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1、高数 二重积分概念第1页，本讲稿共54页例例3.3.解解:设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x,y m,则高为则高为则水箱所用材料的面积为则水箱所用材料的面积为令令得驻点得驻点某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省才能使用料最省?因此可因此可断定此唯一驻点就是最小值点断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为即当长、宽均为高为高为时时,水箱所用材料最省水箱所用材料最省.第2页，本讲稿共54页例例3.3
2、.某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省才能使用料最省?无条件极值无条件极值:对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制第3页，本讲稿共54页三、条件极值三、条件极值条件极值的求法条件极值的求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制例如例如,转转化化第4页，本讲稿共54页方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法如方法 1 所述所述,则问题等价于一元函数
3、则问题等价于一元函数可确定隐函数可确定隐函数的极值问题的极值问题,极值点必满足极值点必满足设设 记例如例如,故 故有故有第5页，本讲稿共54页引入辅助函数引入辅助函数辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日称为拉格朗日(Lagrange)函数函数.利用拉格利用拉格极值点必满足极值点必满足则极值点满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.第6页，本讲稿共54页推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形约束条件的情形.设设解方程组解方程组可得到条件极值的可疑点可得到条件极值的可疑点.例如例如,求函
4、数求函数下的极值下的极值.在条件在条件第7页，本讲稿共54页例例5.要设计一个容量为要设计一个容量为则问题为求则问题为求x,y,令令解方程组解方程组解解:设设 x,y,z 分别表示长、宽、高分别表示长、宽、高,下水箱表面积下水箱表面积最小最小.z 使在条件使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱的长方体开口水箱,试问试问 第8页，本讲稿共54页得唯一驻点得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省倍时，所用材料最省.因此因此,当高为当高为第9页，本讲稿共54页例例
5、6：已知平面上两定点：已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆试在椭圆圆周上求一点圆周上求一点 C,使使ABC 面积面积 S最大最大.解答提示解答提示:设设 C 点坐标为点坐标为(x,y),则则 第10页，本讲稿共54页设拉格朗日函数设拉格朗日函数解方程组解方程组得驻点得驻点对应面积对应面积而而比较可知比较可知,点点 C 与与 E 重合时重合时,三角形三角形面积最大面积最大.第11页，本讲稿共54页3.求旋转抛物面求旋转抛物面与平面与平面之间的最短距离之间的最短距离.解：解：设设为抛物面为抛物面上任一点，上任一点，则则 P 的距离为的距离为问题归结为问题归结为约束条件约束条件:目
6、标函数目标函数:作拉氏函数作拉氏函数到平面到平面第12页，本讲稿共54页令令解此方程组得唯一驻点解此方程组得唯一驻点由实际意义最小值存在由实际意义最小值存在,故故第13页，本讲稿共54页1.求半径为求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者的圆的内接三角形中面积最大者.解解:设内接三角形各边所对的圆心角为设内接三角形各边所对的圆心角为 x,y,z,则则它们所对应的三个三角形面积分别为它们所对应的三个三角形面积分别为设拉氏函数设拉氏函数解方程组解方程组,得得故圆内接正三角形面积最大故圆内接正三角形面积最大,最大面积为最大面积为 第14页，本讲稿共54页第九章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分
7、学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 第15页，本讲稿共54页解法解法:类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体给定曲顶柱体:底：底：xoy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶:连续曲面连续曲面侧面：侧面：以以 D 的边界为准线的边界为准线,母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面求其体积求其体积.“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求求 极限极限”二重积分的概念与性质 第一节第16页，本讲稿共54页1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D为为 n 个区域个区域以它们为底
8、把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为 n 个个2)“常代变常代变”在每个在每个3)3)“近似和近似和”则则中中任取任取一点一点小曲顶柱体小曲顶柱体第17页，本讲稿共54页4)4)“取极限取极限”令第18页，本讲稿共54页2.平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片有一个平面薄片,在在 xoy 平面上占有区域平面上占有区域 D,计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M.度为度为设设D 的面积为的面积为 ,则则若若非常数非常数,仍可用仍可用其面密其面密“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求求 极限极限”解决解决.1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D 为为 n 个小区域个小区
