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1、平面向量的数量积与运算律平面向量的数量积与运算律物理中功的概念物理中功的概念物理中功的概念物理中功的概念sF 一个物体在力一个物体在力F 的作用下产生位的作用下产生位移移s，那么力那么力F 所做的功应当怎样计所做的功应当怎样计算？算？其中力其中力F 和位移和位移s 是向量，功是数量是向量，功是数量.是是F的方向的方向 与与s的方向的方向 的夹角。的夹角。新课引入新课引入新课引入新课引入第1页/共22页向量的夹角向量的夹角向量的夹角向量的夹角两向量的夹角范围是两向量的夹角范围是 两个非零向量两个非零向量a 和和b，在平面上任取一点在平面上任取一点O，作作 ，,则则叫做向量叫做向量a 和和b 的夹
2、角的夹角OB=bOA=a记作记作当当 ，a 与与b 垂直，垂直，当当 ，a 与与b 同向，同向，当当 ，a 与与b 反向反向AOBOABBabAOOAB第2页/共22页练习一：练习一：练习一：练习一：在在 中，找出下列向量的夹角：中，找出下列向量的夹角：ABC(1)(2)(3)第3页/共22页平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义 已已知知两两个个非非零零向向量量a 和和b，它它们们的的夹夹角角为为 ，我我们们把把数数量量 叫做叫做a 与与b 的数量积（或内积），记作的数量积（或内积），记作a b ，即即规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零
3、向量与任意向量的数量积为0，即即 0提问提问：向量的加、减法的结果是向量还是数量？数乘向量运算向量的加、减法的结果是向量还是数量？数乘向量运算向量的加、减法的结果是向量还是数量？数乘向量运算向量的加、减法的结果是向量还是数量？数乘向量运算呢？向量的数量积运算呢？其正负由什么决定？呢？向量的数量积运算呢？其正负由什么决定？呢？向量的数量积运算呢？其正负由什么决定？呢？向量的数量积运算呢？其正负由什么决定？“”“”不能写成不能写成不能写成不能写成“”“”或者或者或者或者“”“”的的的的形式形式形式形式第4页/共22页练习二：练习二：练习二：练习二：60。CAB60。5824-20D（1）已知）已知
4、|p|=8,|q|=6,p和和q 的夹角是的夹角是 ，求，求p q60。（2）已知）已知 中，中，=5,b=8,C=,求求BC CA第5页/共22页OABab平面向量的数量积的几何意义平面向量的数量积的几何意义平面向量的数量积的几何意义平面向量的数量积的几何意义，过点，过点B作作垂直于直线垂直于直线OA，垂足为垂足为 ，则，则|b|cos平面向量的数量积的几何意义是平面向量的数量积的几何意义是:a 的长度的长度|a|与与 b 在在 a 的方向的方向 上的上的数量数量|b|cos 的乘积的乘积 ，|b|cos叫向量叫向量 b 在在 a 方向上的方向上的正射影、数量正射影、数量第6页/共22页练习
5、三：练习三：练习三：练习三：1、已知、已知 ，为单位向量，当它们的夹角为为单位向量，当它们的夹角为 时，时，求求 在在 方向上的方向上的数量数量及及 ；2、已知 ，与 的交角为 ，则；4、已知 ，且 ，则 与 的夹角为 ；3、若 ，共线，则.（1 1）e a=a e=|a|cos（2 2）ab a b=0 (判断两向量垂直的依据判断两向量垂直的依据)（3 3）当当a 与与b b 同向时，同向时，a b=|a|b|，当当a 与与b 反向反向时，时，a b=-|a|b|特别地特别地403或或3(a /b a b=|a|b|)第7页/共22页平面向量数量积的性质：平面向量数量积的性质：平面向量数量积
6、的性质：平面向量数量积的性质：（1 1）e a=a e=|a|cos（2 2）ab a b=0 (判断两向量垂直的依据判断两向量垂直的依据)（3 3）当当a 与与b b 同向时，同向时，a b=|a|b|，当当a 与与b 反向反向时，时，a b=-|a|b|特别地特别地(a /b a b=|a|b|)第8页/共22页例例2 已知已知 中，中，CB=a,CA=b,a b0,ABCD解：解：设 与 的夹角为 则可作图如右：例题讲解：例题讲解：例题讲解：例题讲解：第9页/共22页练习四：练习四：练习四：练习四：（1）在四边形）在四边形ABCD中，中，AB BC=0，且，且AB=DC则四边形则四边形A
7、BCD是（是（）A 梯形梯形 B 菱形菱形 C 矩形矩形 D 正方形正方形（3）在）在 中，已知中，已知|AB|=|AC|=1，且，且AB AC=，则这个三角形的形状是，则这个三角形的形状是C1等边三角形等边三角形（2）已知向量）已知向量 a,b 共线，且共线，且|a|=2|b|则则a与与b间的夹角的余弦值是间的夹角的余弦值是 。第10页/共22页总结提炼总结提炼1、向量的数量积的物理模型是力的做功；、向量的数量积的物理模型是力的做功；4、两向量的夹角范围是、两向量的夹角范围是5、掌握五条重要性质、掌握五条重要性质：平面向量的数量积的几何意义是平面向量的数量积的几何意义是:a 的长度的长度|a
8、|与与 b 在在 a 的方向的方向 上的上的数量数量|b|cos 的乘积的乘积2、a b的结果是一个实数，它是标量不是向量。的结果是一个实数，它是标量不是向量。3、利用、利用 a b=|a|b|cos 可求两向量的夹角，可求两向量的夹角，尤其尤其 是判定垂直。是判定垂直。第11页/共22页演练反馈演练反馈演练反馈演练反馈判断下列各题是否正确：判断下列各题是否正确：（2）、若 ，则（3）、若 ，则(1)、若 ，则任一向量 ，有（4）、第12页/共22页ABC1AB1O第13页/共22页 在在实实数数中中，有有(a b)c=a(b c)，向向量中是否也有量中是否也有?为什么为什么?答：没有答：没有
9、.因为右端是与因为右端是与 共线的向量，而共线的向量，而左端是与左端是与 共线的向量，但一般共线的向量，但一般 与与 不共线不共线所以，向量的数量积不满足结合律所以，向量的数量积不满足结合律第14页/共22页所以，向量的数量积不满足消去律所以，向量的数量积不满足消去律 在在实实数数中中，若若a b=a c且且a 0，则则b=c向向量量中中是是否否也也有有“若若 ，则则 ”成立呢成立呢?为什么为什么?OABC第15页/共22页例例1 求证：求证：证明：证明：第16页/共22页(3)与与 所成角的余弦值所成角的余弦值 例例2 已知已知|=6，|=4，与与 的夹角为的夹角为60，求：，求：解：解：(
10、1)=72.(2)(2)=76.第17页/共22页 注注：与与多多项项式式求求值值一一样样，先先化化简简，再代入求值再代入求值(3)第18页/共22页 例例3 已知已知|=3,|=4,且且 与与 不共线不共线,当且仅当当且仅当k为何值时为何值时,向量向量 +k与与 k 互相垂直互相垂直?解：解：第19页/共22页 1.小结：小结：2.向向量量运运算算不不能能照照搬搬实实数数运运算算律律，交换律、数乘结合律、分配率成立；交换律、数乘结合律、分配率成立；向量结合律、消去律不成立。向量结合律、消去律不成立。3.向向量量的的主主要要应应用用是是解解决决长长度度和和夹夹角问题。角问题。第20页/共22页 1.已知已知 ，为非零向量，为非零向量，+3 与与7 5 互相垂直，互相垂直，4 与与7 2 互相垂直，求互相垂直，求 与与 的夹角的夹角巩固练习巩固练习：2.求求证证：直直径径所所对对的的圆圆周周角角为为直角直角60 第21页/共22页