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1、绝密启用前 2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1设，则不等式的解集为_.2设，其
2、中为虚数单位，则z的虚部等于_.3已知平行直线，则的距离是_.来 4某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76，则这组数据的中位数是_（米）.5若函数的最大值为5，则常数_.6已知点在函数的图像上，则.7若满足 则的最大值为_.8方程在区间上的解为_.来 9在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_.10已知ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_.11某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为_. 12如图，已知点O(0,0),A(1.0),B(0,1),
3、P是曲线上一个动点，则的取值范围是 .13设a0,b0. 若关于x,y的方程组无解，则的取值范围是 .14无穷数列an由k个不同的数组成，Sn为an的前n项和.若对任意，则k的最大值为 .二、 选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15设，则“”是“”的（ ）.（A） 充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件16如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ）.(A)直线AA1 (B)直线A
4、1B1 (C)直线A1D1 (D)直线B1C117设，.若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为（ ）. (A)1 (B)2 (C)3 (D)418设、是定义域为的三个函数对于命题：若、均是增函数，则、均是增函数；若、均是以为周期的函数，则、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）.(A)和均为真命题 (B)和均为假命题(C)为真命题，为假命题 (D)为假命题，为真命题三、解答题（本题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19（本题满分12分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分6分.将边长为1的正方形AA1O1
5、O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图， 长为 ，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小. 20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分8分. 有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到点或河边运走.于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图.（1） 求菜地内的分界线的方程；（2） 菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到
6、面积的“经验值”为.设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的“经验值”.21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.（1）若l的倾斜角为 ，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率. 22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.对于无穷数列与，记A=|=，B=|=，若同时满足条件：，均单调递增；且，则称与是无穷互补数列.（1）若=
7、，=，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若=且与是无穷互补数列，求数列的前16项的和；（3）若与是无穷互补数列，为等差数列且=36，求与的通项公式.23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知R，函数=.（1）当时，解不等式1；（2）若关于的方程+=0的解集中恰有一个元素，求的值；（3）设0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.考生注意：1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.2. 本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上
8、，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地写姓名、转考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1设，则不等式的解集为_.【答案】【解析】试题分析：，故不等式的解集为.考点：绝对值不等式的基本解法.2设，其中为虚数单位，则z的虚部等于_.【答案】3【解析】试题分析：考点：1.复数的运算；2.复数的概念. 3已知平行直线，则的距离是_.【答案】【解析】试题分析：利用两平行线间的距离公式得.考点：两平行线间距离公式.
9、4某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76，则这组数据的中位数是_（米）.【答案】1.76【解析】试题分析：将这5位同学的身高按照从低到高排列为：1.69,1.72,1.76,1.78,1.80，这五个数的中位数是1.76.考点：中位数的概念.5若函数的最大值为5，则常数_.【答案】【解析】试题分析：，其中，故函数的最大值为，由已知得，解得.考点：三角函数 的图象和性质.6已知点在函数的图像上，则.【答案】考点：反函数的概念以及指、对数式的转化.7若满足 则的最大值为_.【答案】【解析】试题分析：由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，令，当直
10、线经过点时，取得最大值.POyx考点：线性规划及其图解法.8方程在区间上的解为_.【答案】【解析】试题分析：化简得：，所以，解得或（舍去），又，所以.考点：二倍角公式及三角函数求值.9在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_.【答案】112【解析】试题分析：由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为，即，所以，又二项展开式的通项为，令，所以，所以，即常数项为112.考点：二项式定理.10已知ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_.【答案】【解析】试题分析：利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为，所以此角的正弦值为，由正弦定理得,所以.考点：正弦
11、、余弦定理.11某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为_.【答案】【解析】试题分析：将4种水果每两种分为一组，有种方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为.考点：古典概型12如图，已知点O(0,0),A(1.0),B(0,1),P是曲线上一个动点，则的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：由题意，设, ，则，又, 所以.考点：1.数量积的运算；2.数形结合的思想.13设a0,b0. 若关于x,y的方程组无解，则的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行，所以且.又，为正数，所以（），即的取值范围是.