9、域相应把薄片也分为小区域相应把薄片也分为小区域.第19页，本讲稿共54页2)“常代变常代变”中中任取任取一点一点3)“近似和近似和”4)“取极限取极限”则第 k 小块的质量第20页，本讲稿共54页两个问题的两个问题的共性共性：(1)解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同所求量的结构式相同“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,取极限取极限”曲顶柱体体积曲顶柱体体积:平面薄片的质量平面薄片的质量:第21页，本讲稿共54页二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数若存在一个常数 I,使使可积可积,
10、在在D上的上的二重积分二重积分.积分和积分和积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素记作记作是定义在有界区域是定义在有界区域 D上的有界函数上的有界函数,第22页，本讲稿共54页如果如果 在在D上可积上可积,与划分与划分D的分割方法无关的分割方法无关也常也常二重积分记作二重积分记作这时这时分区域分区域D,因此面积元素因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划可用平行坐标轴的直线来划 记作记作曲顶柱体体积曲顶柱体体积:平面薄板的质量平面薄板的质量:对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：第23页，本讲稿共54页（3）定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且定积分与二重积分
11、都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数为定义在平面区域上的二元函数二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值第24页，本讲稿共54页三、二重积分的
12、性质三、二重积分的性质(k 为常数)为D 的面积,则 第25页，本讲稿共54页特别特别,由于由于则则5.（比较定理）若在（比较定理）若在D上上6.（估值定理）设（估值定理）设D 的面积为的面积为 ,则有则有第26页，本讲稿共54页7.(二重积分的中值定理二重积分的中值定理)证证:由性质由性质6 可知可知,由连续函数介值定理由连续函数介值定理,至少有一点至少有一点在闭区域在闭区域D上上 为为D 的面积的面积,则至少存在一点则至少存在一点使使使使连续连续,因此因此第27页，本讲稿共54页例例1.比较下列积分的大小比较下列积分的大小:其中其中解解:积分域积分域 D 的边界为圆周的边界为圆周它与它与
13、x 轴交于点轴交于点(1,0),而域而域 D 位位从而从而于直线的上方于直线的上方,故在故在 D 上上 第28页，本讲稿共54页例例3.估计下列积分之值解解:D 的面积为由于积分性质5即:1.96 I 2D第29页，本讲稿共54页对称性：对称性：1 设设D 位于位于 x 轴上方的部分为轴上方的部分为D1,2、当区域关于、当区域关于 y 轴对称轴对称,函数关于变量函数关于变量 x 有奇偶性时有奇偶性时,仍仍在在 D 上上在闭区域上连续在闭区域上连续,域域D 关于关于x 轴对称轴对称,则则则则有类似结果有类似结果.在第一象限部分在第一象限部分,则有则有第30页，本讲稿共54页3、当区域关于、当区域
14、关于 原点对称原点对称,函数关于变量函数关于变量 x、y 同时同时有奇偶性有奇偶性时时,仍仍有类似结果有类似结果.4、当区域关于、当区域关于y=x对称对称,则则第31页，本讲稿共54页四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的第32页，本讲稿共54页同样同样,曲顶柱的底为曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算则其体积可按如下两次积分计算第33页，本讲稿共54页第二节二重积分的计算法 第九章 第34页，本讲稿共54页一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分且在且在D上连续时上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知由曲顶柱体体积的
15、计算可知,若若D为为 X 型区域型区域 则若D为Y 型区域则第35页，本讲稿共54页例例1.计算计算其中其中D 是直线是直线 y1,x2,及及yx 所围的闭区域所围的闭区域.解法解法1.将将D看作看作X型区域型区域,则则解法解法2.将将D看作看作Y型区域型区域,则则作草图、选择类型、确定上下限-后积先定限、限内化条线后积先定限、限内化条线第37页，本讲稿共54页例例2.计算计算其中其中D 是抛物线是抛物线所围成的闭区域所围成的闭区域.解解1:及直线及直线1第38页，本讲稿共54页例例2.计算计算其中其中D 是抛物线是抛物线所围成的闭区域所围成的闭区域.解解2:为计算简便为计算简便,后对后对 y
16、 积分积分,及直线及直线则则 第39页，本讲稿共54页例例3.计算计算其中其中D 是直线是直线 所围成的闭区域所围成的闭区域.解解:由被积函数可知由被积函数可知,先对先对 x 积分不行积分不行,第40页，本讲稿共54页说明说明:选择积分序的原则：选择积分序的原则：先积分的容易，并能为后积分创造条件；积分域的划分，块数越少越好第41页，本讲稿共54页例例4.交换下列积分顺序交换下列积分顺序解解:积分域由两部分组成积分域由两部分组成:视为视为Y型区域型区域,则则第42页，本讲稿共54页例例5.计算计算其中其中D 由由所围成所围成.解解:令令(如图所示如图所示)显然显然,第43页，本讲稿共54页二、
17、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分则除包含边界点的小区域外则除包含边界点的小区域外,小区域的面积小区域的面积及射线及射线 =常数常数,分划区域分划区域D 为为在极坐标系下在极坐标系下,用同心圆用同心圆 =常数常数第44页，本讲稿共54页对应有对应有在在内取点内取点即第45页，本讲稿共54页则1、极点在边界外、极点在边界外注意：积分域的边界曲线用极坐标表示注意：积分域的边界曲线用极坐标表示如何确定上下限？如何确定上下限？第46页，本讲稿共54页2、极点在边界上、极点在边界上(1)(2)第47页，本讲稿共54页3、极点在边界内、极点在边界内第48页，本讲稿共54页何时选用极坐标？何时
18、选用极坐标？积分域积分域D D形状：圆域、环域、扇域、环扇域形状：圆域、环域、扇域、环扇域被积函数形式：被积函数形式：第49页，本讲稿共54页例例6.计算计算其中其中解解:在极坐标系下在极坐标系下原式原式的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数,故本题无法用直角故本题无法用直角由于由于故故坐标计算坐标计算.第50页，本讲稿共54页注注:利用例利用例6可得到一个可得到一个反常积分公式反常积分公式Rs1s2第51页，本讲稿共54页例例7.求球体求球体被圆柱面被圆柱面所截得的所截得的(含在柱面内的含在柱面内的)立体的体积立体的体积.解解:由对称性可知由对称性可知o第52页，本讲稿共54页例例8:其中其中D 为由圆为由圆所围成的所围成的及直线及直线解：解：平面闭区域平面闭区域.第53页，本讲稿共54页例例9.交换积分顺序交换积分顺序提示提示:积分域如图积分域如图第54页，本讲稿共54页