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1、九年级圆专题复习 第 21 题圆这道题对于升学考高中的学生来说是一道必得分题，随着中考复习的逐步深入，学生从知识上对于这道题已经很熟练了，都知道这道题的第（2）问主要考查圆与相似、三角函数、勾股定理等等。如果不进行归类，学生的脑海中还是显得比较杂，比较乱。在复习的过程中，教师如何引导学生进行归类，如何提升学生的转化能力，这些则是教学最需要突破的地方。如果教师能够引导学生对第 21 题考查的题型结构进行有效的归类，那么学生在面对这道题的时候，首先将这道题归纳为几个重要的熟悉的题型，然后利用自己对这几个题型的熟练理解，则可以大大提高解决问题的速度和准确性。一、历年题型对比分析及 2017 年中考题
2、型预测 1.（2013武汉四月调考）在圆 O 中，AB 为直径，PC 为弦，且 PA=PC.（1）如图 1，求证：OP/BC；（2）如图 2，DE 切圆 O 于点 C，若 DE/AB，求 tanA 的值。2.（2013武汉中考）如图，已知ABC 是O 的内接三角形，ABAC，点 P 是弧 AB 的中点，连接 PA、PB、PC（1）如图，若BPC60，求证：APAC3；（2）如图，若 sinBPC=2524,求 tanPAB的值。3.（2014武汉四月调考）已知：P 为O 外一点，PA、PB 分别切O 于 A、B 两点，点 C 为O 上一点 （1）如图 1，若 AC 为直径，求证：OP BC；（
3、2）如图 2，若 sin P=，求 tan C 的值 4.（2014武汉中考）如图，AB 是O 的直径，C、P 是弧 AB 上两点，AB13，AC5(1)如图(1)，若点 P 是弧 AB 的中点，求 PA 的长(2)如图(2)，若点 P 是弧 BC 的中点，求 PA 得长 5.（2015武汉四月调考）已知：O 为 Rt ABC 的外接圆，点 D 在边 AC 上，ADAO（1）如图 1，若弦 BEOD，求证：OD=BE；（2）如图 2，点 F 在边 BC 上，BFBO，若 OD2 2，OF3，求O 的直径 6.（2015武汉中考）如图，AB 是O 的直径，ABT=45，AT=AB（1）求证：AT
4、 是O 的切线；（2）连接 OT 交O 于点 C，连接 AC，求 tanTAC 7.（2016武汉四月调考）已知O 为ABC 的外接圆，点 E 是ABC 的内心，AE 的延长线交 BC 于点F，交O 于点 D (1)如图 1，求证：BD=ED；(2)如图 2,AO 为O 的直径，若 BC=6,sinBAC=53，求 OE 的长 EDOABCFDOABC8.（2016武汉中考）如图，点C在以AB为直径的O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交O 于点E(1)求证：AC平分DAB；(2)连接BE交AC于点F，若cosCAD54，求FCAF的值 9.（2017武汉四月调考）如图，ABCD 的
5、边 AD 与经过 A、B、C 三点的O相切(1)求证：弧 AB弧 AC(2)如图 2，延长 DC 交O 于点 E，连接 BE，sinE1312，求 tanD 的值 归纳：1.从知识上归纳：（1）已知三角函数求三角函数的有：（2017武汉四月调考）、（2013武汉中考）、（2014武汉四月调考）（2）已知三角函数求比值的：（2016武汉中考）（2015武汉中考）（3）已知三角函数求长度：（2016武汉四月调考）（5）求三角函数：（2013武汉四月调考）、（2015武汉中考）（6）已知勾股定理求长度：（2014武汉中考）（2015武汉四月调考）2.从题型上归纳：（1）考查圆周角转到圆心角一半的位置
6、及圆中等腰三角型有：（2014武汉四月调考）、（2016武汉四月调考）、（2013武汉中考）、（2017武汉四月调考）（2）考查 1，2，5三角型的有：（2015武汉中考）（3）考查垂径定理和勾股定理的有：（2014武汉中考）（4）考查旋转型相似与圆中构矩形的有：（2016武汉中考）预测：近几年的四调和中考，对圆中三角函数的考查的年份占到很大的比例，单独考勾股定理的年份较少，仅仅只有 2014 年中考和 2015 年四调，其他年份都涉及三角函数，而且今年的四调更是已知三角函数求三角函数。纵观 2016 年全国各地中考题对圆的考查，逐步在降低难度，主要集中在圆的第 2 问。而第 2 问主要考查学
7、生转化、计算的能力和方程思想。那么三角函数不管作为条件，还是结论，不管是计算还是证明，学生都知道要有直角，原处作垂直还是转化？怎么转？往哪个方向转？转了之后有什么意义？怎么打通条件和结论的连接点。这恰恰时学生的难点，也是我们教师需要传递给学生的地方。如果教师能够引导学生将第 21 题第（2）问考查的题型结构归纳为几个重要的熟悉的题型，那么学生就非常自信，相信按照老师的指导方法一定能够做出这道题来，让考生百分百在道题上能得分，是我们老师需要研究的。二、几种重要的题型和结构（一）圆中等腰三角形的结构及其类似结构 知识储备：等腰三角形的顶角与底角之间的三角函数是可以任意切换的。只需要作底上的高和腰上
8、的高即可。（1）已知顶角三角函数求底角三角函数，顶角半角的三角函数 例 1.1.如图，已知在等腰ABC中，ABAC，3sinA5，求tan B，cos2A （2）已知底角三角函数求顶角三角函数，顶角半角的三角函数。例 1.2.如图，已知在等腰ABC中，ABAC，tanC2，求cos A，sin2A （3）已知顶角半角的三角函数，求顶角的三角函数和底角的三角函数 例 1.3如图，如图，已知在等腰ABC中，ABAC，3 10cos210A，求sin A，tan B 转化一：圆中没有等腰三角形可以观察是否可以转化到一个等腰三角形中，变成熟悉的题型 例 1.4（2014武汉四月调考）已知：P 为O 外
9、一点，PA、PB 分别切O 于 A、B 两点，点 C 为O 上一点（1）如图 1，若 AC 为直径，求证：OP BC；（2）如图 2，若 sin P=，求 tan C 的值 转化二：圆中有等腰三角形根据需要作底上的高（注意证明共线）和腰上的高 例 1.5 如图，AC为O的直径，ABD为O的内接三角形，ABBD，BD交AC于F点，BEAD交AC的延长线于E点。（1）求证：BE为O的切线；（2）若4AFCF，求tanBAE的值。例 1.6.如图，AB是O的直径，点C是O上一动点，点D是优弧AC的中点，连接DO，若点C为AB上任意一点（不与A、B重合），连接AC，当tan2BAC时，求DAB的值。转
10、化三：圆中等腰三角形顶角的三角函数通常可以转化到圆心角的一半处 例 1.7（2016武汉四月调考）已知O 为ABC 的外接圆，点 E 是ABC 的内心，AE 的延长线交 BC于点 F，交O 于点 D (1)如图 1，求证：BD=ED；(2)如图 2,AO为O 的直径，若BC=6,sinBAC=53，求 OE 的长 OEFDCBAODCBA 例 1.8如图，在ABCD中，过A、B、C三点的O交AD于E，且与CD相切。（1）求证：CDCE（2）若4AB，6BE，求cosEBC 转化四：圆中非等腰三角形的结构中，圆周角的三角函数都可以放在圆心角的一半处 例 1.9（2017武汉四月调考）如图，ABC
11、D 的边 AD 与经过 A、B、C 三点的O 相切(1)求证：弧 AB弧 AC(2)如图 2，延长 DC 交O 于点 E，连接 BE，sinE1312，求 tanD 的值 例 1.10.如图，在O中，ABAC，D 为AB上任意一点，若3cos4BDC，求tanADC的值 （二）切线长定理与射影图结构 图形结构：方法归纳：切线长定理产生对称射影图，对称射影图中，任意知道两条线段，其他线段均可求。转化手段有，相似、三角函数，面积，勾股定理 OEDCBAKBAPOBOCDA 例 2 如图，AC为O的直径，且PAAC，点B在O上，PB交AC的延长线于点D，C为AD的中点，2DBBP。（1）求证：PB为
12、O的切线。（2）点E为O上一点，求cosBEA的值。（三）圆与 1，2，5的三角形 等腰直角三角形的一直角边作为直径作圆都可以归为 1，2，5型 例 3.1（2015武汉中考）如图，AB 是O 的直径，ABT=45，AT=AB（1）求证：AT 是O 的切线；（2）连接 OT 交O 于点 C，连接 AC，求 tanTAC 变式一：延长 TO 交O于 M，连接AM，求tanM的值。变式二：延长 TO 交O于 M，连接EM，求tanBEM的值 变式三：连 TO 交O于F，连接BF，求tanTBF，sinABF的值。DOEPCBA 变式四：如图，AB是O的直径，045ABT，ATAB。（1）求证：AT
