2）设直线l的方程为4yk x, 由221434xyyk x，得2222343264120kxk xk， 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页设1122,A x yB xy, 则22121222326412,3434kkxxx xkk 因为121211ANB
42、Nyykkxx12122112124441411111k xk xxxxxkxxxx12121225811kx xxxxx2222122 641216080113434kkkxxkk， 所以ANBNkk当11x或21x时,12k, 此时方程,0, 不合题意 . 直线AN与直线BN的倾斜角互补44. 已知点(5, 4)G，圆221:(1)(4)25,Cxy过点G的动直线l与圆1C相交于EF、两点，线段EF的中点为C. （1）求点C的轨迹2C的方程；（2）若过点(1,0)A的直线1l与2C相交于PQ、两点，线段PQ的中点为M，又1l与2:220lxy的交点为N，求证：AMAN为定值 . 解：（ 1
43、）圆1C的圆心为1(1,4)C，半径为5，设( , )C x y，则1(1,4)CCxy，(5,4)CGxy，由题设知10CC CG，所以(1)(5)(4)(4)0 xxyy，即22(3)(4)4xy. （2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为0kxyk，由0220kxykxy得223(,)2121kkNkk，又直线2C M与1l垂直，由14(3)ykxkyxk得222243 42(,)11kkkkMkk，2222 213 116121kkAMANAMANkkk（定值） .45. 已知函数lnfxaxxx aR（1）若函数fx在区间, e上为增函数 , 求a的取值范围；（2）
44、当1a且kZ时, 不等式1k xfx在1,x上恒成立 , 求k的最大值【答案】（ 1）2a；（2）3, 【解析】：（ 1）ln1fxax, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页即由题意知0fx在,e上恒成立即ln1 0 xa在, e上恒成立 , 即ln1ax在,e上恒成立 , 而maxln1ln12xe, 所以2a（2）ln ,1fxfxxxx kx，即ln1xxxkx对任意1x恒成立令ln1xxxg xx, 则2ln21xxgxx令ln21h xxxx, 则1110 xhxh xxx在1,上单调递增31 ln30
45、,422ln 20hh, 存在03,4x使00h x即当01xx时,0,h x即0gx；0 xx时,0,h x即0g xg x在01,x上单调递减 , 在0,x上单调递增令000ln20h xxx, 即00ln2xx. 000000min001 ln123,411xxxxg xg xxxx，0minkg xx且kZ, 即max3k46. 已知函数xxaxfln)21()(2,axxfxg2)()(（Ra）. （1）当0a时，求)(xf在区间1,ee上的最大值和最小值；（2）若对x(1,)，( )0g x恒成立，求a的取值范围【解答】：（ 1）函数xxaxfln)21()(2的定义域为(0,)当
46、0a时，xxxfln21)(2，xxxxxxxxf)1)(1(11)(2；当) 1,1ex, 有0)(xf；当, 1(ex，有0)( xf，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页)( xf在区间 e1，1 上是增函数，在 1 ，e 上为减函数，又2211)1(eef，21)(2eef，1(1),2f21)()(2mineefxf，max1( )(1)2fxf. （2）xaxxaaxxfxgln2)21(2)()(2，则)(xg的定义域为),0(. 21(21)21(1)(21)1( )(21)2axaxxaxg xa
47、xaxxx. 若21a，令0)(xg，得极值点11x，1212ax，当112xx，即121a时，在)1 ,0(上有0)(xg，在), 1(2x上有0)(xg，在),(2x上有0)(xg，此时)(xg在区间),(2x上是增函数，并且在该区间上有),),()(2xgxg不合题意；当112xx，即1a时，同理可知，)( xg在区间), 1(上，有),),1()(gxg也不合题意； 若21a，则有012a，此时在区间), 1(上恒有0)( xg，从而)( xg在区间), 1(上是减函数；要使0)(xg在此区间上恒成立，只须满足021) 1(ag21a，由此求得a的范围是1 1,2 2. 综合可知，当1
48、 1,2 2a时，对x(1,)，( )0g x恒成立 .47 从下列三题中选做一题(一). 选修 4-1：几何证明选讲如图所示，两个圆相内切于点T，公切线为TN，外圆的弦TC，TD分别交内圆于A、B两点，并且外圆的弦CD恰切内圆于点M. (1) 证明：/ABCD；(2) 证明：AC MDBD CM. 【解 答】：（ 1）由弦切角定理可知，NTBTAB, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页同理，NTBTCD, 所以TCDTAB,所以/ /ABCD. （2）连接 TM 、AM,因为 CD是切内圆于点M ，所以由弦切角
49、定理知，CMAATM，又由（ 1）知/AB CD，所以，CMAMAB，又MTDMAB, 所以MTDATM. 在MTD中, 由正弦定理知 , sinsinMDTDDTMTMD, 在MTC中, 由正 弦定理知 , sinsinMCTCATMTMC, 因TMCTMD, 所以MDTDMCTC, 由/ /ABCD知TDBDTCAC, 所以MDBDMCAC, 即, AC MDBD CM. (二)选修 4-4 ：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是4cos以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为x轴的正半轴 , 建立平面直角坐标系 , 直线l的参数方程是1cossinxtyt（t为参数）（1）将曲线C的极
50、坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点 , 且14AB, 求直线l的倾斜角的值【答案】（ 1）2224xy；（2）4或34. 【解析】：（ 1）由4cos得24cos222xy,cosx,siny, 曲 线C的直角坐标方程为2240 xyx, 即2224xy. （2）将1cos ,sinxtyt代入圆的方程得22cos1sin4tt, 化简得22 cos30tt设,A B两点对应的参数分别为1t、2t, 则121 22cos,3.ttt t2212121 244cos1214ABtttttt24cos2,2cos2,4或34(三)选修 4-5 ：不等式选讲设函数121