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1、 摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac 算子代数解法和 Schr dinger 波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从 Dirac 算子代数中求解出a 的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a 与升算符a、光子数n与相位的最小不确定关系得出相干态和压缩态。关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg 矩阵力学、算子代
2、数解法、Schr dinger 波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动 1.1925 年 Heisenberg 发现矩阵力学，1926 年Schr dinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式2.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为 Heisenberg 的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一
3、般的教材只给定了波动力学的解法3.自 1963 年，Glauber4等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光学等领域135。一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的 Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac 算子代数解法和 Schr dinger 波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从 Dirac 算子代
4、数中求解出a 的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a 与升算符a、光子数n与相位的最小不确定关系得出相干态和压缩态。1.矩阵力学解法 取自然平衡位置为坐标原点，并选原点为势能零点，则一维谐振子势 V 可表成 221kxVx （）k 为刻画简谐作用力强度的参数.设谐振子质量为，令 k （）它是经典谐振子的自然频率，则一维谐振子的 Hamilton 量可表为 图一维谐振子势 222212xpH (3)在能量H表象中，由于 ),()(pxfixxf (4a),()(xpfixpf (4b)因此有 2HPPHixxH (5a)HXXHippH (5b)取H表象的矩阵元ij，由于 ijijijEH (6
5、)故有 ijjiijpEEix)(2 (7a)ijjiijxEEip)(7b)由于H矩阵的对角性，(7a)，(7b)两式中的矩阵乘法的取和消失了。且只是ij和ijp 两个未知量的方程，与 x，p 的其它矩阵元无关，这是谐振子特性的体现，从而使得求解矩阵元大为简化。得 jiEE (8)则有 )(iEi，.2,1,0i 10 (9)不为零的矩阵元为 )(1,1,ijijijijpp (10a)(1,1,ijijijijxx (10b)由(6)式得)(2,121,ippiiii (11)此式的解为 211,icpii (12)由(10b)式可知0i，为满足此条件应有 00,1p即0211c 得 21
6、 (13)则 )21(iEi，i=1，2 (14)2.Dirac 算符算子代数解法 求解一维谐振子能量本征值 由(3)式，采用自然单位1，则)(2122pxH (15)因此 H 具有相空中的旋转不变性，令)(21)(21xddxp ixa (16a)(21)(21xddxp ixa (16b)利用 ipx,，容易得 1,pxiaa (17)对 H 进行因式分解 21)21(1)(21NaaxxddxxddH (18)式中 aaN (19)则 H，N=0 (20)因为 02aaaN (21)NaaaaN)(22)所以N为正定 Hermite 算符，H亦为正定 Hermite 算符 设 nnnN
7、(23)n 为正数，n表示N的一个本征态，由(17)(18)式得 aaN,(24a)aaN,(24b)nannNaaNnaN)1(),(25a)nannNaaNnaN)1(),(25b)因此可知，若n为N的本征态，且本征值为 n，则na 与na也是N的本征态，且本征值为 n-1，n+1。由(25a)式可知na 是N的本征态，从N的某个本征态n出发，逐次用降算符a 运算可得N的一系列本征态，n，na，2 an，(26)相应的本征值为 n，n-1，n-2，(27)因为N为正定 Hermite 算符，它的所有本征值必须0。设N的最小本征值为0n，本征态为0n。故它的必须满足 00na (28)由此可
