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1、绝密启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1计算：= （i为虚数单位）. 2若集合，则= . 3函数的最小正周期是 . 4若是直线的一个方向向量，则的倾
2、斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 5一个高为2的圆柱，底面周长为2p，该诉表面积为 . 6方程的解是 .7有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,Vn,，则 . 8在的二项展开式中，常数项等于 .9已知是奇函数. 若且.，则 .OMxla10满足约束条件的目标函数的最小值是 .11三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.12在知形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是 .13已知函数的图像是折线段AB
3、C，若中A(0,0)，B(,1)，C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为 .14已知.各项均为正数的数列满足，.若 ，则的值是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15若是关于x的实系数方程的一个复数根，则（ ）（A）.（B）.（C）.（D）.16对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件（C）充分必要条件.（D）既不充分也不必要条件.17在中，若，则的形状是（ ）（A）钝角三角形.（B）直角三角形（C）锐角三角形.（D）不能确定.18若，则在中，正数的个数是（ ）（A）16.（B）72.（C）86.（D）100.三、解答题（本大题
4、共有5题，满分74分）PABCD19如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，D是PC的中点.已知BAC=，AB=2，AC=2，PA=2.求：（1）三棱锥P-ABC的体积；（6分）（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分）20已知函数. （1）若，求的取值范围；（6分） （2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.（8分）xOyPA21海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位
5、后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为. （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）22在平面直角坐标系中，已知双曲线. （1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点. 若|MF|=2，求过M点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分） （3）设斜率为的直线l交C于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OPOQ；（6分）23对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,m），即为中的最大值，并
6、称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5. （1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；（4分） （2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,m）.求证：（k=1,2,m）；（6分） （3）设m=100，常数.若，是的控制数列，求.2012年上海高考数学（文科）试卷解答 一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1计算：= 1-2i （i为虚数单位）. 2若集合，则= . 3函数的最小正周期是 p . 4若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）. 5一个高为2的圆柱，底面周长为2p，该诉表面积为 6p
7、 . 6方程的解是.7有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,Vn,，则 . 8在的二项展开式中，常数项等于 -20 .9已知是奇函数. 若且.，则 3 .10满足约束条件的目标函数的最小值是 -2 .11三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.12在知形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是 1, 4 .13已知函数的图像是折5线段ABC，若中A(0,0)，B(,1)，C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的
8、面积为 .14已知.各项均为正数的数列满足，.若 ，则的值是.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15若是关于x的实系数方程的一个复数根，则（ D ）（A）.（B）.（C）.（D）.16对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ B ）（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件（C）充分必要条件.（D）既不充分也不必要条件.17在中，若，则的形状是（ A ）（A）钝角三角形.（B）直角三角形.（C）锐角三角形.（D）不能确定.18若，则在中，正数的个数是（ C ）（A）16.（B）72.（C）86.（D）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）PABCD19如图，在三棱锥P-ABC
9、中，PA底面ABC，D是PC的中点.已知BAC=，AB=2，AC=2，PA=2.求：（1）三棱锥P-ABC的体积；（6分）（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分）解（1）， 2分PABCDE 三棱锥P-ABC的体积为. 6分 （2）取PB的中点E，连接DE、AE，则 EDBC，所以ADE（或其补角）是异面直线 BC与AD所成的角. 8分 在三角形ADE中，DE=2，AE=，AD=2， ，所以ADE=. 因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是. 12分20已知函数. （1）若，求的取值范围；（6分） （2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.（
10、8分）解（1）由，得. 由得. 3分 因为，所以，. 由得. 6分 （2）当x1,2时，2-x0,1，因此. 10分由单调性可得.因为，所以所求反函数是，. 14分21海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴xOyPA正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为. （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）问救援船的时速至少是多少
11、海里才能追上失事船？（8分）解（1）时，P的横坐标xP=，代入抛物线方程 中，得P的纵坐标yP=3. 2分 由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时. 4分 由tanOAP=，得OAP=arctan，故救援船速度的方向 为北偏东arctan弧度. 6分 （2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为. 由，整理得.10分 因为，当且仅当=1时等号成立， 所以，即. 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. 14分22在平面直角坐标系中，已知双曲线. （1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点. 若|MF|=2，求过M点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行
12、线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分） （3）设斜率为的直线l2交C于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OPOQ；（6分）解（1）双曲线，左焦点. 设，则， 2分 由M是右支上一点，知，所以，得. 所以. 5分 （2）左顶点，渐近线方程：. 过A与渐近线平行的直线方程为：，即. 解方程组，得. 8分 所求平行四边形的面积为. 10分 （3）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切，故，即 (*).由，得. 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则. ，所以 . 由(*)知，所以OPOQ. 16分23对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,m），即为中的最大值，并称数列是的控制数
13、列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5. （1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；（4分） （2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,m）.求证：（k=1,2,m）；（6分） （3）设m=100，常数.若，是的控制数列，求.解（1）数列为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3； 2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. 4分 （2）因为， 所以. 6分 因为， 所以，即. 8分 因此，. 10分 （3）对，； ；. 比较大小，可得. 12分 因为，所以，即； ，即. 又，从而，
14、. 15分 因此 = = =. 18分2012上海高考数学试题（文科）答案与解析一、 填空题（本大题共有14题，满分56分）1计算：= （i为虚数单位）.【答案】1-2i【解析】=1-2i【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分母实数化即可。 2若集合，则= .【答案】【解析】由集合A可得：x，由集合B可得：-1经1，所以，=【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等的解法，解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴可得。 3函数的最小正周期是 .【答案】【解析】根据韪得：【点评】本题主要考查行列式的基本运算
