《2022年题型最全的递推数列求通项公式的习题 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年题型最全的递推数列求通项公式的习题 .pdf（4页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、名师推荐精心整理学习必备高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。类型 1)(1nfaann解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用 累加法 (逐差相加法 )求解。例 1. 已知数列na满足211a，nnaann211，求na。变式 : 已知数列11aan中，且 a2k=a2k1+(1)K,a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3, . （I）求 a3, a5； （II ）求 an的通项公式 .
2、类型 2 nnanfa)(1解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用 累乘法 (逐商相乘法 )求解。例 1:已知数列na满足321a，nnanna11，求na。例 2:已知31a，nnanna23131)1(n，求na。变式 :（2004，全国 I,理 15 ）已知数列 an ，满足 a1=1，1321) 1(32nnanaaaa(n2)，则 an的通项1_na12nn类型 3qpaann 1（其中 p，q 均为常数，)0)1(ppq） 。解法（待定系数法） ：把原递推公式转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用 换元法 转化为等比数列求解。例:已知数列na中，11a，321
3、nnaa，求na. 变式 :（2006，重庆 ,文,14）在数列na中，若111,23(1)nnaaan，则该数列的通项na_ 变式 :（2006.福建 .理 22.本小题满分14 分）已知数列na满足*111,21().nnaaanN（I）求数列na的通项公式；（II）若数列 bn滿足12111*444(1) (),nnbbbbnanN证明：数列 bn 是等差数列；（）证明：*122311.().232nnaaannnNaaa类型 4nnnqpaa1（其中 p，q 均为常数，)0) 1)(1(qppq） 。（或1nnnaparq,其中 p，q, r 均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式
4、两边同除 以1nq，得：qqaqpqannnn111引入辅助数列nb（其中nnnqab） ，得：qbqpbnn11再待 定系数法 解决。例:已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。变式 :（2006，全国 I,理 22, 本小题满分12 分）设数列na的前n项的和14122333nnnSa，1,2,3,n（）求首项1a与通项na； （）设2nnnTS，1,2,3,n，证明：132niiT名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - -
5、- - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备类型 5 递推公式为nnnqapaa12（其中 p，q 均为常数）。解法一 (待定系数法 )：先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中 s，t 满足qstpts解法二 (特征根法 )：对于由递推公式nnnqapaa12，21,aa给出的数列na，方程02qpxx，叫做数列na的特征方程。若21,xx是特征方程的两个根，当21xx时，数列na的通项为1211nnnBxAxa，其中 A，B 由21,aa决定（即把2121,xxaa和2, 1n， 代入1211nnnBxAxa，得到关于A、 B 的方程组）； 当21xx时，数列na的
6、通项为11)(nnxBnAa， 其中 A， B 由21,aa决定（即把2121,xxaa和2, 1n，代入11)(nnxBnAa，得到关于A、B 的方程组）。解法一（待定系数迭加法）: 数列na：), 0(025312Nnnaaannn，baaa21,，求数列na的通项公式。例:已知数列na中，11a,22a,nnnaaa313212，求na。变式 :1.已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaanN（I）证明：数列1nnaa是等比数列； （II）求数列na的通项公式；（III ）若数列nb满足12111*44.4(1) (),nnbbbbnanN证明nb是等差数列2. 已知
7、数列na中，11a,22a,nnnaaa313212，求na3. 已知数列na中，nS是其前n项和，并且1142(1,2,),1nnSana，设数列), 2, 1(21naabnnn，求证：数列nb是等比数列；设数列), 2, 1( ,2nacnnn，求证：数列nc是等差数列；求数列na的通项公式及前n项和。类型 6 递推公式为nS与na的关系式。 (或()nnSf a)解法：这种类型一般利用)2()1(11nSSnSannn与)()(11nnnnnafafSSa消去nS)2(n或与)(1nnnSSfS)2(n消去na进行求解。例： 已知数列na前 n 项和2214nnnaS. （1）求1na
