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1、Mallat算法卷积法实现小波变换在实际中具有广泛的应用。实际应用中的边界处理问题：实际应用中的边界处理问题：1.边界延拓方法边界延拓方法 零延拓零延拓 周期延拓周期延拓 周期对称延拓法周期对称延拓法 光滑常数延拓法光滑常数延拓法 第1页/共45页Mallat算法的Matlab实现dwt()cA,cD=dwt(X,Lo_D,Hi_D)cA,cD=dwt(X,Lo_D,Hi_D,mode,MODE)X 的长度为,滤波器的长度为对于周期延拓方式，cA，cD的长度均为 对于其他延拓方式，cA，cD的长度均为 idwt()X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R)X=idwt(cA,cD,Lo_R
2、,Hi_R，mode,MODE)对于周期延拓方法，对于其他延拓方式，特点:1)能够实现重构能够实现重构.2)难以用于数据难以用于数据压缩应用压缩应用第2页/共45页具有延拓功能的二带分析/综合系统 问题:在什么情况下,能够确保完全重构?第3页/共45页用小波处理函数/信号的基本步骤 和已知是正交尺度函数与小波,则用小波处理函数的基本过程包括:初始化设信号在最高初始分辨率级下的光滑逼近为 记，则有。其中，小波分解第4页/共45页用小波处理函数/信号的基本步骤 小波系数处理小波系数处理 小波重构第5页/共45页用小波处理离散信号的基本步骤 其采样间距为，使得做小波分解、对小波系数处理以及对处理后的
3、系数进行小波重构等 对说明:1)对做小波分解,如何?2)若的采样间距为1,如何?第6页/共45页Mallat算法应用举例 将该信号离散化为个采样值，相应的逼近信号记为。的图形。用Haar小波进行分解，画出若记,而的三级多分辨逼近信号为,则容易算出。第7页/共45页第8页/共45页第9页/共45页Mallat算法应用举例对同一个离散信号应用不同的小波变换以及FFT变换进行压缩的处理效果与分析。已知上例中的离散信号问题：1）用Haar尺度函数和小波分解信号；2）用D4尺度函数和小波分解信号；3）用FFT变换分解信号。令绝对值最小的80%和90%系数为0 对信号进行小波压缩，画出相应的重构信号的图形
4、，并求出相应的相对误差。对各种变换的效果进行对比分析。第10页/共45页Mallat算法应用举例Haar小波均方差：0.7991 2.9559 相对误差：0.0050 0.0185 取0比例：80%90%D4小波均方差：0.0277 0.2159 相对误差：0.00017 0.0014取0比例：80%90%FFT变换均方差：0.0012 0.0025 相对误差：7.3410-6 1.5910-5 取0比例：80%90%第11页/共45页多孔算法 应用Mallat算法分析信号时存在的不足第12页/共45页多孔算法二通道Mallat算法 z变换的滤波器形式 第13页/共45页多孔算法二通道Mall
5、at算法z变换的滤波器形式 z变换的等效易位性质 第14页/共45页多孔算法说明说明:1)为什么称为多孔算法（为什么称为多孔算法（atrous algorithm）?2)与二通道与二通道Mallat算法之间的关系算法之间的关系3)其它叫法其它叫法:非抽取小波变换非抽取小波变换(Undecimated Wavelet Transform),平稳小波变换平稳小波变换(Stationary Wavelet Transform)记,则分解算法为：第15页/共45页多孔算法的实现WhileEnd of WhileWhileEnd of While分解算法重构算法注:为的相邻两项之间插入个零后得到的滤波器
6、。在Matlab小波工具箱中对应的函数:swt(),iswt()第16页/共45页小波变换的提升实现 概述 1)能够用于构造第一代小波，用户可根据需要来设计小波基。2)能够改进第一代小波变换算法。3)可用于构造第二代小波。第17页/共45页小波分解与重构的多相位表示 滤波器的多相位表示 滤波器的多相位表示为：第18页/共45页小波分解与重构的多相位表示 滤波器的多相位矩阵 滤波器的多相位矩阵为：和滤波器的对偶多相位矩阵为：和则小波滤波器的完全重构条件等价于：小波分解与重构的多相位表示 第19页/共45页 Laurent多项式的Euclidean算法 =的次数两个Laurent多项式的带余除法可