8、得 000naanN (29)即0n是N的本征值，对应本征值为0n=0，因此0n可记为0。由(25b)式可知，na也是N的本征态，从N 的最小本征值 0n=0 对应的本征态0出发，逐次运用算符a 可得N的全部本征态 0，a 0，2)(a0，(30)相应本征值为 0，1，2，(31)可以得 N的归一化本征态 0)(!1nann (32)它是H的本征态 0nEnH (33)21 nEn，n=0，1，2 (34)添上能量单位，)21(nEn，n=0，1，2.(35)求解波函数 由(28)式 a 0=0 即00)(21 px得，0)()(210 xxddx，(36)解得 20022)(xeNx (37
9、)由归一化条件1)(2dxxn得，210)2(N (38)由(32)式得0)(!1nann，即)()(!1)(0 xanxnn=22122)()!2(xnnedxdxnn (39)令x，则(36)式可写成:22122)()!2()(xnnneddnn=22)(eHNnn (40)nN=21)!2(nnn (41)22)()1()(eddeHnnn (42)易得)(xn=n)1()(xn，即 n 的奇偶性决定谐振子波函数的奇偶性。Hermite 多项式的递推关系 1)(21nnnxddxna (43)11)(21nnnxddxna (44)因此 211222)()()(21eHNneHNddnn
10、nn (45)211222)(1)()(21eHNneHNddnnnn (46)由(45)(46)两式得 12121nnnnn (47)即2112112222)(2)(21)(eHNneHNneHNnnnnnn =212122)(22)()1(221eHNnneHnNnnnnn得)(2)()(211nnnnHHH (48)由(43)得 22)()(21eHNddnn=22)(21eHNddnn =2112)(eHNnnn (49)而 nNNnn21 (50)由(49)(50)两式得 )(2)(1nnnHHdd (51)相干态与压缩态 2.4.1 相干态 由(24)式aaN,0。N，a 不对易。
11、又由(43)式1nnna，所以除 n=0 以外，一般n 不是N的本征态。而且设N的本征态为则必须包含所有的n。设 nCnn)(0 (52)满足方程 a (53)为本征值，利用式(43)，得 nCnn0=nCann0=10nnCnn (54)即得 100nnCnCnnnn (55)以1 n左乘上式，得 11100nnnCnnCnnnn (56)利用正交归一条件nnnn，得 1nnCnC (57)依次递推，即得 0!CnCnn (58)0C为归一化常数，归一化条件为 20nnC=nnnnC0220!=1 (59)由于 20!ennnn (60)所以 2120iCee (61)通常可以取0C为正实数
12、，即取=0，这时=nCnn0=nnen0221!2 (62)此即为谐振子的相干态。在光学中，光子的产生和湮灭算符满足玻色对易关系 1,aa，(63)21aa (64)引入正交振幅分量算符 aaX (65a)aaX (65b)X和X分别对应于电磁场的正交振幅和相位分量，其不确定性为 iXX2,(66)1XX (67)这种由 Heisenberg 不确定性所限定的正交分量起伏称之为电磁场的量子噪声。当1XX时是最小测不准态，量值XX时，该态称为相干态。理想的无量子噪声的经典光波在相空间中是一个点，它给出的迹是一个理想正弦电场，没有任何不确定性，而相干态在 x-p 相空间起伏范围是以相位矢量末端为圆
13、心的一个圆。起伏圆中的点(x，p)描绘出电场具有不依赖于时间的起伏。2.4.2 压缩态 电磁场另外两个共扼参量，光子数n和相位满足以下不确定性关系:1n (68)相干光的光子数起伏的平方等于平均光子数 nn (69)若nn 则为强度压缩态，若n1则为相位压缩态。对于相干态，由于量子起伏的无规性，其强度差噪声与强度的噪声相等，即 )()(2121IIII (70)对于具有强度量子关联的生光束，若有)(21II)(21II (71)则称为强度差压缩。以上三种压缩性质完全不同，但又相互联系，从不同角度反映电磁场的非经典性。3.波动方程解法 由(3)式，Schr dinger 方程为)()()212(
14、22222xExxdxd (72)为简单起见，引进无量纲参数 x，(73)E2。(74)则方程(72)变成 0)(222dd (75)严格的谐振子势是一个无限深阱(如图 1)粒子只存在束缚态，即 0)(,x (76)任何有限的都是微分方程的常点，而是方程的非正则奇点，当 x 时，方程(72)可近似表成 0222dd (77)此时，波函数的渐近行为是 21exp2 (78)其中21exp2不满足边条件(76)式，弃之，因此令方程的一般解为)(21exp2u (79)代入(75)式得 0)1(22uddudud (80)此即 Hermite 方程。由于0是方程(75)的常点，在0的邻域(0 (87
15、a)(xV=，x 0 (87b)图半壁谐振子势阱 我们称之为半壁谐振子势阱（如图），利用类似求解谐振子方法，先求出势阱中粒子的波函数为束缚态 0)(x，x 0，x (88a)21exp)()(22xxHNxnnn，x0 (88b)由(48)式)(nH的递推关系0)(2)(2)(11nnnnHHH可得 )0(2)0(11nnnHH (89)又由(73)式)(0H=1 可知 )0(2H0 )0(4H0 )0(2lH0 (90)不满足波函数(88a)式。由(73)式)0(1H=0 又由于(89)式 则)0(1H=)0(3H=)0(5H=)0(12 lH=0 (91)满足波函数(88a)式.故仅当 n