8、与na的关系；（ 2）求通项公式na. （2）应用类型4（nnnqpaa1（其中 p， q 均为常数，)0)1)(1(qppq） ）的方法，上式两边同乘以12n得：22211nnnnaa由1214121111aaSa.于是数列nna2是以 2 为首项， 2 为公差的等差数列，所以nnann2) 1(22212nnna变式 :（2006，陕西 ,理,20 本小题满分12 分 ) 已知正项数列 an，其前 n 项和 Sn满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项 an变式 : (2005,江西 ,文,22本小题满分14 分）已知数列 an 的前 n 项和
9、 Sn满足 SnSn2=3,23, 1),3()21(211SSnn且求数列 an 的通项公式 . 类型 7 banpaann 1)001(，a、p解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令)() 1(1yxnapynxann，与已知递推式比较，解出yx,从而转化为yxnan是公比为p的等比数列。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备例:设数列na：)2( , 123, 411nnaaa
10、nn，求na. 变式 :（2006，山东 ,文,22,本小题满分14 分）已知数列na中，11122nnanaa、点（、）在直线 y=x 上，其中 n=1,2,3()令是等比数列；求证数列nnnnbaab, 31()求数列的通项；na()设分别为数列、nnTS、nanb的前 n 项和 ,是否存在实数，使得数列nnSTn为等差数列？若存在试求出不存在 ,则说明理由 . 类型 8 rnnpaa1)0, 0(nap解法 ：这种类型一般是等式两边取对数 后转化为qpaann 1，再利用 待定系数法 求解。例：已知数列na中，2111, 1nnaaaa)0(a，求数列.的通项公式na变式 :（2005，
11、江西 ,理,21本小题满分12 分）已知数列:,且满足的各项都是正数na.),4(21, 110Nnaaaannn（1）证明;,21Nnaann（2）求数列na的通项公式an. 变式 :（2006,山东,理,22,本小题满分14 分）已知 a1=2，点 (an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中=1， 2，3，（1）证明数列 lg(1+ an)是等比数列；（2）设 Tn=(1+a1) (1+a2) (1+ an)，求 Tn及数列 an的通项；记 bn=211nnaa，求 bn数列的前项和Sn，并证明Sn+132nT=1类型 9 )()()(1nhanganfannn解法：这
12、种类型一般是等式两边取倒数 后换元转化为qpaann 1。例：已知数列 an满足：1,13111aaaannn，求数列 an的通项公式。变式 :（2006，江西 ,理,22,本大题满分14 分）1.已知数列 an满足： a132，且 ann1n13nan2nN2an1（，） （1）求数列 an的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1a2 an2 n！2、若数列的递推公式为11113,2()nnanaa，则求这个数列的通项公式。3、已知数列 na 满足2, 11na时，nnnnaaaa112，求通项公式。4、已知数列 an满足：1,13111aaaannn，求数列 an的通项公式。5
13、、若数列an中，a1=1，a1n=22nnaanN，求通项an类型 10 hraqpaannn 1解法： 如果数列na满足下列条件： 已知1a的值且对于Nn，都有hraqpaannn 1（其中 p、q、r、h 均为常数， 且rharqrph1,0,） ，那么，可作特征方程hrxqpxx,当特征方程有且仅有一根0 x时,则01nax是等差数列 ;当特征方程有两个相异的根1x、2x时，则12nnaxax是等比数列。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - -
14、 - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备例： 已知数列na满足性质：对于,324,N1nnnaaan且, 31a求na的通项公式 . 例： 已知数列na满足：对于,Nn都有.325131nnnaaa（1）若, 51a求;na（ 2）若,31a求;na（3）若,61a求;na（4）当1a取哪些值时，无穷数列na不存在？变式 :（2005，重庆 ,文,22,本小题满分12 分）数列).1(0521681111naaaaaannnnn且满足记).1(211nabnn（）求 b1、b2、b3、b4的值；（）求数列nb的通项公式及数列nnba的前 n 项和.nS类型 11 qpnaann
15、1或nnnpqaa1解法：这种类型一般可转化为12na与na2是等差或等比数列求解。例： （I）在数列na中，nnanaa6, 111，求na（II ）在数列na中，nnnaaa3, 111，求na类型 12 归纳猜想法解法：数学归纳法变式 :（2006，全国 II,理,22,本小题满分12 分）设数列 an的前 n 项和为 Sn，且方程x2anxan0 有一根为Sn1，n1，2，3，（）求 a1，a2；（）an的通项公式类型 13 双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加 、累乘 、化归等方法求解。例：已知数列na中，11a；数列nb中，01b。当2n时，)2(3111nnnbaa,)2(3111nnnbab，求na,nb. 类型 14 周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例： 若数列na满足)121( ,12)210( ,21nnnnnaaaaa，若761a，则20a的值为 _。变式 :（2005，湖南 ,文， 5）已知数列na满足)(133, 0*11Nnaaaannn，则20a= （）A0 B3C3D23名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -