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1、 一元一次方程中常见的等量关系 Prepared on 22 November 2020 七年级上一元一次方程 常见的等量关系 一、由题意获得 注意数学用语，如：等于，与相等，一共有，剩余，是的几倍，比多几等等。例 1：一个数的 17 与 3的差等于最大的一位数，求这个数。例 2：一个三位数，三个数位上的数字之和是 17，百位上的数字比十位上的数大 7，个位上的数字是十位上的三倍，求这个三位数。例 3：从正方形的铁皮上，截去一个宽 2cm 的长方形条，剩余的面积是 80cm2，那么原来铁皮的边长是多少 二、前后不变 例 1：现在要将一个底面半径为 3，高为12 的圆柱长条重新熔炼成一个底面半径
2、为 9 的圆柱，求熔炼后的圆柱高。例 2：小华读一本书，每天读 20 页，需要12 天读完，如果每天多读 4 页，需要多少天读完如果每天少读两页，需要几天读完 三、计算公式 例如面积公式，边长公式等等。四、数量关系 1、行程问题 行程问题的基本公式：速度 时间=路程(1)相遇问题 一般公式：时间 速度和=相遇路程 例：甲、乙两地相距 1500 千米，两辆汽车同时从两地相向而行，其中吉普车每小时行 60千米，是客车速度的倍。（1）几小时后两车相遇（2）若吉普车先开 40 分钟，那么客车开出长时间两车相遇（2）追及问题 一般公式：出发地不同，同时出发：时间 速度差=路程差（追及路程）出发地相同，先
3、后出发：A时间 A 速度=B时间 B速度 例：小明家距离学校1000米。一天小明以80米每分的速度去上学，5 分钟后爸爸发现小明没带语文书，开始以180米每分的速度去追小明，并在途中追上了他。（3）环形跑道问题 分析题意，分析两人路程差或者时间差，将环形跑道问题转换为直线时相遇或者追及问题。例：甲乙两人在环形跑道上练习跑步。已知跑道一圈长 400 米，乙每秒跑 6 米，甲的速度是乙的 34。（1）若甲、乙两人在环形跑道上相距 8 米处同时相向出发，经过几秒两人相遇（2）若甲在乙前 8 米处同时同向出发，那么经过多长时间两人首次相遇（4）顺流（风）逆流（风）以及上下坡问题 静水速度是指船在静水中
4、的速度，也就是船自身的速度。无风速度是指飞机在没有风的速度，也就是飞机自身的速度。顺水实际速度=静水速度+水速 逆水实际速度=静水速度-水速 顺风实际速度=无风速度+风速 逆风实际速度=无风速度-风速 顺水实际速度+逆水实际速度=2静水速度 例 1：一辆货轮航行于 A、B两码头之间，水流速度为 3km/h，顺水需要小时，逆水需 3小时。求 A、B两码头之间的距离。例 2：一艘轮船本身速度不变，从武汉到重庆需要 5昼夜，从重庆到武汉需要 7 昼夜。试问一块木排从重庆漂流到武汉需要多久 例 3：一条河道按顺序排列着 A、B、C 三个码头，某船从 A码头顺流而下到 C 码头，然后逆流返回到 B码头，
5、共用了 9小时。已知船在静水中速度为 h，水流速度是 h，A、B两码头相距 15千米，求 A、C 之间的距离。（5）火车问题 火车过桥总路程=桥长+火车身长 火车完全在桥上时的路程=桥长-火车身长 火车过隧道总路程=隧道长+火车身长 火车完全在隧道里的路程=隧道长-火车身长 例：一座桥长 1000 米，一列火车从桥上通过，从上桥到离开桥公用 1 分钟，整列火车全在桥上的时间为 40 秒，求火车的长度。2、利润问题 利润中的常用概念：进价（成本），标价，售价，利润，利润率，折扣。商品利润=商品售价-商品进价 商品售价=商品标价 折扣（折扣为换算来的百分数）商品利润率=（商品利润 商品进价）100
