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1、高考递推数列题型分类归纳解析高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。类型类型 1 1an1 an f(n)解法：把原递推公式转化为an1an f(n)，利用累加法累加法(逐差相加法逐差相加法)求解。例例 1.1.已知数列an满足a111，an1 an2，求an。2n nK变式变式:已知数列an中a11，且a2k=a2k1+(1),a2k+1=a2k+3,其中 k=1,2,3,.k（I）求a3,a5；（II）求
2、an的通项公式.类型类型 2 2an1 f(n)an解法：把原递推公式转化为例例 1:1:已知数列an满足a1例例 2:2:已知a1 3，an1an1 f(n)，利用累乘法累乘法(逐商相乘法逐商相乘法)求解。an2n，an1an，求an。3n13n1an(n 1)，求an。3n2n 11n 2_变式变式:（2004，全国 I,理 15）已知数列an，满足a1=1，an a1 2a23a3(n1)an1(n2)，则an的通项an类型类型 3 3an1 pan q（其中 p，q 均为常数，(pq(p 1)0)）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an1t p(ant)，其中t 例例:已知数列
3、an中，a11，an1 2an3，求an.变式变式:（2006，重庆,文,14）在数列an中，若a11,an1 2an3(n 1)，则该数列的通项an_变式变式:（2006.福建.理 22.本小题满分 14 分）*已知数列an满足a11,an1 2an1(n N).q，再利用换元法换元法转化为等比数列求解。1 p（I）求数列an的通项公式；（II）若数列bn滿足414（）证明：b 1b21L 4bn1(an1)bn(nN*),证明：数列bn是等差数列；an1a1a2n.n(nN*).23a2a3an12nn类型类型 4 4an1 pan q（其中 p，q 均为常数，(pq(p 1)(q 1)0
4、)）。（或an1 panrq,其中 p，q,r 均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除同除以qn1，得：an1pan1anp1 bb bb 引入辅助数列引入辅助数列（其中），得：再待定定nnn1nn1nnqqqqqqq系数法系数法解决。例例:已知数列an中，a1511n1,an1an()，求an。632变式变式:（2006，全国 I,理 22,本小题满分 12 分）设数列an的前n项的和Sn412ggan2n1，n 1,2,3,g333n32n（）求首项a1与通项an；（）设Tn，n 1,2,3,ggg，证明：Ti2Sni1类型类型 5 5 递推公式为an2 pan1 qan（其中
5、 p，q 均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为an2 san1 t(an1 san)其中 s，t 满足st pst q2解法二(特征根法)：对于由递推公式an2 pan1 qan，a1,a2给出的数列an，方程x px q 0，叫做数列an的特征方程。n1n1若x1,x2是特征方程的两个根，当x1 x2时，数列an的通项为an Ax1 Bx2，其中 A，B 由a1,a2决定（即把a1,a2,x1,x2和n1n1n1代入an Ax1 Bx2，得到关于 A、B 的方程组）；当x1 x2时，数列an的通项为an(A Bn)x1，其中 A，B 由a1,a2n 1,2，n1决定（即把a
6、1,a2,x1,x2和n 1,2，代入an(A Bn)x1，得到关于 A、B 的方程组）。解法一（待定系数迭加法）解法一（待定系数迭加法）:数列an：3an25an1 2an 0(n 0,n N)，a1 a,a2 b，求数列an的通项公式。例例:已知数列an中，a11,a2 2,an2变式变式:*1.已知数列an满足a11,a2 3,an2 3an12an(nN).21an1an，求an。33（I）证明：数列an1an是等比数列；（II）求数列an的通项公式；（III）若数列bn满足4142.已知数列3.已知数列b 1b21.4bn1(an1)bn(nN*),证明bn是等差数列an中，a11,
7、a2 2,an22an11an，求an33an中，Sn是其前n项和，并且Sn1 4an2(n 1,2,L),a11，an1 2an(n 1,2,)，求证：数列bn是等比数列；设数列bn设数列cnan,(n 1,2,)，求证：数列cn是等差数列；求数列an的通项公式及前n项和。n2类型类型 6 6 递推公式为Sn与an的关系式。(或Sn f(an)S1(n 1)解法：这种类型一般利用an与an Sn Sn1 f(an)f(an1)消去Sn(n 2)或与Sn f(Sn Sn1)(n 2)消S S(n 2)n1n去an进行求解。例：例：已知数列an前 n 项和Sn 4an12n2.（1）求an1与a
8、n的关系；（2）求通项公式an.nn1nn1（2）应用类型 4（an1 pan q（其中 p，q 均为常数，(pq(p 1)(q 1)0)）的方法，上式两边同乘以2得：2an1 2 an 2由a1 S1 4a11nnn2 a2 a 2 2(n 1)2n a 1 a.于是数列是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，所以nn1n12n122变式变式:（2006，陕西,理,20本小题满分 12 分)已知正项数列an，其前 n 项和 Sn满足 10Sn=an+5an+6 且 a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项 an2变式变式:(2005,江西,文,22本小题满分 14 分）已知数列an的前
