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1、2 0 1 5年 全 国 硕 士 研 究 生 入 学 统 一 考 试 数 学 三 试 题 一、选择题:18 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.设kx是数列，下列命题中不正确的是（）(A)若limkkxa，则221limlimkkkkxxa.(B)若221limlimkkkkxxa，则limkkxa(C)若limkkxa，则321limlimkkkkxxa(D)若331limlimkkkkxxa，则limkkxa 2.设函数()f x在(,)连续，其二阶导函数()fx的图形如右图所示，则曲线()
2、yf x的拐点个数为（）（A）0 (B)1 (C)2 (D)3 3.设2222(,)2,2Dx y xyx xyy，函数(,)f x yD 上连续，则(,)Df x y dxdy=（）4.下列级数中发散的是（）（A）13nnn (B)111ln(1)nnn (C)2(1)1lnnnn (D)1!nnnn 5.设矩阵22111112,14Aabdad若集合(1,2)，则线性方程组Axb有无穷多解的充分必要条件为（）6.设二次型1,23(,)f x xx在正交变换xpy下的标准形为2221232yyy，其中123(,)pe e e，若132(,),Qee e则123(,)x xx在正交变换xQy下
3、的标准形为（）（A）2221232yyy (B)2221232yyy (C)2221232yyy (D)2221232yyy 7.设 A,B 为任意两个随机事件，则（）（A）()()()P ABP A P B (B)()()()P ABP A P B (C)()()()2P AP BP AB (D)()()()2P AP BP AB 8.设总体(,)XB m，12,nx xx为来自该总体的简单随机样本，X为样本均值，则 21()niiExX（）（A）(1)(1)mn (B)(1)(1)m n (C)(1)(1)(1)mn (D)(1)mn 二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分
4、.请将答案写在答题纸指定位置上.92ln(cos)limxxx=10 设函数()f x连续，20()()xxxf t，若(1)1，(1)5，则(1)f 11 若函数z=(,)z x y由方程2+3z1xyexyz确定，则(0,0)dz=12 设函数()yy x是微分方程20yyy的解，且在x=0 处()y x取得极值 3，则()y x=13 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，-2,1，2BAAE,其中E为 3 阶单位矩阵，则行列式B=14 设二维随机变量(,)X Y服从正态分布(1,0;1,1;0)N,则(0)P XYY=三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上
5、.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分 10 分）设函数3()ln(1)sin,(),f xxxbxx g xkx若()f x与()g x在0 x 时 是等价无穷小，求 a,b,k 的值。16、（本题满分 10 分）计算二重积分()Dx xy dxdy，其中222(,)2,Dx y xyyx 17、（本题满分 10 分）为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q为该商品的需求量，p 为价格，MC 为边际成本，为需求弹性（0）（i）证明定价模型为11MCp（ii）若该商品的成本函数为2()1600C QQ，需求函数为40Qp，试由（1）中的定价模型确定此商品的价
6、格。18、（本题满分 10 分）设函数()f x在定义域I上的导数大于零，若对任意的0 xI，曲线()yf x在点00,()xf x处的切线与直线0 xx及x轴所围成区域的面积恒为 4，且(0)2f，求()f x的表达式。19、（本题满分 10 分）（i）设函数()u x，()v x可导，利用导数定义证明()()()()()()u x v xu x v xu x v x（ii）设函数12*(),(),()u x ux K u x可导，12*()()()()f xu x ux Ku x，写出()f x的求导公式。20（本题满分 11 分）设矩阵101101aAaa,且30A.（i）求 a 的值；
7、（ii）若矩阵X满足22XXAAXAXAE,其中E为 3 阶单位矩阵，求X.21（本题满分 11 分）设矩阵02313312Aa，相似于矩阵12000031Bb，（i）求 a,b 的值（ii）求可逆矩阵 P，使1P AP为对角矩阵。22（本题满分 11 分）设随机变量X的概率密度为2ln2,0,()0,0 xxf xx 对X进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记Y为观测次数。（1）求Y的概率分布；（2）求EY。23（本题满分 11 分）设总体 X 的概率密度为 其中为未知参数，12,RX XL X，为来自该总体的简单随机样本。、（1）求的矩估计量；（2）求的最大似然估计量