6、%例 1：某商品的进价为 250 元，按标价的九折销售，利润率为%，求商品的标价。例 2：某商品标价 2200 元，打八折出售，利润率为 10%。求商品进价。例 3：某商品的进价是 1000 元，标价是1500 元，商店要求此商品利润率不得低于5%，则此商品最低可以打几折 3、利息问题 银行存款的常用概念：本金，利息，本息和，期数，利率，利息税。利率用来计算利息，利息和本金是最后取到手的钱数，如果有利息税，则要把利息税扣除，才是到手的最终钱数。利息=本金 利率 期数 本息和=本金+利息 利息税=利息 税率 例：某同学父母存了两笔钱，共 10000 元作为教育基金。其中一笔钱年利率为%，另一笔年
7、利率为%，且年利率为%的钱数比年利率为的钱数少 4000。一年后，两笔钱本息和一共元，问这两笔钱分别为多少元 4、工程问题 工程问题中的常用概念 工作量：需要完成的工作总量，例如需要修路 1000千米，需要制作200套运动服等等。有时工作总量没有给出具体的数值，可以把工作总量看作单位1，比如需要注满水池，这时就可以把工作量看作1。工作效率：即工作的速度，单位时间内完成的工作量，一定要注意单位时间的概念，将单位时间“化为1”，找到工作效率。、工作时间：完成工程的时间。三者之间的关系为：工作量=工作效率 工作时间 例如一项工程，甲需要 15天完成，乙需要12天完成，把工程总量看作单位 1，则甲每天
8、能完成该工程的 115，即甲的工作效率就是 115，同理乙的工作效率就是 112，注意此时工作总量为 1，本身并没有单位，所以工作效率也是没有单位的。如果甲、乙共同完成这项工程，由题意得甲、乙的效率和为 115+112，根据公式需要的工作时间为 1 （115+112）。例 1：一项工程，甲单独需要 10 天完成，乙单独需要 8天完成。两人合作需要几天完成 例 2：一项工程，甲单独需要 15 天完成，乙单独需要 12 天完成，两队合作三天后，甲有其他任务，剩下的由乙单独完成，问乙还需要几天才能完成这项工程 例 3：一个蓄水池有甲、乙两个进水管，和丙排水管。单独打开甲 6 小时可以注满水，单独打开
9、乙 8 小时可以注满水，若水池是满的，则单独打开丙 9 小时可以将水排空。（1）若水池是空的，先打开甲和乙两小时，然后打开丙，问打开丙之后再过几小时可以将水池注满（2）某天工作人员想把空水池灌满，便同时打开了甲和乙，两小时后发现丙忘关了，于是赶紧关上丙。问关上丙以后再过几小时可以将水池注满（3）某天水池有一半水，工作人员想把水灌满，于是打开了甲和乙，两小时后被告知水池忘消毒了，需要排干水池进行消毒，于是又关上了甲和乙，打开丙进行排水，问打开丙后水池多久被排空 五、数字问题 小学学过，个位上的数字表示几个一，十位上的数字表示几个十，一次类推，一个三位数，百位、十位、个位的数字分别为 a、b、c，
10、则这个数字应该表示为：100a+10b+c。同时还要注意 a、b、c都是 1 到 9之间的整数。常见的问题（1）位置对调：例如一个数个位上数字是a，十位上是 b，那么这个数字是（10a+b），个位十位对调后变成（10b+a）。（2）加数字问题，例如数字 a后面加两个0，则该数字就变成了 100a；又例如一个三位数 a，一个两位数 b，把 b 加在 a的后面构成一个新的五位数，则这个五位数为（100a+b），如果把 a加在 b 的后面构成一个新的五位数，则这个数为（1000b+a）。例 1：一个两位数，个位上的数字是十位上的 2倍，把个位和十位对调后，所得的两位数比原两位数大 36，求原来的两位数。例 2：一个两位数和一个三位数，三位数是两位数的 15 倍。把三位数放在两位数后面得到一个五位数，把两位数放在三位数后面，得到另一个五位数，前一个五位数比后一个五位数小 5832，求这个两位数和三位数。例 3：探索题：两个两位数差为 30，把第一个数放在第二个数前面构成一个四位数，把第二个放在第一个前面构成另一个四位数，这两个四位数的差是多少（提示：求两个四位数的差的绝对值，就不用考虑两个四位数的大小了）如果这两个两位数的差为 a呢