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1、第十二讲第十二讲 二重积分二重积分 本讲出题在本讲出题在7分分13分之间，二重积分的计算是建分之间，二重积分的计算是建立在定积分计算基础上的，关键是如何准确转化立在定积分计算基础上的，关键是如何准确转化为累次积分，特别是计算题，一定按步骤完成。为累次积分，特别是计算题，一定按步骤完成。 本讲重点：本讲重点：（1）二重积分性质和几何意义、对称）二重积分性质和几何意义、对称区间上性质的应用。（区间上性质的应用。（2）直角坐标系下二重积分）直角坐标系下二重积分的计算。（的计算。（3）极坐标系下二重积分的计算。（）极坐标系下二重积分的计算。（4）直角坐标系下两种积分次序的交换。直角坐标系下两种积分次序
2、的交换。 本讲难点：准确画出积分区域，并确定累次积分本讲难点：准确画出积分区域，并确定累次积分的内外层积分限的内外层积分限 。考试点津：2011年年12.112.1 二重积分的概念与计算二重积分的概念与计算12.1.1 12.1.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质12.1.2 12.1.2 在直角坐标系下计算二重积分在直角坐标系下计算二重积分12.1.3 12.1.3 在极坐标系下计算二重积分在极坐标系下计算二重积分12.1.4 12.1.4 内容小结内容小结 12.1.1 12.1.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 1 1引例：曲顶柱体的体积引例：曲顶柱体的体积 曲顶柱
3、体：是指底是曲顶柱体：是指底是xOy平面上的闭区域平面上的闭区域 D，侧面是，侧面是以以 D 的边界曲线为准线，而母线的边界曲线为准线，而母线 平行于平行于z轴的柱面，它的顶是曲面轴的柱面，它的顶是曲面 ( , )zf x y，称这个立体为曲顶柱，称这个立体为曲顶柱 体当体当( , )0f x y 时该曲顶柱体的时该曲顶柱体的 体积如图体积如图 12.1- -1 2 2二重积分的概念二重积分的概念 定义定义 设设( , )f x y是有界闭区域是有界闭区域 D 上的有界函数将闭上的有界函数将闭区域区域 D 任意分成任意分成 n 个小闭区域个小闭区域 1，2，n， 其中其中i表示第表示第 i 个
4、小闭区域， 也表示它的面积 在每个个小闭区域， 也表示它的面积 在每个i上任取一点上任取一点( ,)ii ，作乘积，作乘积 ( ,)iiif （i=1, ,2, ,，n） 并作和并作和1( ,)niiiif 如果当各小闭区域的直径中的最大如果当各小闭区域的直径中的最大值值趋于零时，这和式的极限存在，则称此极限值为函数趋于零时，这和式的极限存在，则称此极限值为函数( , )f x y在闭区域在闭区域 D 上的二重积分，记作上的二重积分，记作( , )dDf x y，即，即 01( , )dlim( ,)niiiiDf x yf 性性质质 1 常常数数因因子子可可提提到到积积分分号号外外面面，即即
5、 ( , )d( , )dDDkf x ykf x y 性性质质 2 函函数数和和与与差差的的积积分分等等于于各各函函数数积积分分的的和和与与差差，即即 ( , )( , )d( , )d( , )dDDDf x yg x yf x yg x y 性性质质 3 若若积积分分区区域域 D 分分割割为为1D与与2D两两部部分分，则则有有 12( , )d( , )d( , )dDDDf x yf x yf x y 性性质质 4 (中中值值定定理理)设设( , )f x y在在有有界界闭闭区区域域 D 上上连连续续， 是是区区域域 D 的的面面积积，则则在在 D 上上至至少少有有一一点点() 使使得
6、得下下式式成成立立 ( , )d( , )dDf x yf 3 3二重积分的性质二重积分的性质 12.1.2 12.1.2 在直角坐标系下计算二重积分在直角坐标系下计算二重积分 在直角坐标系中， 采用平行于在直角坐标系中， 采用平行于 x 轴和轴和 y 轴的直线把区轴的直线把区域域D分成许多小矩形，于是面积元素分成许多小矩形，于是面积元素dd dx y，二重积，二重积分可以写成分可以写成 ( , )d dDf x yx y 化二重积分为二次积分的方法化二重积分为二次积分的方法: : 1.1. 设设D可表示为不等式可表示为不等式( (如图如图 1212.1.1- -2 2) ) 12( )( )
