山东科技大学概率论期末试题.pdf-淘文阁

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1、山东科技大学山东科技大学 2011201120122012 学年第一学期学年第一学期概率论与数理统计考试试卷（概率论与数理统计考试试卷（A A 卷）卷）班级姓名学号题号得分一二三总得分评卷人审核人一、计算题（共一、计算题（共 1818 分）分）1 1、(6(6 分分)设随机事件A,B及A B的概率分别为p,q及r，计算（1）P(AB)(2)P(AB)2 2、（6 6 分）分）甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.5 和 0.4，现已知目标被击中，则它是乙射中的概率是多少？3 3、（6 6 分）分）甲,乙两部机器制造大量的同一种机器零件,根据长期资料总结,甲机器制造出的零件废品率

2、为 1%,乙机器制造出的废品率为2%,甲机器生产的零件是乙机器生产的两倍，今从该批零件中任意取出一件,经检查恰好是废品,试由此检查结果计算这批零件为甲机器制造的概率。二、解答题（共二、解答题（共 6464 分）分）Kx2,1 1、（8 8 分）分）设连续性随机变量X的密度函数为f(x)0,1 x 2，计算其他（1）求常数K的值；（2）求随机变量X的分布函数；（3）计算P(0 X 1)。Ke(3x2y),x 0,y 02 2、（1010 分）分）二维随机变量(X,Y)的联合密度函数f(x,y)，求（1）其他0,常数 K；（2）X,Y的边缘密度函数；（3）计算P(X Y)。3 3、（1010 分）

3、分）设二维随机变量(,)的密度函数为 1p(x,y)0问与是否独立？是否不相关？x2 y21其它2x,0 x 1f(x)YX4 4、（8 8 分）分）设与独立同分布，且求Z X Y的概率密度。其它0,5 5、（1010 分）分）用两种工艺生产的某种电子元件的抗击穿强度X和Y为随机变量，分布分别为N(1,12)和N(2,22)（单位：V）.某日分别抽取 9 只和 6 只样品，测得抗击穿强度数据分别为x1,x9和y1,y6,并算得 370.80,xi215280.17,i169xi169iyi1i 204.60,yi2 6978.93.i1（1）检验X和Y的方差有无明显差异（取 0.05）.（2）

4、利用(1)的结果，求12的置信度为 0.95 的置信区间.6 6、（1010 分）分）设中未知，是取自总体 X 的一个样本，其中X 服从参数为的泊松分布，其，求的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值X频数0171202103241求的矩估计值与最大似然估计值。7 7、（8 8 分）分）一加法器同时收到 20 个噪声电压Vk(k 1,2,20)，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布。记V Vk120k，求P(V 105)的近似值。三、三、证明题（共证明题（共 1818 分）分）1 1、（6 6 分）分）设随机变量XN(,2),证明Y 2 2、（6 6 分）分）设

5、为总体X N(0,1).的样本，证明都是总体均值3 3、（6 6 分）分）设从附表：附表：的无偏估计，并进一步判断哪一个估计有效。是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个服从分布，并指出它的自由度都服。试给出常数，使得(1.64)0.95(1.1.96)0.9 7 54 0.6 5 2(1.28)0.90(0.3 8)t0.975(13)2.1604t0.975(14)2.1448t0.95(13)1.7709t0.95(14)1.7613F0.975(5,8)6.76F0.95(5,8)4.82山东科技大学山东科技大学 2009200920102010 学年第二学期学年第二学期第3页/共2页

6、概率论与数理统计考试试卷（概率论与数理统计考试试卷（A A 卷）卷）班级姓名学号题号得分一二三总得分评卷人审核人一、填空题（每空2分，共26分）1 1设A,B为随机事件，且P(A)0.4,P(AUB)0.7,若事件A与B互斥,则P(B)=；若事件A与B独立，则P(B)=。2 2若P(X 0,Y 0)34,P(X 0)P(Y 0),则P(maxX,Y 0)。773 3 均匀正八面体两个面涂红色，两个面涂白色，四个面涂黑色，分别用X 1、X 0和X 1表示掷一次该正八面体，朝下的一面为红色、黑色和白色，则X分布函数为_，Y X 1的分布列为。24 4设连续型随机变量的分布函数为F(x)A，当25x