12、 考点：方程组的思想以及基本不等式的应用. 14无穷数列an由k个不同的数组成，Sn为an的前n项和.若对任意，则k的最大值为 .【答案】4考点：数列的项与和.三、 选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15设，则“”是“”的（ ）.（B） 充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件【答案】A【解析】试题分析：，所以“”是“”的充分非必要条件，选A.考点：充要条件16如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与
13、直线EF相交的是（ ）. (A)直线AA1 (B)直线A1B1 (C)直线A1D1 (D)直线B1C1【答案】D【解析】试题分析：只有与在同一平面内，是相交的，其他A，B，C中的直线与都是异面直线，故选D考点：异面直线17设，.若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为（ ）.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【答案】B【解析】试题分析：，又，注意到，只有这两组故选B考点：三角函数18设、是定义域为的三个函数对于命题：若、均是增函数，则、均是增函数；若、均是以为周期的函数，则、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）.(A)和均为真命题 (B)和均为假命题(C)为真命题
14、，为假命题 (D)为假命题，为真命题【答案】D【解析】试题分析：考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.三、解答题（本题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19（本题满分12分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分6分.将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图， 长为 ，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小. 【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径由此计算即得.（2）
15、由得或其补角为与所成的角，再结合题设条件计算即得试题解析：（1）由题意可知，圆柱的母线长，底面半径圆柱的体积，圆柱的侧面积（2）设过点B1的母线与下底面交于点B，则，所以或其补角为与所成的角由长为，可知，由长为，可知，所以异面直线与所成的角的大小为考点：1.几何体的体积；2.空间角.20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分8分. 有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到点或河边运走.于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐
16、标为（1,0），如图.（3） 求菜地内的分界线的方程；（4） 菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为.设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的“经验值”.【答案】（1）（）；（2）矩形面积为，五边形面积为，五边形面积更接近于面积的“经验值”【解析】所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为，所以五边形面积更接近于面积的“经验值”考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积计算.21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第
17、2小题满分8分.双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.（1）若l的倾斜角为 ，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率. 【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）设，根据题设条件可以得到，从而解得的值（2）设，直线与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据与双曲线交于两点，可得，且由|AB|=4构建关于的方程进行求解试题解析：（1）设由题意，因为是等边三角形，所以，即，解得故双曲线的渐近线方程为（2）由已知，设，直线由，得因为与双曲线交于两点，所以，且由，得，故，解得，故的斜率为考点：1.双曲线的几何性质
18、；2.直线与双曲线的位置关系；3.弦长公式.22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.对于无穷数列与，记A=|=，B=|=，若同时满足条件：，均单调递增；且，则称与是无穷互补数列.（1）若=，=，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若=且与是无穷互补数列，求数列的前16项的和；（3）若与是无穷互补数列，为等差数列且=36，求与的通项公式.【答案】（1）与不是无穷互补数列，理由见解析；（2）；（3），【解析】试题分析：（1）直接应用定义“无穷互补数列”的条件验证即得；（2）利用等差数列与等比数列的求和公式进行求解；（3）先求等差数列的通
19、项公式，再求的通项公式.试题解析：（1）因为，所以，从而与不是无穷互补数列（2）因为，所以考点：等差数列、等比数列、新定义问题23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知R，函数=.（1）当时，解不等式1；（2）若关于的方程+=0的解集中恰有一个元素，求的值；（3）设0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或；（3）【解析】试题分析：（1）由，得，从而得解（2）转化得到，讨论当、时的情况即可 （3）讨论在上的单调性，再确定函数在区间上的最大值与最小值之差，由此得到，对任意成立试题解析： （1）由，得，解得（2）有且仅有一解，函数在区间上的最大值与最小值分别为，即，对任意成立因为，所以函数在区间上单调递增，所以时，有最小值，由，得故的取值范围为考点：1.对数函数的性质；2.函数与方程；3.二次函数的性质.