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1、会计学1工学统计学抽样分布工学统计学抽样分布第第 6 章章 统计量及其统计量及其抽样分布抽样分布qq6.1 统计量统计量 qq6.2 关于分布的几个概念关于分布的几个概念qq6.3 由正态分布导出的几个由正态分布导出的几个重要分布重要分布qq6.4样本均值的分布与中心样本均值的分布与中心极限定理极限定理qq6.5样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布qq6.6两个样本平均值之差的两个样本平均值之差的分布分布qq6.7关于样本方差的分布关于样本方差的分布*第1页/共51页6.16.1 统计量统计量一、概念一、概念二、常用统计量二、常用统计量三、次序统计量三、次序统计量*四、充分统计量四、充分统计量
2、*第2页/共51页1.1.总体中各元素的观察值所形成总体中各元素的观察值所形成的分布的分布 2.2.分布通常是未知的分布通常是未知的3.3.可以假定它服从某种分布可以假定它服从某种分布 总体分布总体分布(population distributionpopulation distribution)总总体体第3页/共51页1.1.一个样本中各观察值的分布一个样本中各观察值的分布 2.2.也称经验分布也称经验分布 3.3.当样本容量当样本容量n逐渐增大时，样逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布本分布逐渐接近总体的分布 样本分布样本分布(sample distributionsample dist
3、ribution)样样本本第4页/共51页n n统计量统计量n n从总体上抽取样本后，利用样本信息从总体上抽取样本后，利用样本信息从总体上抽取样本后，利用样本信息从总体上抽取样本后，利用样本信息构造不同的样本函数，而此函数不依构造不同的样本函数，而此函数不依构造不同的样本函数，而此函数不依构造不同的样本函数，而此函数不依赖于任何未知参数（通过样本即可得赖于任何未知参数（通过样本即可得赖于任何未知参数（通过样本即可得赖于任何未知参数（通过样本即可得出）出）出）出）n n样本函数称为统计量样本函数称为统计量样本函数称为统计量样本函数称为统计量第5页/共51页n n例：例：例：例：X1X1、X2Xn
4、X2Xn是从某总体是从某总体是从某总体是从某总体X X中抽取的一中抽取的一中抽取的一中抽取的一个样本，则个样本，则个样本，则个样本，则n n样本均值样本均值样本均值样本均值n n样本方差样本方差样本方差样本方差n n则，都是统计量则，都是统计量则，都是统计量则，都是统计量第6页/共51页常用统计量常用统计量n矩：总体或样本的信息（如期望、方差）；阶：次方矩：总体或样本的信息（如期望、方差）；阶：次方n常用统计量常用统计量第7页/共51页次序统计量次序统计量n nX1、X2Xn是从某总体是从某总体X中抽取的中抽取的一个样本，则一个样本，则n nX(1)、X(2)X(n)按从小到大顺序排按从小到大
5、顺序排列，则称为次序统计量列，则称为次序统计量n nR(n)=X(n)X(1)，称为极差，称为极差第8页/共51页学习目标学习目标n n充分统计量：不损失样本信息的统充分统计量：不损失样本信息的统计量计量n n例例6.2第9页/共51页6.26.2 关于分布的几个概念关于分布的几个概念一、抽样分布一、抽样分布二、渐近分布二、渐近分布三、随机模拟获得的近似分布三、随机模拟获得的近似分布第10页/共51页1.1.样本统计量的概率分布样本统计量的概率分布样本统计量的概率分布样本统计量的概率分布2.2.是一种理论概率分布是一种理论概率分布是一种理论概率分布是一种理论概率分布3.3.随机变量是随机变量是
6、随机变量是随机变量是 样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量n n样本均值样本均值样本均值样本均值,样本比例，样本方差等样本比例，样本方差等样本比例，样本方差等样本比例，样本方差等4.4.结果来自结果来自结果来自结果来自容量相同容量相同容量相同容量相同的的的的所有所有所有所有可能样本可能样本可能样本可能样本5.5.提供了样本统计量的信息，是进行推断的理提供了样本统计量的信息，是进行推断的理提供了样本统计量的信息，是进行推断的理提供了样本统计量的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据论基础，也是抽样推断科学性的重要依据论基础，也是抽样推断科学性的重要依据论基础，也是抽样推断科