7、，则A=，11，当25x 处的条件为；处的条件为。5 5设，均服从正态分布N(1,2)，与的相关系数为 0，则E()；方差D(23)。6 6设总体X均服从N(0,4)分布且X1,X4来自总体X的简单随机样本，则统计量1U X12 X32服从分布；V X14(Xi X)2服从分布；i14F 2X12 X22X32X4服从分布。二、选择题（每题 3 分，共 18 分）1 1若用事件A表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则事件A表示（）。A 甲产品滞销，乙产品畅销；B.甲、乙两产品均畅销；C.甲产品滞销；D 甲产品滞销或乙产品畅销2 2设两事件与满足P(B|A)=1,0 P(A)1，则（）正确。A.B是

8、必然事件；B.P(B|A)0；C.AB；D.P(B|A)03 3设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布，XN(,16)，YN(,25),记 PX-4=p1,PY+5=p2,则（）正确。A.只对的个别值才有p1=p2；B.对任意实数，均有p1p2；C.对任意实数，均有p1=p2；D.对任意实数，均有p1p24 4设n是独立同分布的随机变量序列，En,Dn2,(0)存在。若令1nb，则a,b的值分别为ni，limPna，limPnnnni1nA.1,2(1)1；B.0.5,(1)1；C.1,2(1)；D.1,0.55 5若E(XY)E(X)E(Y)，则（）正确。A.D(XY)D(X)D(Y)；C.

9、X与Y独立；B.D(X Y)D(X)D(Y)；D.X与Y不独立.26 6由来自正态总体X N(,2)，容量为9的简单随机样本，得到样本方差S 0.0325，则未知参数的置信度为0.95的置信区间为（222）。2(已知0.025(8)2.179;0.975(8)17.534;0.05(8)2.733;0.95(8)15.507)A.(0.0148,0.1193)；B.(0.1218,0.3454)；第5页/共2页C.(0.0168,0.0951)；D.(0.1296,0.3084)三、计算与证明题（1、2、3、5 题每题 10 分，4 题 16 分，共 56 分）1 1设考生的报名表来自三个地区

10、，分别有 10 份，15 份，25 份，其中女生的分别为 3 份，7份，5 份。随机地选一地区，然后从选出的地区先后任取两份报名表，(1)求先取的那份报名表是女生的概率；(2)已知后取到的报名表是男生的，求先取的那份报名表是女生的概率。2 2设X,Y的联合密度为30 y 1 x2,fx,y40,其他2（1）求X和Y的边缘密度函数；（2）求概率P Y X.3 3设随机变量X与Y相互独立，均服从参数为1的指数分布,求2（1）Z X 1的概率密度函数；（2）Z X Y的概率密度函数。4 4设总体XU0,（U 为均匀分布），来自总体X的样本为X1,X2,Xn,（1）证明的矩估计量 2X和极大似然估计量

11、L max(X1,Xn)；（2）证明L max(X1,zn 1,0 z n；Xn)的密度函数为g(z)n0,其他（3）令1n1L,证明与1均是的无偏估计；并比较1与的有效性。n5.5.某工厂采用新法处理废水，对处理后的水测量所含某种有毒物质的浓度，得到 10 个数据：22，14，17，13，21，16，15，16，19，18.（单位：mg/L）而以往用老方法处理废水后，该种有毒物质的平均浓度为19.欲检验新方法是否比老法效果好，假设检验水平 0.05,有毒物质浓度XN(,2).（1）证明在显著性水平下，假设检验H0:019,H1:0.的一个拒绝域为x 0C(x1,L,xn):t(n1)；sn（

12、2）显著性水平 0.05下，能否认为新方法是否比老法效果好？（t0.95(9)1.8331）山东科技大学山东科技大学 2009200920102010 学年第二学期学年第二学期概率论与数理统计考试试卷（概率论与数理统计考试试卷（B B 卷）卷）班级姓名学号第7页/共2页题号得分一二三总得分评卷人审核人一、填空题（每空2分，共24分）1 1若在区间（0，1）内随机取两个数1和2，则1的分布密度函数为；事件“这两数之和小于6”的概率为。52 2设随机事件A,B满足P(A)0.4，P(B)0.3，P(AB)0.6，则P(AB)，P(AB)。3 3设两随机变量与的方差分别是 4 和 9，相关系数为 0

