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1、文档 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案 一、选择题:18 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、设函数()f x在（-,+）连续，其 2 阶导函数()fx的图形如下图所示，则曲线()yf x的拐点个数为（）（A）0 （B）1（C）2 （D）3【答案】(C)【考点】拐点的定义【难易度】【详解】拐点出现在二阶导数等于 0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由()fx的图形可知，曲线()yf x存在两个拐点，故选(C).2、设21123xxyexe是二阶
2、常系数非齐次线性微分方程xyaybyce的一个特解，则（）（A）3,1,1.abc （B）3,2,1.abc （C）3,2,1.abc （D）3,2,1.abc【答案】(A)【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法【难易度】【详解】211,23xxee为齐次方程的解，所以 2、1 为特征方程2+0ab的根，从而1 23,1 22,ab 再将特解xyxe代入方程32xyyyce得：1.c 文档 3、若级数1nna条件收敛，则3x 与3x 依次为幂级数11nnnnax的：（A）收敛点，收敛点 （B）收敛点，发散点 （C）发散点，收敛点 （D）发散点，发散点【答案】(B)【考点】级数的敛散性【难易度】
3、【详解】因为1nna条件收敛，故2x 为幂级数11nnnax的条件收敛点，进而得11nnnax的收敛半径为 1，收敛区间为0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故11nnnnax的收敛区间仍为0,2，因而3x 与3x 依次为幂级数11nnnnax的收敛点、发散点.4、设 D 是第一象限中曲线21,41xyxy与直线,3yx yx围成的平面区域，函数(,)f x y在 D 上连续，则(,)Df x y dxdy （A）12sin2142sin2(cos,sin)df rrrdr （B）1sin22142sin2(cos,sin)df rrrdr （C）13sin2142sin2(cos,s
4、in)df rrdr （D）1sin23142sin2(cos,sin)df rrdr【答案】(D)【考点】二重积分的极坐标变换【难易度】【详解】由yx得，4；由3yx得，3 由21xy 得，212cos sin1,sin 2rr 由41xy 得，214cos sin1,2sin2rr 文档 所以1sin23142sin2(,)(cos,sin)Df x y dxdydf rrrdr 5、设矩阵21111214Aaa，21bdd，若集合1,2，则线性方程组Axb有无穷多个解的充分必要条件为（A）,ad （B）,ad（C）,ad （D）,ad【答案】(D)【考点】非齐次线性方程组的解法【难易度】
5、【详解】2211111111,12011114001212A badadadaadd Axb有无穷多解()(,)3R AR A b 1a或2a 且1d 或2d 6、设二次型123(,)f x xx在正交变换xPy下的标准形为2221232yyy，其中 123(,)Pe e e，若132(,)Qee e，则123(,)f x xx在正交变换xQy下的标准形为（A）2221232yyy （B）2221232yyy（C）2221232yyy （D）2221232yyy【答案】(A)【考点】二次型【难易度】【详解】由xPy，故222123()2TTTfx AxyP AP yyyy且：200010001
6、TP AP 文档 100200001,()010010001TTTQPPC Q AQCP AP C 所以222123()2TTTfx AxyQ AA yyyy，故选(A)7、若,A B为任意两个随机事件，则（A）()()()P ABP A P B （B）()()()P ABP A P B（C）()()()2P AP BP AB （D）()()()2P AP BP AB【答案】(C)【考点】【难易度】【详解】)()(),()(ABPBPABPAP)(2)()(ABPBPAP()()()2P AP BP AB故选（C）8、设随机变量X,Y不相关，且2,1,3,EXEYDX则2E X XY（A）-3
7、 （B）3 （C）-5 （D）5【答案】(D)【考点】【难易度】【详解】22222225E X XYE XXYXE XE XYE XD XEXE X E YE X 二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.9、20lncoslimxxx【答案】12【考点】极限的计算【难易度】文档【详解】2222200001lncosln(1cos1)cos112limlimlimlim2xxxxxxxxxxxx 10、2-2sin()1cosxx dxx【答案】24【考点】积分的计算【难易度】【详解】2220-2sin()21 cos4xx dxxdxx 11、若函
8、数(,)zz x y由方程+cos2zexyz xx确定，则(0,1)dz.【答案】【考点】隐函数求导【难易度】【详解】令(,)cos2zF x y zexyzxx，则1 sinxFyzx ，yFxz，zFxy，又当0,1xy时，0z，所以(0,1)1xzFzxF ，(0,1)0yzFzyF，因而(0,1)dzdx 12、设是由平面1xyz与三个坐标平面所围成的空间区域，则(23)xyz dxdydz【答案】14【考点】三重积分的计算【难易度】【详解】由轮换对称性，得 x2y3z dxdydz6zdxdydz6zdz01dxdyDz 其中Dz为平面zz截空间区域所得的截面，其面积为121z2.
9、所以 文档 x2y3z dxdydz6zdxdydz6z121 z2dz013z32z2z dz0114 13、n阶行列式2002-1202002200-12LLM M OM MLL【答案】122n【考点】行列式的计算【难易度】【详解】按第一行展开得 2n 12 14、设二维随机变量(,)X Y服从正态分布(1,0,1,1,0)N，则(0)P XYY.【答案】12【考点】【难易度】【详解】(,)(1,0,1,1,0)X YNQ，(1,1),(0,1),XNYN且,X Y独立 1(0,1)XN，0(1)0P XYYPXY 10,0100P XYP XY ，1111122222 三、解答题：152
10、3 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分 10 分）文档 设函数()ln(1)sinf xxaxbxx，3()g xkx，若()f x与()g x在0 x 是等价无穷小，求a，b，k值。【考点】等价无穷小量，极限的计算【难易度】【详解】()ln(1)sinf xxaxbxx 23333233!xxxxa xxbx xx 233 123aaa xb xxx 3()()f xg xkx与是等价无穷小 1+0110 22133aaabbakk 16、（本题满分 10 分）设函数在()f x定义域I上的导数大于零，若对任意的0 xI
11、，曲线()yf x在点00(,()xf x处的切线与直线0 xx及 x 轴所围成的区域的面积为 4，且(0)2f，求()f x的表达式.【考点】微分方程【难易度】【详解】如下图：文档 0 xx处的切线方程为l：000()()()yfxxxf x l与x轴的交点为：0y 时，000()()f xxxfx，则000()()f xABxxfx，因此，000011()()()422()f xSABf xf xfx.即满足微分方程：218yy，解得：118xcy.又因(0)2y，所以12c，故84yx.17、（本题满分 10 分）已知函数xyyxyxf),(，曲线3:22xyyxC，求),(yxf在曲线
12、C上的最大方向导数.【考点】方向导数，条件极值【难易度】【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.，故 xyyxgradf1,1),(故),(yxf在曲线C上的最大方向导数为22)1(1xy，其中yx,满足322xyyx，即就求函数22)1()1(xyz在约束条件0322xyyx下的最值.构造拉格朗日函数),(yxF)3()1()1(2222xyyxxy 文档 令0302)1(202)1(222xyyxFxyyyFyxxxF可得)1,1(),1,1()2,1(),2,2(,其中)2,1(9)1,2(,0)1,1(,4)1,1(zzzz 综上根据题意可知
13、),(yxf在曲线C上的最大方向导数为3.18、（本题满分 10 分）()设函数(),()u x v x可导，利用导数定义证明 ()()=()()()()u x v xu x v xu x v x()设函数12(),().()nu x uxux可导，12()()().(),nf xu x uxux写出()f x的求导公式.【考点】导数定义【难易度】【详解】00()lim()()()lim ()()xxu xxv xxu xv xu xv xxu xxu xv xxu xv xxv xxuxv xu xv xVVVVVVVVV 12121212123121212()()()()()()()()(
14、)()()()()()()()()()()()()()()()()nnnnnnnnfxu xuxuxuxuxuxu xuxuxuxuxuxu xuxu xuxuxuxuxu xuxuxu xuxuLLLLLLLLLL()x 19、（本题满分 10 分）文档 已知曲线L的方程为222,zxyzx起点为(0,2,0)A，终点为(0,2,0)B，计算曲线积分2222()()()LIyz dxzxy dyxydz【考点】曲线积分的计算【难易度】【详解】曲线L的参数方程为cos,2sin,cos,xyz从2到2 2222()()()LIyz dxzxy dyxydz 22222322222202(2si
15、ncos)sin2sin2cos(cos2sin)sin12sinsin2sinsin2122sin2 2sin2 22 22dddd 20、（本题满分 11 分）设 向 量 组123,是 3 维 向 量 空 间3的 一 个 基，11322k，222，313(1)k。（）证明向量组123,是3的一个基；（）当 k 为何值时，存在非零向量在基123,与基123,下的坐标相同，并求出所有的。【考点】线性无关，基下的坐标【难易度】【详解】（）123(,)123201(,)020201kk 文档 因为2012102024021201kkkk，所以123,线性无关，123,是3的一个基。（）设20102
16、0201Pkk，P为从基123,到基123,的过渡矩阵，又设在基123,下的坐标为123(,)Txx x x，则在基123,下的坐标为1P x，由1xP x，得Pxx，即()0PE x 由101110100220PEkkkkk，得0k，并解得10,1xcc为任意常数。从而13,ccc 为任意常数。21、（本题满分 11 分）设矩阵02-3-1331-2Aa相似于矩阵1-2000031Bb.（）求,a b的值.（）求可逆矩阵P，使得1P AP为对角阵.【考点】相似矩阵，相似对角化【难易度】【详解】由02313312Aa 相似于12000031Bb 则0311023120,1330012031ab
17、ba 解得4,5ab 文档 223()|133(1)(5)0124AfEA 当121,123123()123000123000EA 特征向量12231,001 ，当35231231015,()123121011121523000EA 则特征向量311,1 所以123231(,)101,011P 得1100010005P AP 22、（本题满分 11 分）设随机变量X的概率密度为-2 ln20()=00 xxf xx 对X进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记Y为观测次数.（）求Y的概率分布；（）求EY.【考点】【难易度】【详解】23132ln8xP xdx（）122
18、2211717()()(1)()(),2,3,4.8888kkkP YkCkk（）222221717(1)()()(1)()88648kkKkEYk kk k 文档 设级数23221112()(1)646464(1)kkkkS xk kxxx 7()168S所以7()168EYS 23、（本题满分 11 分）设总体X的概率密度为 11(;)=10 xf x 其他 其中为未知参数，12.nXXX，为来自该总体的简单随机样本.（）求的矩估计.（）求的最大似然估计.【考点】【难易度】【详解】由题可得（）2111111|112211212nniiiixxEXdxxxnn（）联合概率密度 121(,;),1(1)ninf x xxxL(1)lnlnfn ln01dfnd，故取 12min,nx xxL