7、学性的重要依据 抽样分布抽样分布(sampling distributionsampling distribution)第11页/共51页n在正态总体下，可以得到精确的抽样分布（能导在正态总体下，可以得到精确的抽样分布（能导出统计量的数学表达式）出统计量的数学表达式）n三大分布：三大分布：第12页/共51页n渐近分布渐近分布nn趋向于无穷大时，样本统计量的极限分布，如趋向于无穷大时，样本统计量的极限分布，如q随机模拟n一次样本容量为n,这样的样本抽取N次，看其统计量（如均值）的分布形态。第13页/共51页6.3由正态分布导出的由正态分布导出的几个重要分布几个重要分布第14页/共51页n n设随
8、机变量相互独立，且服从标准正设随机变量相互独立，且服从标准正设随机变量相互独立，且服从标准正设随机变量相互独立，且服从标准正态分布，则它们的平方和服从自由度为态分布，则它们的平方和服从自由度为态分布，则它们的平方和服从自由度为态分布，则它们的平方和服从自由度为n n的的的的第15页/共51页n n特征特征特征特征n n数学期望数学期望数学期望数学期望E E（）n nn n方差方差方差方差DD（）2n2nn n具有可加性具有可加性具有可加性具有可加性n n随着随着随着随着n n增大，趋向于正态分布增大，趋向于正态分布增大，趋向于正态分布增大，趋向于正态分布n n当当当当n n很大时（很大时（很大
9、时（很大时（4545），服从），服从），服从），服从NN（）（）（）（）第16页/共51页n nt t分布分布分布分布n nXN(0,1),YXN(0,1),Y 2 2(n)(n)，则，则，则，则 服从自由度为服从自由度为服从自由度为服从自由度为n n的的的的t t分布分布分布分布当n30时，与正态分布非常相似第17页/共51页n nF F分布分布分布分布n nY Y，Z Z相互独立，分别服从自由度为相互独立，分别服从自由度为相互独立，分别服从自由度为相互独立，分别服从自由度为mm和和和和n n的的的的 2 2分布，则随机分布，则随机分布，则随机分布，则随机变量变量变量变量X X的如下表达式的
10、如下表达式的如下表达式的如下表达式n n称为称为称为称为X X服从第一自由度为服从第一自由度为服从第一自由度为服从第一自由度为m,m,第二自由度为第二自由度为第二自由度为第二自由度为n n的的的的F F分布，记作分布，记作分布，记作分布，记作n nF F（m,nm,n）第18页/共51页n n总结总结总结总结n n标准正态分布的平方为标准正态分布的平方为标准正态分布的平方为标准正态分布的平方为 2 2分布分布分布分布n n标准正态分布与标准正态分布与标准正态分布与标准正态分布与 2 2分布（平方根除以分布（平方根除以分布（平方根除以分布（平方根除以n n）的比）的比）的比）的比为为为为t t分
11、布分布分布分布n n两个两个两个两个 2 2分布（除以各自的自由度）的比为分布（除以各自的自由度）的比为分布（除以各自的自由度）的比为分布（除以各自的自由度）的比为F F分分分分布布布布第19页/共51页第四节样本均值的分第四节样本均值的分布与中心定理布与中心定理第20页/共51页1.1.容量相同的所有可能样本的样容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布本均值的概率分布2.2.一种理论概率分布一种理论概率分布3.3.进行推断总体总体均值进行推断总体总体均值 的理的理论基础论基础样本均值的抽样分样本均值的抽样分布布第21页/共51页样本均值的抽样分样本均值的抽样分布布(例题分析例题分析例题分析
12、例题分析)【例例】设设一一个个总总体体，含含有有4 4个个元元素素(个个体体)，即即总总体体单单位位数数N N=4 4。4 4 个个个个体体分分别别为为x x1 1=1=1、x x2 2=2=2、x x3 3=3=3 、x x4 4=4=4 。总体的均值、方差及分布如下总体的均值、方差及分布如下总体分布总体分布1 14 42 23 30 0.1.1.2 2.3.3均值和方差均值和方差第22页/共51页样本均值的抽样分样本均值的抽样分布布(例题分析例题分析例题分析例题分析)现从总体中抽取现从总体中抽取n n2 2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有4 42
13、2=16=16个样本。所有样本的结果为个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的所有可能的n n=2 =2 的样本（共的样本（共1616个）个）第23页/共51页样本均值的抽样分样本均值的抽样分布布(例题分析例题分析例题分析例题分析)计计算算出出各各样样本本的的均均值值，如如下下表表。并并给给出出样样本本均均值的抽样分布值的抽样分布X X样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布1.01.00 0.1.1.2.2.3.3P P(X X)1.51.53.03.04.04.03
14、.53.52.02.02.52.53,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的所有可能的n n=2 =2 的样本（共的样本（共1616个）个）第24页/共51页样本均值的分布与总体分布的比较样本均值的分布与总体分布的比较样本均值的分布与总体分布的比较样本均值的分布与总体分布的比较 (例题分析例题分析例题分析例题分析)=2.5=2.5 2 2=1.25=1.25总体分布总体分布1 14 42 23 30 0.1.1.2.2.3.3抽样分布抽样分布P P(X X)1.01.00 0.1.1.2.2
15、.3.31.51.53.03.04.04.03.53.52.02.02.52.5X X第25页/共51页样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布与中心极限定理与中心极限定理 =50=50=50 =10=10=10X XX总体分布总体分布总体分布n n=4=4抽样分布抽样分布抽样分布Xn n=16=16当总体服从正态分布当总体服从正态分布N N(,22)时，来自该总体的所有容量为时，来自该总体的所有容量为n n的样本的均值的样本的均值 X X也服从正态分布，也服从正态分布，X X 的数学期望为的数学期望为，方差为，方差为 22/n n。即。即 X XN N(,22/n n)第26页/共51页中心极限
16、定理中心极限定理(central limit theoremcentral limit theorem)当样本容量足够当样本容量足够大时大时(n n 30)30)，样本均值的抽样样本均值的抽样分布逐渐趋于正分布逐渐趋于正态分布态分布中中心心极极限限定定理理：设设从从均均值值为为，方方差差为为 2 2的的一一个个任任意意总总体体（可可能能不不是是正正态态分分布布）中中抽抽取取容容量量为为n n的的样样本本，当当n n充充分分大大时时，样样本本均均值值的的抽抽样样分分布布近近似似服服从从均均值值为为、方方差为差为 2 2/n n的正态分布的正态分布一个任意分一个任意分布的总体布的总体X X第27页
17、/共51页中心极限定理中心极限定理(central limit theoremcentral limit theorem)的分布趋于正态分布的过程的分布趋于正态分布的过程第28页/共51页抽样分布与总体分布的关系抽样分布与总体分布的关系总体分布总体分布正态分布非正态分布大样本大样本小样本小样本正态分布正态分布非正态分布第29页/共51页1.1.样本均值的数学期望样本均值的数学期望2.2.样本均值的方差样本均值的方差样本均值的抽样分样本均值的抽样分布布(数学期望与方差数学期望与方差数学期望与方差数学期望与方差)第30页/共51页接上例接上例比较及结论：比较及结论：1.1.样本均值的均值样本均值的
