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1、一、力矩做功一、力矩做功对于有限角位移，外力做功用积分表示对于有限角位移，外力做功用积分表示外力对转动刚体所做的元功等于相应的力矩和角位移外力对转动刚体所做的元功等于相应的力矩和角位移的乘积的乘积力力 所做元功表示为所做元功表示为O3.3 刚体定轴转动中的功和能刚体定轴转动中的功和能二、刚体的转动动能和重力势能二、刚体的转动动能和重力势能1.绕定轴转动刚体的绕定轴转动刚体的动能动能刚体的总动能刚体的总动能正是刚体对转轴的转动惯量正是刚体对转轴的转动惯量刚体的转动动能刚体的转动动能刚体受到保守力作用，可引入势能概念。重刚体受到保守力作用，可引入势能概念。重力场中刚体就具有一定力场中刚体就具有一定
2、重力势能重力势能。根据质心定义，该刚体质心高度为根据质心定义，该刚体质心高度为重力势能可以表示为重力势能可以表示为2.定轴转动刚体的势能定轴转动刚体的势能 三、定轴转动的动能定理三、定轴转动的动能定理对于一有限过程对于一有限过程合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。这就是刚体定轴转动的动能定理这就是刚体定轴转动的动能定理设作用于刚体的合外力矩为M，刚体转过角位移d时，合外力矩的功为 由转动定律：由转动定律：例例3-63-6 某一冲床利用飞轮的转动动能通过曲柄连杆机构某一冲床利用飞轮的转动动能通过曲柄连杆机构的传动，带动冲头在铁板上穿孔。已知
3、飞轮为均匀圆盘，的传动，带动冲头在铁板上穿孔。已知飞轮为均匀圆盘，其半径为其半径为r=0.4m，质量为，质量为m=600kg，飞轮的正常转速是，飞轮的正常转速是 ，冲一次孔转速降低，冲一次孔转速降低20%。求冲一次孔冲头做的功。求冲一次孔冲头做的功。解：以解：以 和和 分别表示冲孔前后的飞轮的角速度分别表示冲孔前后的飞轮的角速度由转动动能定理由转动动能定理又又例例3-73-7半径半径R质量质量M的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转动，滑轮上绕有轻绳，绳的一端悬挂质量为动，滑轮上绕有轻绳，绳的一端悬挂质量为m的物体。的物体。当物体从静止下降距离当物体从静止下降距离h时
4、，物体速度是多少？时，物体速度是多少？解：以滑轮、物体和地球组成系统为研究对解：以滑轮、物体和地球组成系统为研究对象。由于只有保守力做功，故机械能守恒。象。由于只有保守力做功，故机械能守恒。初态：动能为零，重力势能为初态：动能为零，重力势能为末态：动能包括滑轮转动动能和物体平动动能末态：动能包括滑轮转动动能和物体平动动能设终态时重力势能为零设终态时重力势能为零由机械能守恒由机械能守恒定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。1.冲量矩3.4刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律 数学表达：一、冲量矩一、冲量矩 角动量角
5、动量 2.角动量整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动量整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动量即每个质元的动量对转轴之矩的和。即每个质元的动量对转轴之矩的和。2.12.1质点的角动量质点的角动量定义质点定义质点 相对原点的角相对原点的角动量定义为动量定义为方向由右手螺旋法则得到：方向由右手螺旋法则得到：右手拇指伸直，其余四指由右手拇指伸直，其余四指由矢径矢径 通过小于通过小于 的角弯的角弯向向 ，拇指所指方向就是，拇指所指方向就是 的方向。的方向。质点作圆周运动的角动量质点作圆周运动的角动量刚体对刚体对 轴的角动量为轴的角动量为刚体对转轴的角动量等于其转动惯量与角速度乘积。刚体对转轴
6、的角动量等于其转动惯量与角速度乘积。刚体绕刚体绕 轴的转动惯量轴的转动惯量2.2刚体的角动量刚体的角动量1.1.质点角动量定理及守恒定律质点角动量定理及守恒定律质点所受合外力矩等于质质点所受合外力矩等于质点角动量对时间的变化率点角动量对时间的变化率对时间求导对时间求导矢积定义矢积定义二、角动量定理和角动量守恒定理二、角动量定理和角动量守恒定理若质点所受合外力矩为零，即若质点所受合外力矩为零，即如果质点所受合外力矩为零，则质点的角动量保持不变，如果质点所受合外力矩为零，则质点的角动量保持不变，这就是质点的这就是质点的角动量守恒定律角动量守恒定律。解：卫星在运动过程中，所受力主要是万有引力，其它力
7、忽解：卫星在运动过程中，所受力主要是万有引力，其它力忽略不计，故卫星在运动过程中对地心角动量守恒。略不计，故卫星在运动过程中对地心角动量守恒。例：例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆的我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆的一个焦点。已知地球半径一个焦点。已知地球半径 ，卫星的近地点到地面距离，卫星的近地点到地面距离 ，卫星的远地，卫星的远地点到地面距离点到地面距离 。若卫星在近地点速率为。若卫星在近地点速率为 ，求它在远地点速率，求它在远地点速率 。在近地点和远地点在近地点和远地点 ，所以，所以2.刚体的角动量定理及守恒定律刚体的角动量定理及守恒定律
8、刚体所受合外力矩与角加速度关系为刚体所受合外力矩与角加速度关系为利用角动量表示利用角动量表示刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚体刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动量定绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动量定理的一种形式。理的一种形式。当合外力矩为零时当合外力矩为零时如果物体所受合外力矩为零，或不受外力矩的作用，如果物体所受合外力矩为零，或不受外力矩的作用，物体的角动量保持不变，这就是物体的角动量保持不变，这就是角动量守恒定律角动量守恒定律。注意注意(1)角动量守恒定律不仅适用于刚体，对非刚体同样适用角动量守恒定律不仅适用于刚体，对非刚体同样适用(2)角动量守恒定律对天体运动以及微观粒子运动同样适用角动量守恒定律对天体运动以及微观粒子运动同样适用例例3-83-8 如图，一均质杆，长为L、质量为M。可绕水平光滑转轴自由转动。今有一质量为m，速度为v0的子弹，沿水平方向距水平转轴距离为a射入竖直、静止的杆内。杆能摆起的最大角度max=60，求v0。解：把子弹与杆作系统。由于子弹入射杆的瞬间，系统合外力矩为零故角动量守恒。设子弹射入后杆起摆的角速度为，则有：子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机械能守恒。课后习题3-63-17