15、、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小.4若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.【答案】【解析】设直线的倾斜角为，则.【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.5.一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为 .【答案】【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为，所以该圆柱的表面积为：.【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积
16、公式要记准记牢，属于中低档题.6.方程的解是 .【答案】【解析】根据方程，化简得，令，则原方程可化为，解得 或，即.所以原方程的解为 .【点评】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 .【答案】 【解析】由正方体的棱长组成以为首项，为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，为公比的等比数列，因此， .【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数
17、列的定义.考查知识较综合.8.在的二项式展开式中，常数项等于 .【答案】 【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是 .【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.9.已知是奇函数，若且，则 .【答案】 【解析】因为函数为奇函数，所以有，即 .【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数为奇函数，所以有这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10.满足约束条件的目标函数的最小值是 .【答案】【解析】根据题意得到或或或其可行域为平行四边形区域，（包括边界）目标函数可以化成，的最小值就是该直
18、线在轴上截距的最小值，当该直线过点时，有最小值，此时 . 【点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点时，有最小值，此时 ，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中.11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）.【答案】【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为 .【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.12.在矩形中，边、的长分别为2、1，若
19、、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 【答案】【解析】以向量AB所在直线为轴，以向量AD所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为，所以 设，根据题意，所以所以，所以， 即. 【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13.已知函数的图像是折线段，其中、，函数（）的图像与轴围成的图形的面积为 .【答案】【解析】根据题意，得到，从而得到所以围成的面积为，所以围成的图形的面积为 .【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性
20、较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.14.已知，各项均为正数的数列满足，若，则的值是 .【答案】 【解析】据题，并且，得到，得到，解得（负值舍去）.依次往前推得到 .【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15.若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）A B. C. D.【答案】 D 【解析】根据实系数方程的根的特点知也是该方程的另一个根，所以，即，故答案选择D.【点评】本题主要考查实系数方程的
21、根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算.属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.16.对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】方程的曲线表示椭圆，常数常数的取值为所以，由得不到程的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出，因而必要.所以答案选择B.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数的取值情况.属于中档题.17.在中，若，则的形状是（ ）A钝角三角形 B、.直角三角形 C.锐角三
22、角形 D.不能确定【答案】 A【解析】由正弦定理，得代入得到，由余弦定理的推理得，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择A.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.18.若（），则在中，正数的个数是（ ）A16 B.72 C.86 D.100【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综
23、合分析问题和解决问题的能力.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）PABCD19如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，D是PC的中点.已知BAC=，AB=2，AC=2，PA=2.求：（1）三棱锥P-ABC的体积；（6分）（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分）解（1）， 2分PABCDE 三棱锥P-ABC的体积为. 6分 （2）取PB的中点E，连接DE、AE，则 EDBC，所以ADE（或其补角）是异面直线 BC与AD所成的角. 8分 在三角形ADE中，DE=2，AE=，AD=2， ，所以ADE=. 因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是. 12分【点
24、评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于必修2立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题20已知函数. （1）若，求的取值范围；（6分） （2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.（8分）解（1）由，得. 由得. 3分 因为，所以，. 由得. 6分 （2）当x1,2时，2-x0,1，因此. 10分由单调性可得.因为，所以所求反函数是，. 14分【点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形
25、结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题21海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴xOyPA正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为. （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）解（1）时，P的横坐标xP=，代入抛物线方程 中，得P的纵坐标
26、yP=3. 2分 由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时. 4分 由tanOAP=，得OAP=arctan，故救援船速度的方向 为北偏东arctan弧度. 6分 （2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为. 由，整理得.10分 因为，当且仅当=1时等号成立， 所以，即. 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. 14分【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题22在平面直角坐标系中，已知双曲线.
27、（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点. 若|MF|=2，求过M点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分） （3）设斜率为的直线l2交C于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OPOQ；（6分）解（1）双曲线，左焦点. 设，则， 2分 由M是右支上一点，知，所以，得. 所以. 5分 （2）左顶点，渐近线方程：. 过A与渐近线平行的直线方程为：，即. 解方程组，得. 8分 所求平行四边形的面积为. 10分 （3）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切，故，即 (*).由，得. 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则. ，所以 .
28、 由(*)知，所以OPOQ. 16分【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为，它的渐近线为，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 23对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,m），即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5. （1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；（4分） （2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,m）.求证：（k=1,2,m）；（6分） （3）
29、设m=100，常数.若，是的控制数列，求.解（1）数列为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3； 2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. 4分 （2）因为， 所以. 6分 因为， 所以，即. 8分 因此，. 10分 （3）对，； ；. 比较大小，可得. 12分 因为，所以，即； ，即. 又，从而，. 15分 因此 = = =. 18分【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“控制”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力综合考查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视