13、.5，则D(2)，D(2)。4 4设离散型随机变量X的分布函数为：0,x 1a,1 x 1F(x)1a,1 x 2a b,x 2且p(X 2)1，则a _,b _。45 5设n是独立同分布的随机变量序列，En,Dn2,(0)存在。若令1nn，limPnni，则limPnnni1n。（已知(1)0.84）26 6设总体 X 服从正态分布N(0,2)，而X1,X2,X15是来自该总体的简单随机样本，则23X1 X2L X4X12 X10Z 服从分布；服从分布。Y 222222(X11 X15)2 X6 X7X15二、选择题（每题 3 分，共 18 分）1 1袋中有5 个球（3 个新球 2 个旧球）

14、每次取一个，无放回地取两次，则第二次取到新球的概率是（）3313；(B)；(C)；(D)。542102 2设两事件与互斥，且P（A）0，P（B）0，则（）正确(A)（A）A与B互斥（B）A与B互不相容（C）P（AB）=P（A）P（B）（D）P（A-B）=P（A）3 3已知随机变量X服从二项分布，且E(X)2.4,D(X)1.44，则二项分布的参数n,p的值可取为（）。（A）n 4,p 0.6；（B）n 6,p 0.4；（C）n 8,p 0.3；（D）n 24,p 0.1。4 4设随机变量XN(,2)，0，则随的增大，概率pX 应（）(A)单调增大；(B)单调减小；(C)保持不变；(D)增减不定

15、。5 5若随机变量X和Y的协方差等于 0，则以下结论正确的是（）。（A）X和Y相互独立；（B）D(X Y)D(X)D(Y)；（C）D(X Y)D(X)D(Y)；（D）D(XY)D(X)D(Y)。6 6设总体X N(,1)，据来自X的容量为100的简单随机样本，测得均值为x 5，则的置信度等于0.95的置信区间为（）。(u0.9751.96;u0.951.65)(A)(4.804,5.196)；(B)(4.835,5.165)；(C)(3.835,4.165)；(D)(3.804,4.196)。三、计算与证明题（1 题 10 分，2、3、4、5 题每题 12 分，共 58）1 1某工厂生产的机床

16、包括车床、钻床、磨床、刨床，它们的台数之比为 9:3:2:1，在使用期间每台车床、钻床、磨床、刨床需要修理的概率分别为0.1、0.2、0.3、0.1。（1）任取一台机床，求它在使用期间需要修理的概率；（2）当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？2 2设随机变量与独立，均服从N(0,1)，试求X 1()和Y X2的分布密度函数。2第9页/共2页Cxy,0 x 1,0 y 13 3设(X,Y)的联合密度函数为p(x,y)试求：0,其它（1）常数C；（2）边际分布pX(x),pY(y)；（3）判断X与Y是否相互独立.4 4 设总体X:U(,2)，其中 0为未知参数，X1,L,Xn为样

17、本，求的矩估计和极大似然估计，并验证所求矩估计的无偏性。5 5某部门对当前鸡蛋价格是否存在较大波动进行市场调查，假设设鸡蛋价格X（单位：元/斤）服从正态分布，即X:N(,2)，根据过去统计，鸡蛋价格标准差0，现抽查n个市场，得样本方差的观测值为s，（1）证明在显著性水平下，假设检验H0:0;H1:0的一个拒绝域为2(n1)s22C(x1,L,xn):(n1)120（2）若0 0.25，n 16，和s 0.5，则在显著性水平 0.05下，能否认为鸡蛋价格22存在较大波动？(0.95(16)26.296，0.95(15)24.966)山东科技大学山东科技大学 2010201020112011 学年

18、第学年第一一学期学期概率论与数理统计考试试卷（概率论与数理统计考试试卷（B B 卷）卷）班级姓名学号一、填空题（每题 5 分，共 15 分）1、设A、B相互独立，若P(AB)1，且PA(B)PA(B)16，则P(AB)_。2、设随机变量X服从参数为 2 的指数分布，令Y 4X 1，则DY_。题号得分一二三四2五六七2八总得分评卷人审核人3、设Yn aX1 XmbXm1 Xn，其中X1,Xn是来自正态总体N0,1的简单随机样本，为使Yn2分布，则a _，b _。二、选择题（每题 5 分，共 15 分）1、设F为使Fx aF1x,F2x分别为随机变量X1,X1的分布函数，1xbF2x是某一随机