18、均值(数学期望数学期望)等于总体均值等于总体均值 2.2.样本均值的方差等于总体方差的样本均值的方差等于总体方差的1/1/n n第31页/共51页n n例例例例6.46.4：从均值：从均值：从均值：从均值1010，标准差，标准差，标准差，标准差0.60.6的总体中随机选取容量为的总体中随机选取容量为的总体中随机选取容量为的总体中随机选取容量为3636的样本。要求：的样本。要求：的样本。要求：的样本。要求：n n计算样本均值小于计算样本均值小于计算样本均值小于计算样本均值小于9.99.9的近似概率的近似概率的近似概率的近似概率n n计算样本均值超过计算样本均值超过计算样本均值超过计算样本均值超过
19、9.99.9的近似概率的近似概率的近似概率的近似概率n n在总体均值在总体均值在总体均值在总体均值0.10.1范围内的近似概率范围内的近似概率范围内的近似概率范围内的近似概率n n例例例例6.56.5n n汽车电瓶商声称其电瓶具有均值汽车电瓶商声称其电瓶具有均值汽车电瓶商声称其电瓶具有均值汽车电瓶商声称其电瓶具有均值6060个月，标准差个月，标准差个月，标准差个月，标准差6 6个月的寿个月的寿个月的寿个月的寿命分布。抽查命分布。抽查命分布。抽查命分布。抽查5050个电瓶进行试验个电瓶进行试验个电瓶进行试验个电瓶进行试验n n若正确，描述若正确，描述若正确，描述若正确，描述5050个电瓶平均寿命
20、的抽样分布个电瓶平均寿命的抽样分布个电瓶平均寿命的抽样分布个电瓶平均寿命的抽样分布n n若正确，则若正确，则若正确，则若正确，则5050个寿命不超过个寿命不超过个寿命不超过个寿命不超过5757个月的概率。个月的概率。个月的概率。个月的概率。答案答案答案答案第32页/共51页第四节样本比例的抽样分布第四节样本比例的抽样分布第33页/共51页1.1.总体总体总体总体(或样本或样本或样本或样本)中具有某种属性的单位与全部单中具有某种属性的单位与全部单中具有某种属性的单位与全部单中具有某种属性的单位与全部单位总数之比位总数之比位总数之比位总数之比n n不同性别的人与全部人数之比不同性别的人与全部人数之
21、比不同性别的人与全部人数之比不同性别的人与全部人数之比n n合格品合格品合格品合格品(或不合格品或不合格品或不合格品或不合格品)与全部产品总数之比与全部产品总数之比与全部产品总数之比与全部产品总数之比2.2.总体比例可表示为总体比例可表示为总体比例可表示为总体比例可表示为3.3.样本比例可表示为样本比例可表示为样本比例可表示为样本比例可表示为 比例比例(proportion)(proportion)第34页/共51页1.1.容量相同的所有可能样本的样容量相同的所有可能样本的样本比例的概率分布本比例的概率分布2.2.当样本容量很大时，样本比例当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似的
22、抽样分布可用正态分布近似 3.3.一种理论概率分布一种理论概率分布4.4.推断总体比例推断总体比例 的理论基础的理论基础样本比例的抽样分样本比例的抽样分布布第35页/共51页1.1.样本比例的数学期望样本比例的数学期望2.2.样本比例的方差样本比例的方差样本比例的抽样分样本比例的抽样分布布(数学期望与方差数学期望与方差数学期望与方差数学期望与方差)第36页/共51页n nX为随机变量，为随机变量，C为常数，为常数，CX分布与分布与X相同；相同；E（X），D（X）2，E（CX）C，D（CX）C22。样本比例的抽样分样本比例的抽样分布布(数学期望与方差数学期望与方差数学期望与方差数学期望与方差)第
23、37页/共51页n n例例例例6.66.6X XNN（9 9，2 22 2），试描述），试描述），试描述），试描述10X10X的抽样分的抽样分的抽样分的抽样分布。布。布。布。n n例例例例6.76.7某统计员在其填写的报表中有某统计员在其填写的报表中有某统计员在其填写的报表中有某统计员在其填写的报表中有2%2%至少至少至少至少会有一处错误，检查一个由会有一处错误，检查一个由会有一处错误，检查一个由会有一处错误，检查一个由600600份报表组成的份报表组成的份报表组成的份报表组成的随机样本，至少有一处错误的报表所占比例随机样本，至少有一处错误的报表所占比例随机样本，至少有一处错误的报表所占比例随
