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1、小波变换的实现技术第1页,共45页,编辑于2022年,星期五Mallat算法算法卷积法实现小波变换在实际中具有广泛的应用。卷积法实现小波变换在实际中具有广泛的应用。实际应用中的边界处理问题:实际应用中的边界处理问题:1.边界延拓方法边界延拓方法 零延拓零延拓 周期延拓周期延拓 周期对称延拓法周期对称延拓法 光滑常数延拓法光滑常数延拓法 第2页,共45页,编辑于2022年,星期五Mallat算法的算法的Matlab实现实现dwt()cA,cD=dwt(X,Lo_D,Hi_D)cA,cD=dwt(X,Lo_D,Hi_D,mode,MODE)X 的长度为的长度为,滤波器的长度为滤波器的长度为对于周期
2、延拓方式,对于周期延拓方式,cA,cD的长度均为的长度均为 对于其他延拓方式,对于其他延拓方式,cA,cD的长度均为的长度均为 idwt()X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R)X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,mode,MODE)对于周期延拓方法,对于周期延拓方法,对于其他延拓方式,对于其他延拓方式,特点特点:1)能够实现重构能够实现重构.2)难以用于数据压缩难以用于数据压缩应用应用第3页,共45页,编辑于2022年,星期五具有延拓功能的二带分析具有延拓功能的二带分析/综合系统综合系统 问题问题:在什么情况下在什么情况下,能够确保完全重构能够确保完全重构?第4页,共45页
3、,编辑于2022年,星期五用小波处理函数/信号的基本步骤 和和已知已知是正交尺度函数与小波是正交尺度函数与小波,则则用小波用小波处处理函数理函数的基本的基本过过程包括程包括:初始化设设信号信号在最高初始分辨率在最高初始分辨率级级下的光滑逼近下的光滑逼近为为 记记,则则有有。其中,。其中,小波分解第5页,共45页,编辑于2022年,星期五用小波处理函数/信号的基本步骤 小波系数处理小波系数处理 小波重构第6页,共45页,编辑于2022年,星期五用小波处理离散信号的基本步骤 其采其采样间样间距距为为,使得使得做小波分解、对小波系数处理以及对处理后的系数进行小波重构等做小波分解、对小波系数处理以及对
4、处理后的系数进行小波重构等 对对说明说明:1)对对做小波分解做小波分解,如何如何?2)若若的采的采样间样间距距为为1,如何如何?第7页,共45页,编辑于2022年,星期五Mallat算法应用举例 将将该该信号离散化信号离散化为为个采个采样值样值,相,相应应的逼近信号的逼近信号记为记为。的的图图形形。用用Haar小波进行分解小波进行分解,画出画出若记若记,而而的三级多分辨逼近信号为的三级多分辨逼近信号为,则容易则容易算出算出。第8页,共45页,编辑于2022年,星期五第9页,共45页,编辑于2022年,星期五第10页,共45页,编辑于2022年,星期五Mallat算法应用举例对同一个离散信号应用
5、不同的小波变换以及对同一个离散信号应用不同的小波变换以及FFT变换进行压缩的处理变换进行压缩的处理效果与分析。效果与分析。已知上例中的离散信号已知上例中的离散信号问题问题:1)用用Haar尺度函数和小波分解信号尺度函数和小波分解信号;2)用用D4尺度函数和小波分解信号尺度函数和小波分解信号;3)用)用FFT变换分解信号。变换分解信号。令绝对值最小的令绝对值最小的80%和和90%系数为系数为0 对信号进行小波压缩,画出相应对信号进行小波压缩,画出相应的重构信号的图形,并求出相应的相对误差。的重构信号的图形,并求出相应的相对误差。对各种变换的效果进行对对各种变换的效果进行对比分析。比分析。第11页
6、,共45页,编辑于2022年,星期五Mallat算法应用举例Haar小波小波均方差:均方差:0.7991 2.9559 相对误差:相对误差:0.0050 0.0185 取0比例:80%90%D4小波小波均方差:均方差:0.0277 0.2159 相对误差:相对误差:0.00017 0.0014取0比例:80%90%FFT变换变换均方差:均方差:0.0012 0.0025 相对误差:相对误差:7.3410-6 1.5910-5 取0比例:80%90%第12页,共45页,编辑于2022年,星期五多孔算法 应用Mallat算法分析信号时存在的不足第13页,共45页,编辑于2022年,星期五多孔算法二
7、通道Mallat算法 z变换的滤波器形式 第14页,共45页,编辑于2022年,星期五多孔算法二通道Mallat算法z变换的滤波器形式 z变换的等效易位性质变换的等效易位性质 第15页,共45页,编辑于2022年,星期五多孔算法说明说明:1)为什么称为多孔算法(为什么称为多孔算法(atrous algorithm)?2)与二通道与二通道Mallat算法之间的关系算法之间的关系3)其它叫法其它叫法:非抽取小波变换非抽取小波变换(Undecimated Wavelet Transform),平稳小波变换平稳小波变换(Stationary Wavelet Transform)记,则分解算法为则分解算
8、法为:第16页,共45页,编辑于2022年,星期五多孔算法的实现WhileEnd of WhileWhileEnd of While分解算法分解算法重构算法重构算法注注:为为的相邻两项之间插入个零后得到的滤波器。在在Matlab小波工具箱中对应的函数小波工具箱中对应的函数:swt(),iswt()第17页,共45页,编辑于2022年,星期五小波变换的提升实现 概述 1)能够用于构造第一代小波,用户可根据需要来设计小波能够用于构造第一代小波,用户可根据需要来设计小波基。基。2)能够改进第一代小波变换算法。能够改进第一代小波变换算法。3)可用于构造第二代小波。可用于构造第二代小波。第18页,共45
9、页,编辑于2022年,星期五小波分解与重构的多相位表示 滤波器的多相位表示滤波器的多相位表示 滤波器的多相位表示为:第19页,共45页,编辑于2022年,星期五小波分解与重构的多相位表示 滤波器的多相位矩阵滤波器的多相位矩阵 滤滤波器波器的多相位矩的多相位矩阵为阵为:和滤滤波器波器的的对对偶多相位矩偶多相位矩阵为阵为:和则小波滤波器的完全重构条件等价于:则小波滤波器的完全重构条件等价于:小波分解与重构的多相位表示小波分解与重构的多相位表示 第20页,共45页,编辑于2022年,星期五 Laurent多项式的多项式的Euclidean算法算法 =的次数的次数两个两个Laurent多项式的多项式的
10、带余除法带余除法可表述为可表述为:或两个两个Laurent多项式的多项式的欧几里德算法欧几里德算法如下:如下:从开始开始进进行如下的行如下的递归递归运算:运算:则,且是一个Laurent多项式,其中为使的最小数。第21页,共45页,编辑于2022年,星期五 Laurent多项式的多项式的Euclidean算法算法 如果如果an(z)是一个单项式,则是一个单项式,则a(z)和和b(z)是互素的。是互素的。注意与多项式带余除法和欧几里德算法的异同之处.第22页,共45页,编辑于2022年,星期五多相位矩阵的因子分解多相位矩阵的因子分解 若,则总存在Laurent多项式和以及非零常数,使得其中。第2
11、3页,共45页,编辑于2022年,星期五有限滤波器多相位矩阵的提升分解算法 第第1步,使用欧几里德算法得到:步,使用欧几里德算法得到:第2步,计算=第第3步,计算步,计算 第24页,共45页,编辑于2022年,星期五基于提升的正向小波变换流程图 第25页,共45页,编辑于2022年,星期五 时小波变换的提升实现算法若分别是序列的z变换,且 第26页,共45页,编辑于2022年,星期五正向小波变换的提升实现算法(预测步骤由奇序列预测偶序列开始)Step 1.懒小波变换 Step 2.提升与对偶提升For i=1 to m Step 3.比例变换 For 第27页,共45页,编辑于2022年,星期
12、五 时逆向小波变换的提升实现算法 Step 1.比例变换 Step 2.提升与对偶提升For i=m to 1Step 3.逆懒小波变换 For 第28页,共45页,编辑于2022年,星期五 时提升算法的实现 第29页,共45页,编辑于2022年,星期五 时正向小波变换的提升实现算法(预测步骤由偶序列预测奇序列开始)Step 1.懒小波变换 Step 2.提升与对偶提升For i=1 to n Step 3.比例变换 For 第30页,共45页,编辑于2022年,星期五两点说明1.本质上我们可以根据它们的任一分解式写出小波变换的提升算法本质上我们可以根据它们的任一分解式写出小波变换的提升算法
13、如果在实际计算时已知的因子分解,设 则 2.尚未完全解决的问题尚未完全解决的问题 多相位矩阵分解存在极大的不唯一性,到底存在多少种分解方法?如何求出多相位矩阵分解存在极大的不唯一性,到底存在多少种分解方法?如何求出所有的分解?如何根据具体的应用,选择一种所有的分解?如何根据具体的应用,选择一种好好的分解方法的分解方法?第31页,共45页,编辑于2022年,星期五(5-3)小波变换的提升实现,正变换正变换逆变换逆变换第32页,共45页,编辑于2022年,星期五整数小波变换 提升算法的一大优点是,它存在整数提升算法,即在提升算法的一大优点是,它存在整数提升算法,即在忽略归一化因子的情况下,将算子忽
14、略归一化因子的情况下,将算子 提升步骤中的算子提升步骤中的算子 作用于每个和和换的整数提升算法。换的整数提升算法。,即可得到小波变即可得到小波变如(如(5-3)小波变换的整数版本如下:)小波变换的整数版本如下:特点特点:非线性变换非线性变换第33页,共45页,编辑于2022年,星期五D4小波变换的提升实现 其中其中第34页,共45页,编辑于2022年,星期五D4小波变换的提升实现 第一种实现方法第一种实现方法第二种实现方法第二种实现方法,第35页,共45页,编辑于2022年,星期五(9-7)小波变换的提升实现 其中,说明说明:JPEG2000中C语言实现模块中尺度变换是:1.230174105
15、58578;=1.62578613134411 Lena图像实验:1.842 2.938 第36页,共45页,编辑于2022年,星期五(9-7)小波变换的提升实现 第37页,共45页,编辑于2022年,星期五小波变换提升算法的实现技巧 任意长度信号小波变换的提升实现任意长度信号小波变换的提升实现(9-7)小波)小波变换变换的提升实现如下:的提升实现如下:第38页,共45页,编辑于2022年,星期五小波变换提升算法的实现技巧 利用少量辅助内存实现多尺度小波变换利用少量辅助内存实现多尺度小波变换 必要性必要性:算法过程由以下三步组成:算法过程由以下三步组成:第1步,申请一个大小为 的数组buffe
16、r存放高频系数,然后,在原空间中调整信号的低频系数的位置,使变为 第2步,调整 中的高频系数的位置使 变为 第3步,将buffer中暂存的高频系数 调整到 占用的位置,使 变为 第39页,共45页,编辑于2022年,星期五边界处理 对于(5-3)和(9-7)这些具有线性相位的滤波器,采用对称周期延拓则不仅可实现小波变换的完全重构,同时又不增加变换后的数据量。因此,在实现时我们可采用对称周期延拓的方法。第40页,共45页,编辑于2022年,星期五双正交小波变换的对称提升实现 多相位矩阵的对称因子分解 对称提升实现 第41页,共45页,编辑于2022年,星期五多相位矩阵的对称因子分解一个一个Lau
17、rent多多项项式式称称为为对对称的称的,如果,如果=。记记(为为非非负负整数),整数),则对则对称称Laurent多多项项式都可表示式都可表示为为的形式。的形式。若若,则则存在惟一的存在惟一的Laurent多多项项式式和和以及非零常数以及非零常数,使得,使得其中。其中其中和和是对称是对称Laurent多项式多项式.第42页,共45页,编辑于2022年,星期五计算对称提升因子的快速算法 基本思想基本思想:根据和理,理,有效地避免了有效地避免了传统传统提升因子算法中求解提升因子算法中求解的复的复杂计杂计算,因而算,因而的不同大小关系,分以下两种情况处的不同大小关系,分以下两种情况处更加实用。更加实用。(1)当时记=,=。令=,=,对和应应用多用多项项式的式的欧几里德算法,欧几里德算法,求出唯一的一组多项式求出唯一的一组多项式 和一个非零常数和一个非零常数,使得,使得 其中,为偶数。第43页,共45页,编辑于2022年,星期五计算对称提升因子的快速算法 由=,求出,求出()。于是,)。于是,=和和(2)当时时,则则。第44页,共45页,编辑于2022年,星期五小波变换的对称提升实现 Step 1.懒小波变换 Step 2.提升与对偶提升For i=1 to m Step 3.比例变换 For 第45页,共45页,编辑于2022年,星期五