19、变量的分布函数，a,b应取下列何值。32 221 3 13A、,，B、,，C、,，D、,。答（）55332 2222、设随机变量X N(,则下列结论正确的是：2)，Y 2(n)，且X，Y相互独立，若令W X n，YA、W tn1，B、W t(n)，C、W N(0,1)，D、W F(1,n)。答（）3、设总体X N(,n2)，X1,X2,Xn是来自总体的简单随机样本，为使 AXi X是的无偏估计量，则A的值为：i1A、111，B、，C、，D、。答（）n2n n1nn1三、（10 分）三个人独立破译一份密码，已知各人能破译出的概率分别为0.4，0.5，0.7，试求：（1）三人中恰有一人能破译出密码

20、的概率；（2）至少有一人能破译出密码的概率。四、（10 分）设随机变量X N(0,1)，试求Y e的概率密度函数。第11页/共2页X五、（12 分）设二维随机变量X,Y的分布率为求：（1）EX、EY、DX、DY；（2）XY；（3）DX Y；（4）判断X,Y是否相互独立，并说明原因。XY10111/81/81/801/801/811/81/81/8ce(2xy),x 0,y 0六、（16 分）设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，0,其他求：（1）常数c；（2）关于X,Y的边缘密度函数fX(x),fY(y)；（3）X,Y是否相互独立；（4）Z maxX,Y的密度函数。cx(1),

21、x c七、（12 分）已知总体X的概率密度为f(x;)，其中c 0已知，其他0,1为未知参数，(X1,X2,Xn)为来自X的一个样本，x1,x2,xn为相应的样本值。求未知参数的最大似然估计量与最大似然估计值。八、（10 分）根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力X N(,2)（单位：kg）.已知 8kg，现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10 个样品，测得样本均值x 575.2kg.问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570 kg？（0.05）2t0.025(9)2.262,0.025(9)19.023,(1.96)0.975附表：2t0.05(9)1.8331,0.05(9

22、)16.919,(2.5)0.9938山东科技大学山东科技大学 2010201020112011 学年第二学期学年第二学期概率论与数理统计考试试卷（概率论与数理统计考试试卷（A A 卷）卷）班级姓名学号题号一二三四五总得分评卷人得分一、填空题（每小题 5 分，共 15 分）1、设P(A)0.5，P(B)0.6，P(B A)0.8，则P(AB)。2、设X N(3,1)，Y N(2,1)，且X与Y独立，则Z X 2Y 73、设X满足E(X)2，D(X)2，则由契比雪夫不等式有P2 X 6。二、单项选择题（每小题5 分，共 15 分）1、设随机变量X N(0,1)，则方程t 2 Xt 4 0没有实根

23、的概率为（）。2(A)2(2)1；(B)2(1)1；(C)(2)；(D)(2)(2)。2、设总体X N,，其中,22均未知。现随机抽取样本容量为16 的一个样本，算得样本均值x 20，样本标准差s 1，则的置信水平为 0.90 的置信区间是（）。11(A)20t0.05(16),20t0.05(16)(B)441120t0.1(16),20t0.1(16)441111(C)20t0.05(15),20t0.05(15)(D)20t0.1(15),20t0.1(15)4444nX2 _3、X与Y相互独立，X N(0,1)，Y n，则Z Y(A)t(n)；(B)t(n 1)n。)；(C)N(0,1

24、)；(D)F(1,2三、计算题（每小题 10 分，共 30 分）1、某仓库有同种产品 6 箱，其中 3 箱、2 箱、1 箱依次是由甲、乙、丙厂生产的，三厂的次品率分别为111,和，现从 6 箱中任取一箱，再从取得的一箱中任取一件产品，试求：10 1520（1）取得的产品是次品的概率；（2）若已知取得的是一件次品，试求是丙厂生产的概率。2、已知随机变量X b(6,0.4)，Y(4)，XY 0.5，令Z X 0.4Y，试求：（1）Cov(X,Y)；（2）E(Z)；（3）D(Z)。4x3,0 x 13、设随机变量X的概率密度为f(x)，试求：0,其它（1）X的分布函数F(x)；（2）PX；（3）P1