9、 n 项和 Sn满足 SnSn2=3()类型类型 7 7an1 pan an b(p 1、0，a 0)解法：这种类型一般利用 待定系数法待定系数法 构造等比数列，即令an1 x(n1)y p(an xn y)，与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为12n13(n 3),且S11,S2,求数列an的通项公式.2an xn y是公比为p的等比数列。例例:设数列an：a1 4,an 3an1 2n 1,(n 2)，求an.变式变式:（2006，山东,文,22,本小题满分 14 分）已知数列a1n中，a1、点（n、2an1an在直线 y=x 上，其中 n=1,2,32）()令bn an1 an3,求
10、证数列bn是等比数列；()求数列an的通项；()设SSnTnn、Tn分别为数列an、bn的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列若存在试求出n类型类型 8 8arn1 pan(p 0,an 0)解法解法：这种类型一般是等式两边取对数两边取对数后转化为an1 panq，再利用待定系数法待定系数法求解。例：已知数列an中，a11,a1n1aa2n(a 0)，求数列an的通项公式.变式变式:（2005，江西,理,21本小题满分 12 分）已知数列an的各项都是正数,且满足:a01,an112an(4an),nN.（1）证明an an1 2,n N;（2）求数列an的通项公式an.变式变式:（20
11、06,山东,理,22,本小题满分 14 分）已知a21=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x+2x的图象上，其中=1，2，3，（1）证明数列lg(1+an)是等比数列；（2）设Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an)，求Tn及数列an的通项；记b1n=1，求b2n数列的前项和Sn，并证明Sn+=1anan 23Tn1类型类型 9 9an1f(n)ang(n)a(n)解法：这种类型一般是等式两边取倒数两边取倒数后换元换元转化为an1 pan q。n h例例：已知数列aan满足：an1n3a,a11，求数列an的通项公式。n11变式变式:（2006，江西,理,22,本大题满分 14 分）1
12、.已知数列a33nan满足：a1n12，且 an2a（n 2，nN）n1n1（1）求数列an的通项公式；（2）证明：对于一切正整数 n，不等式 a1a2an2n！2、若数列的递推公式为a1 3,1a12(n)，则求这个数列的通项公式。n1an3、已知数列an满足a11,n 2时，an1 an 2an1an，求通项公式。不存在,则说明理由.4、已知数列an满足：anan1,a11，求数列a 的通项公式。3an11n5、若数列an中，a1=1，an1=2annN，求通项anan 2类型类型 1010an1pan qran hpan qh（其中p、q、r、h均为常数，且ph qr,r 0,a1），r
13、an hr解法：如果数列an满足下列条件：已知a1的值且对于nN，都有an1那么，可作特征方程x 是等比数列。1an x1px qxx,当特征方程有且仅有一根x0时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则12rx ha xa xn0n2例：例：已知数列an满足性质：对于n N,an1an 4,且a1 3,求an的通项公式.2an3例：例：已知数列an满足：对于nN,都有an113an25.an3（1）若a1 5,求an;（2）若a1 3,求an;（3）若a1 6,求an;（4）当a1取哪些值时，无穷数列an不存在变式变式:（2005，重庆,文,22,本小题满分 12 分）数列an满足a
14、11且8an1an16an1 2an5 0(n 1).记bn1an12(n 1).（）求b1、b2、b3、b4的值；（）求数列bn的通项公式及数列anbn的前 n 项和Sn.n类型类型 1111an1 an pn q或an1an pq解法：这种类型一般可转化为a2n1与a2n是等差或等比数列求解。n例：（I）在数列an中，a11,an1 6nan，求an（II）在数列an中，a11,anan1 3，求an类型类型 1212 归纳猜想法解法：数学归纳法变式变式:（2006，全国 II,理,22,本小题满分 12 分）设数列an的前n项和为Sn，且方程xanxan0 有一根为Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通项公式2类型类型 1313 双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加累加、累乘累乘、化归化归等方法求解。例：已知数列an中，a11；数列bn中，b1 0。当n 2时，an类型类型 1414 周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。11(2an1bn1),bn(an12bn1)，求an,bn.33例：例：若数列an满足an112a,(0 a)n6n2，若a1，则a20的值为_。72a 1,(1 a 1)nn2变式变式:（2005，湖南,文，5）已知数列an满足a1 0,an1an33an1(n N*)，则a20=（）A0B3C3D32