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1、绝密启用前 2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.第卷 （共110分）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1函数的最小正周期T= .2若 3
2、在等差数列中，a5=3, a6=2,则a4+a5+a10= 4已知定点A（0，1），点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是 5在正四棱锥PABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60，则异面直线PA与BC所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）6设集合A=x|x|0, 则集合x|xA且= .7在ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则ABC= .（结果用反三角函数值表示）8若首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a1，公比q的一组取值可以是（a1，q）= .9某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组
3、成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）10方程x3+lgx=18的根x .（结果精确到0.1）11已知点其中n为正整数.设Sn表示ABC外接圆的面积，则= .12给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 |PF1|PF2|=8，即|9|PF2|=8，得|PF2|=1或17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内. .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出
4、代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.13下列函数中，既为偶函数又在（0，）上单调递增的是（ ）Ay=tg|x|.By=cos(x).CD.14在下列条件中，可判断平面与平行的是（ ）A、都垂直于平面r.B内存在不共线的三点到的距离相等.Cl，m是内两条直线，且l，m.Dl，m是两条异面直线，且l，m，l，m.15在P（1，1）、Q（1，2）、M（2，3）和N四点中，函数的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点（ ）APBQ.CM.DN.16f()
5、是定义在区间c,c上的奇函数，其图象如图所示：令g（）=af（）+b，则下 列关于函数g（）的叙述正确的是（ ）A若a0,则函数g（）的图象关于原点对称.B若a=1， 0b2,则方程g（）=0有大于2的实根.C若a=2,b=0,则函数g(x)的图象关于y轴对称D若 a0,b=2,则方程g（）=0有三个实根.三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17（本题满分12分） 已知复数z1=cosi，z2=sin+i，求| z1z2|的最大值和最小值.18（本题满分12分） 已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，A1A平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1D
6、BC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30，求平行六面体ABCDA1B1C1D1的体积. 19（本题满分14分） 已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性. 20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. （1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？ （2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1
7、米） 21（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分. 在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，3）为OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零. （1）求向量的坐标； （2）求圆关于直线OB对称的圆的方程； （3）是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围. 22（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.已知数列（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列. （1）求和： （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结
8、论，并加以证明. （3）设q1，Sn是等比数列的前n项和，求： 2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文史类）答案一、（第1题至第12题）1. 2. 349 . 4. 5arctg2. 61,3.7 8的一组数）. 9 102.6 .114 12|PF2|=17.二、（第13题至第16题）题 号13141516代 号CDDB三、（第17题至第22题）17解 故的最大值为最小值为.18解连结BD，因为B1B平面ABCD，B1DBC，所以BCBD.在BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=.又因为直线B1D与平面ABCD所成的角等于30，所以B1DB=30，于是BB1=BD=2.
9、故平行六面体ABCDA1B1C1D1的体积为SABCDBB1=.19解x须满足所以函数的定义域为（1，0）（0，1）.因为函数的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有，所以是奇函数.研究在（0，1）内的单调性，任取x1、x2（0，1），且设x10，即在（0，1）内单调递减，由于是奇函数，所以在（1，0）内单调递减.20解（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5）， 椭圆方程为.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得.因此隧道的拱宽约为33.3米.（2）由椭圆方程，得 故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.解二由椭圆方程，得 于是得以下同解一.21解（1）设得 所以v30,得v=8,故=6，8.（2）由=10，5，得B（10，5），于是直线OB方程：由条件可知圆的标准方程为：(x3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，1），半径为.设圆心（3，1）关于直线OB的对称点为（x ,y）则故所求圆的方程为(x1)2+(y3)2=10（3）设P (x1,y1), Q (x2,y2) 为抛物线上关于直线OB对称两点，则故当时，抛物线y=ax21上总有关于直线OB对称的两点.22解（1）（2）归纳概括的结论为：若数列是首项为a1，公比为q的等比数列，则（3）因为