25、 X。第13页/共2页1212四、解答题（共 34 分）1、（10 分）设随机变量X,Y的概率密度为cx y,0 x 2,0 y 2f(x,y)，试求：0,其它题号得分一二三总得分评卷人审核人（1）常数c；（2）边缘概率密度fXx和fYy，并判断X与Y是否独立？（3）PX 1。x1x 0e,2、（10 分）已知总体X服从参数为的指数分布，即概率密度f(x)，x 00,其中未知参数估计量。0，设X1,X2,Xn为样本，试求：（1）的矩估计量；（2）的最大似然X3、（6 分）已知随机变量X服从(0,1)上的均匀分布，试求Y e的概率密度fY(y)。4、（8 分）一批灯泡的寿命XN(,2)，其中与

26、2未知。今随机抽取 6 只，算得样本均值x 515，样本标准差s 29.8。在显著性水平 0.05下，检验是否等于 520？（附表t0.025(5)2.5706，t0.025(6)2.4469，t0.05(5)2.0150，t0.05(6)1.9432）五、证明题（6 分）1n设X1,X2,Xn是来自总体X N(,)的简单随机样本，记X Xi，ni12121n22U XS,证明：U是2的无偏估计量。,S(X X)inn 1i12山东科技大学山东科技大学 2011201120122012 学年第二学期学年第二学期概率论与数理统计考试试卷（概率论与数理统计考试试卷（A 卷）卷）班级姓名学号一、填空

27、题（每题 5 分，共 30 分）1已知事件A、B相互独立，且P(A)0.4,P(B)0.5，P(AB)_0.7_。2设(X1,X2,Xn)是来自正态总体N(,9)的一组样本，则分布参数的一个置信水平为3 设某电子元件的使用寿命(单位：小时)是一个随机变量X，服从参数为1000的指数分布，则这种电子元件的使用寿命在1200 小时以上的概率为_e_。x1e,x 0,注：指数分布的概率密度为f(x)0,x 0.2。1 的双侧置信区间为_ 21.2X服从标准正态分布N(0,1)，Y服从参数为 3 的泊松分布(3)，4 设随机变量X与Y相互独立，则D(3X 2Y)_9D(x)+4D(y)=21_。5.设

28、(X1,X2,Xn,Xn1)是来自总体N(0,3)的一组样本，统计量(X2X3Xn1)服从的抽2nX1样分布为_F（1，1）_ F（n，1）_?_。6口袋中有六个球，球上分别标有数字：-3，-3，-1，1，1，2，任取一个球，用X表示取出的球上的数字，则E(X)=_-0.5_。二、计算题（每题 10 分，共 50 分）1.1.甲盒内装有 2 个红球 3 个黑球；乙盒内装有3 个红球 2 个黑球；丙盒装有3 个红球 3 个黑球；丁盒中 4 个红球 1 个黑球。设到 4 个盒子取球的机会相等，从中任取一球，求(1)取到红球的概率；全概率公式(2)已知取出的球是红球，问其来自于乙盒的概率。P（B/A

29、）=P（AB）/P(A)2.2.袋子中有 6 个球，其中红、白、黑球各有 1、2、3 个，从中任取 2 个球。假设取到每个球的可能性都相同，取到红球的个数记为X，取到白球的个数记为Y，试求随机变量X与Y的联合分布律，并求 Cov(XCov(X，Y)Y)。2Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)第15页/共2页axb,0 x 253.3.设随机变量X的密度函数为f(x)，且E(X),试求：4其他0,E(X)=E(X)=xf（x）dx5)内的概率；(3)随机变量X的分布函数F(x)。(1)参数a,b的值；(2)随机变量X落在区间(1,4.4.设随机变量X与Y独立同分布于参数为的指数分布，求随机

30、变量Z min(X,Y)的概率密度函数。；max(X,Y)Fmax(z)FX(z)n min(X,Y)Fmin(z)11 FX(z)n5.5.设随机变量X与Y独立，均服从区间(0,1)上的均匀分布，求概率P(X2Y21)。三、解答题（每题 10 分，共 20 分）(1)x,0 x 11.1.设总体X的概率密度为f(x)，其中 1为未知参数，其他0,(X1,X2,Xn)是来自总体的一个样本，(x1,x2,xn)为其样本观测值，试求分布参数的最大似然估计量。2.2.已知某机器包装的每袋糖果重量X服从正态分布，机器正常情况下，包装的每袋糖果重量的均值为 500 克。现随机抽取