7、y xyyx，axb 则则 21( )( )( , )d dd( , )dyxby xaDf x yx yxf x yy(1) y=y2(x) y x b x a o D y=y1(x)图图12.1-2图图1212.1-3.1-3说说明明：公公式式(1)就就是是二二重重积积分分化化为为二二次次定定积积分分的的计计算算方方法法，该该方方法法也也称称为为累累次次积积分分法法计计算算第第一一次次积积分分时时，视视x 为为常常量量，对对变变量量 y 由由下下限限1( )y x积积到到上上限限2( )yx，这这时时计计算算结结果果是是一一个个关关于于 x 的的函函数数，计计算算第第二二次次积积分分时时，
8、x 是是积积分分变变量量，积积分分限限是是常常数数，计计算算结结果果是是一一个个定定值值 2 2设设积积分分区区域域D可可表表示示为为不不等等式式( (如如图图 1 12 2. .1 1- -3 3) ) 12( )( )x yxxy，cyd， 则则 ( , )d dDf x yx y21( )( )d( , )ddxycxyyf x yx (2) 注注意意：化化二二重重积积分分为为累累次次积积分分时时，需需注注意意以以下下几几点点： （）累累次次积积分分的的下下限限必必须须小小于于上上限限； （）用用公公式式(1)或或(2)时时，要要求求 D 分分别别满满足足：平平行行于于y轴轴或或x轴轴的
9、的直直线线与与D的的边边界界相相交交不不多多于于两两点点, 如如果果D不不满满足足这这个个条条件件，则则需需把把 D 分分割割成成几几块块然然后后分分块块计计算算； （） 正正确确选选择择积积分分次次序序 （）外外层层积积分分的的上上、下下限限必必须须是是常常数数若若内内层层是是关关于于x的的积积分分，其其上上、下下限限或或为为常常数数，或或是是含含y的的表表示示式式，反反之之也也一一样样 例例 1 计计算算22d dDxyx y，其其中中 D 由由抛抛物物线线2yx及及直直线线2yx所所围围成成 解解 作作 D 的的图图形形(如如图图 12.1-) 选选择择先先对对x积积分分，这这时时 D
10、的的表表示示式式为为 22,12,yxyy 从从而而 22d dDxyx y22221d2dyyyxyx 222221()|dyyyxy 243261(44)dyyyyy yx2-10DA(1,-1)B(4,2)x=y+2x=y2图12.1-4257431461553735yyyy如图如图 12.1-，如果，如果r和和很小，很小， 小区域近似于以小区域近似于以r和和r为边为边 的矩形，所以在极坐标系下的的矩形，所以在极坐标系下的 面积元素为面积元素为 dd dr r， 再分别用再分别用cosxr，sinyy 代换被积函数代换被积函数( , )f x y中的中的 x，y，这样，这样 二重积分在极
11、坐标系下表达式为二重积分在极坐标系下表达式为 ( , )d( cos , sin ) d dDDf x yf rrr r 极极坐标系下二重积分计算坐标系下二重积分计算： 实际计算时，与直角坐标系实际计算时，与直角坐标系 下情况类似，还是化成累次积分下情况类似，还是化成累次积分 来进行来进行.设设D(如图如图 12.1-) 12.1.3 12.1.3 在极坐标系下计算二重积分在极坐标系下计算二重积分 位位于于两两条条射射线线和和之之间间，D的的两两段段边边界界线线极极坐坐标标方方程程分分别别为为 1( )rr，2( )rr， 则则二二重重积积分分就就可可化化为为如如下下的的累累次次积积分分 (
12、, )dDf x y21( )( )d( cos , sin ) drrf rrr r, 如如果果极极点点在在内内部部(如如图图 12.1-)，则则有有 2( )00( , )dd( cos , sin ) drDf x yf rrr r 例例 2 计计算算(如如图图 12.1-)中中的的所所示示区区域域 D 上上函函数数223/21( , )()f x yxy的的积积分分 解解 在极坐标系下，区域在极坐标系下，区域 D 可表示为可表示为 12,04r ， 于是得到于是得到 4222 3 20133111 ()dd dddDDxyr rr rrr 2 4011d8rrr 说明：一般说来，当积分区域为圆形、扇形、环形区说明：一般说来，当积分区域为圆形、扇形、环形区域，域， 或或被积函数中含有被积函数中含有22()axy项时， 采用极坐标计算往项时， 采用极坐标计算往往比较简便往比较简便 DB2011年年