13、是O的切线；（2）若C是TB上一点，12BCCT，连接OC，AC，求tanACO的值。（四）母子型结构 知识结构：BADBCA 结论：BADC 2BABD BC；字母比=tantanBDBAADCBACBABCAC 例 4.1.如图ABC，O为BC上一点，O过A、C两点交BC于D，BA为O的切线，若3sin5B，求tanBAD （五）弧（非半圆）的中点与赵州桥问题结构 条件的给法：点F为BE的中点；AF平分BAE。连接OF交BE于K，如果给拱高 FK 和跨度 BE 的长，可以在BOK中用勾股定理，如果给拱高FK和BF的长，则可以在BOK和BFK中用双勾股列方程。OFEBATOCBA 例 5.1
14、.如图，ACDC，AC平分DAB。（1）求证：AB是O的切线；（2）若54ACAD，求sinBAD的值。例 5.2.四边形ABCD内接于O，AB为O的直径，BCDC（1）求证：OCAD；（2）OFAD于E，交CD的延长线于F，若27BCAD，求cosF的值 （六）旋转型相似与矩形结构 条件的给法：CDAD,AC平分BAD（或者）点C为BE的中点 转化手段：DACCAB；连接BE、CO交于K点，则得矩形EDCK；连接OC,过点O作OQ垂直AE于点Q，则得矩形OCDQ；连接OD交AC于点F，则可用X型转化比例；连接BE交AC于点H，则可用X型转化比例；过点B向直线DC作垂线则形成母子型相似。例 6
15、.1（2016武汉中考）如图，点C在以AB为直径的O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交O 于点E(1)求证：AC平分DAB；(2)连接BE交AC于点F，若cosCAD54，求FCAF的值 ODCBAFCDBOA 例 6.2（2016南宁中考改编）如图，AB是O的直径，C、G是O上两点，且=AC CG，过点C的直线CDBG于点D.（1）求证：CD是O的切线；（2）若23OFDF，求tanE的值。（七）半圆的中点与直角三角形内心结构 条件的给法：点F为半圆AB的中点；CD平分BCA；半径为 5，3sin5BAC；点E为ABC的内心 常规结论：求CD的长；求CFDF；求AFBF；求ABC
16、的半径；求证：A、E、B三点共圆。例 7.1 如图，AB为O的直径，点C为AB的中点，弦CD交AO于点 E，4DE，5AE，求tan B的值。（八）方法总结和归纳：1、掌握这七种基本结构，有助于学生形成能力，增强信心。2、培养学生转化的意识。3、设未知数和运用方程思想解决计算问题。4、培养学生熟练的构造能力。三、典型例题分析 EFGDCOBAFODCBAEEDOCBA例 1（2013江苏）如图，四边形 ABCD 内接于O，对角线 AC 为O 的直径，过点 C 作 AC 的垂线交AD 的延长线于点 E，点 F 为 CE 的中点，连接 DB，DC，DF（1）求CDE 的度数；（2）求证：DF 是O
17、 的切线；（3）若 AC=2DE，求 tanABD 的值 例 2（2013四川）如图，在 RtABC 中，ABC=90，以 CB 为半径作C，交 AC 于点 D，交 AC 的延长线于点 E，连接 ED，BE（1）求证：ABDAEB；（2）当=时，求 tanE；（3）在（2）的条件下，作BAC 的平分线，与 BE 交于点 F，若 AF=2，求C 的半径 例 3.（2017武汉二中 5 月模拟题）如图，O是ABC的外接圆，弧AB=弧AC，AP是O的切线，交BO的延长线于点P（1）求证：APBC（2）若3tan4P，求tanPAC的值。四、配套习题训练 OPCBA1.如图，AB、AD为O的切线，切点
18、分别为B、D，DE为O的直径，连接BE、OA。（1）求证：BEOA；（2）若ADDE，求sinDAB的值 2.如图，PA、PB分别切O于A、B，PA、BO的延长线交于点Q，连AB，若4sin5AQO，求ABP 3.如图，ABC内接于O，D为直径AC延长线上一点，若DCBABD。（1）求证：DB为O的切线（2）已知7AC，9CD，求AB的长。4.如图，PA、PB分别与O相切于A、B,延长PB交直径AE的延长线于点D。（1）求证：BEOP；（2）若1tan2OPD,求tanD的值 5.如图，AB为O的直径，CBCD，过点C作O的切线交AB的延长线于E，连接BC、CD、AD.（1）求证：12BCEBAD；（2）若12CDAD，求cosCBA的值。ODCBAOEDBADEOBPADCOEBA