31、了 9 袋糖果，测得样本均值和样本标准差分别为：x 467.5,s 30（单位：克）。试在显著性水平 0.05下，判定机器是否运转正常。山东科技大学山东科技大学 2011201120122012 学年第一学期学年第一学期概率论与数理统计考试试卷（概率论与数理统计考试试卷（A A 卷答案）卷答案）一、一、计计算题（共算题（共 1818 分）分）1 1、(6(6 分分)P(AB)P(A)P(B)P(AB)pqrP(AB)P(AB)1P(AB)1r2 2、（6 6 分）分）B=击中目标记A1=甲射击，A2=乙射击，则由全概率公式P(B)P(A1)P(B A1)P(A2)P(B A2)11=0.5+0

32、.4=0.4522故，由贝叶斯公式P(A2B)P(A2)P(B A2)P(A1)P(B A1)P(A2)P(B A2)=0.240.4593 3、（6 6 分）分）解:设 A 为零件由甲机器制造,则A为零件由乙机器制造,A 与A构成完备事件组.由 P(A+A)=P(A)+P(A)=1 并由题意知 P(A)=2P(A),得 P(A)=1/3,P(A)=2/3.设 B 为零件为废品,则由题意知P(B|A)=0.01,P(B|A)=0.02,则根据贝叶斯公式,任抽一件检查为废品条件下零件由甲机器制造的概率为P(A|B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)10.010.013

33、0.2120.050.010.0233二、二、解解答题（共答题（共 6464 分）分）1 1、（8 8 分）分）解：（1）由于f(x)dx Kx2dx 3K 1故K 1213第17页/共2页（2）F(x)x0 x1f(u)du u2du131011 x 2(x31)9x 21x 1x 11 x 2x 2（3）P(0 X 1)2 2、（1010 分）分）（1）由于10f(x)dx 121x dx 0391 f(x,y)dxdy 00Ke(3x2y)dxdy K1故K 6。6（2）fX(x)f(x,y)dy 6e(3x2y)dy 3e3x0 x 0当x 0时，fX(x)0同理，fY(y)f(x,y

34、)d x(3 x 2 y)06 e x 2d x2ey0当y 0时，fY(y)0（3）P(X Y)xyf(x,y)dxdy 1x20 x36e(3x2y)dydx 5,(|x|1);p(x)0,(|x|1)。3 3、（1010 分）分）解：p(x)dy 1x22 1 x2同理，p(y)2 1 y2,(|y|1);p(y)0,(|y|1)。由于p(x,y)p(x)p(y)，所以与不相互独立。又因p(x,y),p(x),p(y)关于x或关于y都是偶函数，因而E E E()0，故cov(,)0，与不相关。4 4、（8 8 分）分）解：由卷积公式fZzfXxfYz xdx得要使被积函数不等于零，应有：

35、0 x 1 0 x 1即（2 分）画出区域（2 分）0 z x 1x z x1当z 0或z 2时，fZz0；（2 分）当0 z 1时，fZz234x z x dx z；（2 分）031238当1 z 2时，fZz4xz xdx z 4z。（2 分）z133z23z,0 z 138 2fZzz34z,1 z 2；（5 分）330,其它5 5、（1010 分）分）解：n11n121S xi(xi)2 0.4013,n11i1n1(n11)i121n21n221S yj(yj)2 0.4140.n21j1n2(n21)j1222222(1)H0:12(或12/21),H1:122.选F检验，在H0成

36、立条件下2F S12/S2F(n11,n21)F(8,5).0.05，此检验法的否定域为RF F/2(8,5)或F F1/2(8,5).查F分布表，得F0.025 4.82,F0.9751/F0.025(5,8)1/6.76 0.1479.S120.4013算F值，F 2 0.9693.S20.41400.1479 F 4.82不在否定域.故接受H0，认为X和Y的方差无明显差异.（2）利用（1）的结果，12但未知，故选随机变量第19页/共2页222T X Y(12)11Swn1n2t(n1n22).记l t(n1n22),其1的置信区间为2X Y lSw1111,X Y lSw.n1n2n1n