16、=2l+1(l=0，1，2.)才满足波函数束缚条件所以波函数 21exp)()(22xxHNxnnn，x0 (92a)(xn=0，x0 (92b)能量本征值:)12()21(lnEn，l=0，1，2 (93)半壁谐振子势垒 设一维势场15的形式)(xV=2221x，x0 (94a)(xV=0，x0 (94b)我们称之为半壁谐振子势垒(如图 3)图半壁谐振子势垒 把(94a)，(94b)两式代入 schr dinger 方程得 0)21(222222xEdxd (95a)02222Edxd (95b)得 21exp)()(22xxHNxnnn (96a)(xn=)sin()cos(kxBkxA
17、(96b)在x=0 处)(xn连续得 )(xHNAnn (97)在x=0 处)(xn连续，由于(51)式)(2)(1nnnHHdd得 kxHxHnNBnnn)()(21 (98)因此波函数为 21exp)()(22xxHNxnnn，x0 (99a)(xn=)(xHNnn+)cos(kx kxHxHnNnnn)()(21)sin(kx，x0 (99b)能量本征值为)21(nEn，n，(100)5.讨论 通过以上演算，我们认识到采用坐标表象中求解定态 Schr dinger 方程的方法，繁复而冗长，采用 Heisenberg 矩阵力学解法，在定态情况下，只需要知道一个体系的 Hamilton 量和
18、对易关系ijjiipx,便可确定它的全部性质，但在实际问题的处理和计算中，Schr dinger 波动力学远比Heisenberg 矩阵力学便易，特别是在处理半壁谐振子势情况下。而算符算子代数运算则集中了两者的优点，不仅给出了一维谐振子比较漂亮的解，而且极便捷地推导出谐振子的波函数 Hermite 多项式递推关系。参考文献 曾谨言.量子力学 卷 I (第三版)M.北京:科学出版社，2000：109，730-734，453.吴大猷.量子力学(甲部)M.北京:科学出版社.1984：4，25.周世勋.量子力学教程M.北京:高等教育出版社.1992:38-4.Glauber R J.The Quant
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21、-dimensional Harmonic Oscillators Energy Eigernvalue Abstract:One-dimensional harmonic oscillators energy eigernvalue is solved by the way of Heisenbergs matrix mechanics，algebra solution of the operator，and Schr dingers wave mechanics.On this basis,solving of problems in half potential wells(build)
22、of one dimension harmonic oscillator is given.Coherent state and squeezed state that are one of the front subjects in physics are results of the non-classical quantum effect.There are extensive application prospects in high-accuracy optics measurement of the quantum limit of super standard、exceed th
23、e low noise photo-communication and quantum communication field.Eigernstate of a that is harmonic oscillators coherent state is solved out from Diracs algebra solution of the operator.Meanwhile,minimum uncertain relation of fall operator a and rise operator a,photon count n and phase place draw coherent state and squeezed state in this paper.Key words:Quantum Mechanics，one-dimensional harmonic oscillator，Heisenbergs matrix mechanics，algebra solution of the operator，Schr dingers wave mechanics，half potential wells of oscillator in harmony(build)of one dimension,coherent state,squeezed state.