7、表述为：或两个Laurent多项式的欧几里德算法如下：从开始进行如下的递归运算：则，且是一个Laurent多项式，其中为使的最小数。第20页/共45页 Laurent多项式的Euclidean算法 如果an(z)是一个单项式，则a(z)和b(z)是互素的。注意与多项式带余除法和欧几里德算法的异同之处.第21页/共45页多相位矩阵的因子分解 若，则总存在Laurent多项式和以及非零常数，使得其中。第22页/共45页有限滤波器多相位矩阵的提升分解算法 第1步，使用欧几里德算法得到：第2步，计算=第3步，计算 第23页/共45页基于提升的正向小波变换流程图 第24页/共45页 时小波变换的提升实现
8、算法若分别是序列的z变换，且 第25页/共45页正向小波变换的提升实现算法（预测步骤由奇序列预测偶序列开始）Step 1.懒小波变换 Step 2.提升与对偶提升For i=1 to m Step 3.比例变换 For 第26页/共45页 时逆向小波变换的提升实现算法 Step 1.比例变换 Step 2.提升与对偶提升For i=m to 1Step 3.逆懒小波变换 For 第27页/共45页 时提升算法的实现 第28页/共45页 时正向小波变换的提升实现算法（预测步骤由偶序列预测奇序列开始）Step 1.懒小波变换 Step 2.提升与对偶提升For i=1 to n Step 3.比例
9、变换 For 第29页/共45页两点说明1.本质上我们可以根据它们的任一分解式写出小波变换的提升算法 如果在实际计算时已知的因子分解，设 则 2.尚未完全解决的问题 多相位矩阵分解存在极大的不唯一性，到底存在多少种分解方法？如何求出所有的分解？如何根据具体的应用，选择一种好的分解方法?第30页/共45页（5-3）小波变换的提升实现，正变换逆变换第31页/共45页整数小波变换 提升算法的一大优点是，它存在整数提升算法，即在忽略归一化因子的情况下，将算子 提升步骤中的算子 作用于每个和换的整数提升算法。，即可得到小波变如（5-3）小波变换的整数版本如下：特点：非线性变换第32页/共45页D4小波变
10、换的提升实现 其中第33页/共45页D4小波变换的提升实现 第一种实现方法第二种实现方法，第34页/共45页（9-7）小波变换的提升实现 其中，说明:JPEG2000中C语言实现模块中尺度变换是：；=1.62578613134411 Lena图像实验:1.842 2.938 第35页/共45页（9-7）小波变换的提升实现 第36页/共45页小波变换提升算法的实现技巧 任意长度信号小波变换的提升实现（9-7）小波变换的提升实现如下：第37页/共45页小波变换提升算法的实现技巧 利用少量辅助内存实现多尺度小波变换 必要性:算法过程由以下三步组成：第1步，申请一个大小为 的数组buffer存放高频系
11、数，然后，在原空间中调整信号的低频系数的位置，使变为 第2步，调整 中的高频系数的位置使 变为 第3步，将buffer中暂存的高频系数 调整到 占用的位置，使 变为 第38页/共45页边界处理 对于（5-3）和（9-7）这些具有线性相位的滤波器，采用对称周期延拓则不仅可实现小波变换的完全重构，同时又不增加变换后的数据量。因此，在实现时我们可采用对称周期延拓的方法。第39页/共45页双正交小波变换的对称提升实现 多相位矩阵的对称因子分解 对称提升实现 第40页/共45页多相位矩阵的对称因子分解一个Laurent多项式称为对称的，如果=。记（为非负整数），则对称Laurent多项式都可表示为的形式
12、。若，则存在惟一的Laurent多项式和以及非零常数，使得其中。其中和是对称Laurent多项式.第41页/共45页计算对称提升因子的快速算法 基本思想:根据和理，有效地避免了传统提升因子算法中求解的复杂计算，因而的不同大小关系，分以下两种情况处更加实用。（1）当时记=，=。令=，=，对和应用多项式的欧几里德算法，求出唯一的一组多项式 和一个非零常数，使得 其中，为偶数。第42页/共45页计算对称提升因子的快速算法 由=，求出（）。于是，=和（2）当时，则。第43页/共45页小波变换的对称提升实现 Step 1.懒小波变换 Step 2.提升与对偶提升For i=1 to m Step 3.比例变换 For 第44页/共45页感谢您的观看！第45页/共45页