37、22W2(n11)S12(n21)S2由观测值计算Sn1n22(9 1)0.4 0 1 3(61)9620.4 1 4 00.4 0 6 2,SW 0.6 3 7 3.查t分布表，得t0.025(13)2.1604.12的 95的置信区间为(41.234.12.16040.637311)966 6、（1010 分）分）解，故的矩估计量由样本观测值可算得。另，X 的分布律为故似然函数为对数似然函数为解得的最大似然估计量故的最大似然估计值7 7、（8 8 分）分）解：。，E(Vk)5,D(Vk)100 12(k 1,2,20)，由定理 1，得 P(V 205105205)(1012)20(1012

38、)20V 100 P(0.387)(1012)20V 1001 P(0.387)(1012)201(0.387)0.3485 0.348即有P(V 1 0)P(V 1 0)5三、三、证证明题（共明题（共 1818 分）分）1 1、（6 6 分）分）证明：，由于XN(,)，故又EY E2Y X X 也服从正态分布，X 0，DY DD(X)21，Y 故X N(0,1)2 2、（6 6 分）分）证明：由于111E1 EX1X2X3632第21页/共2页E2 E212X1X2X3555的无偏估计。又故，1，2都是总体均值1117X2X326321821292D(2)DX1X2X355525D(1)DX

39、1D(1)D(2)，故2比1有效。3 3、（6 6 分）分）由题意，X1 N(0,1)，X2 N(0,1)，且X1,X2相互独立，故X12 X222(2)，因此，当c 1时，c(X12 X22)服从2分布，自由度为 2.山东科技大学山东科技大学 2009200920102010 学年第学年第二二学期学期概率论与数理统计考试试卷概率论与数理统计考试试卷(A(A 卷卷)参考答案及评分标准参考答案及评分标准一、填空题（每题 5 分，共 15 分）1、12；2、12.6；3、n6二、选择题（每题 5 分，共 15 分）1、B；2、A；3、D三、（42 分）1、（10 分）解：设“患有该病”为事件A

41、(2xy)dx ey,y 002e.fY(y)f(x,y)dx y 0o,显然有f(x,y)fX(x)fY(y)，所以X,Y相互独立.7 分（3）X,Y相互独立，所以ey,y 0.9 分fY X(y|x)fY(y)y 00,（4）PX Y 112 分3、（10 分）解：（1）X和Y的边缘分布分别为：xk10dx1x02e(2xy)dy 1e22e1.10.420.230.4P(X xk)ykP(Y yk)-10.300.410.3E(X)0.41 0.22 0.43 2；第23页/共2页E(X2)0.410.240.49 4.8；D(X)E(X2)E(X)2 4.84 0.8.类似得E(Y)0

42、,D(Y)0.6.6 分（3）E(XY)110.2110.1 2(1)0.1 210.1310.1 0.2；Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)0.2；XYCov(X,Y)D(X)D(Y)0.20.8 0.63.8 分6（4）E(Z)4、（10 分）(xi1 j133i yj)2pij 5.10 分解：记Y的分布函数为FY(y)，FY(y)PY y P13x y PX (1 y)3)1 PX (1 y)31 FX(1 y)6 分所32以3(1 y)2.fY(y)fX(1 y)(3)(1 y)621(1 y)10 分四、（22 分）1、（12 分）(1)dx 解：E(X)xf(x)dx x

43、C x01C1矩估计量为由X C1得的X.6 分X C构造似然函数L()Cxi1n(1)i,x1,x2,xn ClnL()nln nlnc(1)ln xii1nd lnL()n建立方程 nlnC ln xi 0di1n解得的最大似然估计量为nln Xi1n.12 分i nlnC2、（10 分）解：由题意需检验H0:520,H1:5203 分检验统计量T 拒X 5205 分S/n绝域为t x 520 t(5)7 分2s6x 520 0.41 t0.025(5)2.57，9s6计算得x 515,s2890，检测观测值t 分故接受原假设H0，即认为该种钢筋的强度为 520.10分五、（6 分）证明：

44、因为(n 1)S222(n 1)，而D(2(n 1)2(n 1)，3 分2(n1)S2424所以D(S)D.62(n1)22n1n1(n1)2分第25页/共2页山东科技大学山东科技大学 2010201020112011 学年第学年第一一学期学期概率论与数理统计考试试卷（概率论与数理统计考试试卷（A A 卷）卷）答案答案一、填空题（每题 5 分，共 20 分）1、711；2、32；3、3；4、a,b 16mnm二、选择题（每题 5 分，共 15 分）1、A；2、D；3、B三、1、（10 分）X解：FYy PY y P e y 2 分当y 1时，FYy PX ln y FXln y4 分fYy

45、 FYy fXln y1ey 21 6 分yln y22 8 分2ln y1e2所以fYy y 20，y 1其他10 分2、（10 分）解：（1）X,Y的边缘分布率均为X,Y的分布率均为22取值概率-13/802/813/8取值概率02/816/8323EX EY101 088866DX EX2 E2X EX2,DY 6 分88（2）XYCovX,YDXDYEXY EXEY68随机变量XY的分布率为取值概率-12/804/812/8EXY0,XY0 8 分（3）DX Y DX DY2CovX,Y3、（15 分）解：（1）6630 10 分882 0fx,ydxdy 1 1 分c01e2xydy

46、dx c 1c 2 2 分2(2)fXxfx,ydy当x 0时，fXx02e2xydy 2e2x2e2x,x 0 5 分 fXx其他0，fYyfx,ydx当y 0时，fYy02e2xydx ey8 分 ey,fYy0,y 0其他（3）fXx fYy fx,y,所以X,Y相互独立 10 分（4）当z 0时，FZ(z)P maX x(Y,z)PX z Y z,PX z P Y z FXz(FY)z()13 分fZ(z)fX(z)FY(z)FX(z)fY(z)2e2z(1ez)(1e2z)ez ez2e2z3e3zez2e2z3e3zz 0故fZ(z)15 分其他0第27页/共2页4、（10 分）解

47、：似然函数Lf(x;)2 分ii1nnlnL nln nlnc (1)ln xi 6 分i1由lnL()0，可得最大似然估计值为nln xi1n；8 分i nlnc最大似然估计量为nln Xi1n 10 分i nlnc四、（每题 10 分，共 20 分）1、(1)解：设Ai分别表示一箱商品中有 0、1、2 个次品，i 1,2,3，则P(A1)P(A2)P(A3)设B表示顾客买下这箱商品，则1 2 分3C924C8228 6 分P(B A1)1,P(B A2)2,P(B A3)2C105C1045P(B)P(A1)P(B A1)P(A2)P(B A2)P(A3)P(B A3)14281 0.80

48、73545 8 分1P(A1)P(B A1)3 0.413 10 分(2)P(A1B)P(B)0.8072、解：要检验的假设为H0:570,H1:570 2 分检验用的统计量U X 0/n2 N(0,1)4 分拒绝域为U z(n 1)z0.0251.96 6 分U0575.25708/10 0.65 10 2.06 1.96，落在拒绝域内 8 分故拒绝原假设H0，即不能认为平均折断力为570 kg.10 分山东科技大学山东科技大学 2010201020112011 学年第学年第一一学期学期概率论与数理统计考试试卷（概率论与数理统计考试试卷（B B 卷）卷）答案答案一、填空题（每题 5 分，

49、共 15 分）1、711；2、4；3、a,b 16mnm二、选择题（每题 5 分，共 15 分）1、A；2、B；3、D三、（10 分）解：设Ai表示第i个人能破译密码，i 1,2,3，则P恰有一人能破译出密码PA1A2A3 A1A2A3 A1A2A3 2 分 P A1A2A3 P A1A2A3 P A1A2A3 4 分 0.40.50.30.60.50.30.60.50.7 0.36 5 分P至少有一人能破译出密码PA1A2A3 7 分1 P A1A2A3 9 分10.60.50.3 0.91 10 分四、（10 分）X解：FYy PY y P e y 2 分当y 1时，FYy PX ln y

50、 FXln y4 分fYy FYy fXln y1 6 分y第29页/共2页1ey 22ln y2 8 分2ln y1e2所以fYy y 20，y 1其他10 分五、（12 分）解：（1）X,Y的边缘分布率均为X2,Y2的分布率均为取值概率-13/802/813/8取值概率02/816/8323EX EY101 088866DX EX2 E2X EX2,DY 6 分88（2）XY随机变量XY的分布率为CovX,YDXDYEXY EXEY68取值概率-12/804/812/8EXY0,XY0 8 分6630 10 分88219（4）PX 1,Y 1,而PX 1PY 1，864（3）DX Y DX

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