24、机样本，至少有一处错误的报表所占比例在在在在0.0250.0700.0250.070之间的概率有多大？之间的概率有多大？之间的概率有多大？之间的概率有多大？样本比例的抽样分样本比例的抽样分布布(数学期望与方差数学期望与方差数学期望与方差数学期望与方差)答案答案第38页/共51页第六节两个样本均值之第六节两个样本均值之差的抽样分布差的抽样分布第39页/共51页1.1.两个总体都为正态分布，即两个总体都为正态分布，即两个总体都为正态分布，即两个总体都为正态分布，即 ，2.2.两两两两个个个个样样样样本本本本均均均均值值值值之之之之差差差差 的的的的抽抽抽抽样样样样分分分分布布布布服服服服从从从从正
25、正正正态态态态分分分分布布布布，其分布的数学期望为两个总体均值之差，其分布的数学期望为两个总体均值之差，其分布的数学期望为两个总体均值之差，其分布的数学期望为两个总体均值之差3.3.方差为各自的方差之和方差为各自的方差之和方差为各自的方差之和方差为各自的方差之和 两个样本均值之差的两个样本均值之差的抽样分布抽样分布第40页/共51页两个样本均值之差的两个样本均值之差的抽样分布抽样分布 m m1 1s s1 1总体1s s2 2 m m2 2总体2抽取简单随机样样本容量 n1计算X1抽取简单随机样样本容量 n2计算X2计算每一对样本的X1-X2所有可能样本的X1-X2mm1-1-mm22抽样分布
26、抽样分布第41页/共51页n n当当当当 n n1 1和和和和n n2 2都较大时（都大于都较大时（都大于都较大时（都大于都较大时（都大于3030），则），则），则），则 不管总体不管总体不管总体不管总体如何，都可以用正态分布来近似。如何，都可以用正态分布来近似。如何，都可以用正态分布来近似。如何，都可以用正态分布来近似。n n例例例例6-86-8：甲、乙两所高录取新生分数，甲平均分：甲、乙两所高录取新生分数，甲平均分：甲、乙两所高录取新生分数，甲平均分：甲、乙两所高录取新生分数，甲平均分655655分，分，分，分，标准差标准差标准差标准差2020分，乙平均分分，乙平均分分，乙平均分分，乙平均
27、分625625分，标准差分，标准差分，标准差分，标准差2525分，都服从正分，都服从正分，都服从正分，都服从正态分布，从两校随机选取态分布，从两校随机选取态分布，从两校随机选取态分布，从两校随机选取8 8名新生，甲校小于乙校的可名新生，甲校小于乙校的可名新生，甲校小于乙校的可名新生，甲校小于乙校的可能性多大。能性多大。能性多大。能性多大。两个样本均值之差的两个样本均值之差的抽样分布抽样分布第42页/共51页两个样本均值之差的两个样本均值之差的抽样分布抽样分布答案答案第43页/共51页n n两个样本比例之差两个样本比例之差两个样本比例之差两个样本比例之差两个样本比例之差的两个样本比例之差的抽样分
28、布抽样分布第44页/共51页n n例例例例6-96-9：调查表明甲城市消费者中有：调查表明甲城市消费者中有：调查表明甲城市消费者中有：调查表明甲城市消费者中有15%15%喝过商标为喝过商标为喝过商标为喝过商标为“圣洁圣洁圣洁圣洁”牌矿泉水，而乙城市的消费者中只有牌矿泉水，而乙城市的消费者中只有牌矿泉水，而乙城市的消费者中只有牌矿泉水，而乙城市的消费者中只有8%8%的人喝的人喝的人喝的人喝过该种矿泉水。如真实，分别从甲城市抽取过该种矿泉水。如真实，分别从甲城市抽取过该种矿泉水。如真实，分别从甲城市抽取过该种矿泉水。如真实，分别从甲城市抽取120120人，乙人，乙人，乙人，乙城市抽取城市抽取城市抽
29、取城市抽取140140人组成独立随机样本，比例差不低于人组成独立随机样本，比例差不低于人组成独立随机样本，比例差不低于人组成独立随机样本，比例差不低于0.080.08的概率为多少。的概率为多少。的概率为多少。的概率为多少。两个样本均值之差的两个样本均值之差的抽样分布抽样分布答案答案第45页/共51页第七节两个样本方差第七节两个样本方差的抽样分布的抽样分布*第46页/共51页n n总体分布为总体分布为 ,样本方差下列分布服从自由样本方差下列分布服从自由度为度为n-1n-1的卡方分布的卡方分布第47页/共51页两个样本方差比的抽两个样本方差比的抽样分布样分布1.1.两两个个总总体体都都为为正正态态
30、分分布布。X X1 1，X X2 2，X Xn1n1 是是来来自自X X1 1 N N(1 1,1 12 2)的的一一个个样样本本，Y Y1 1，Y Y2 2，Y Yn2n2是来自是来自X X2 2 N N(2 2,2 22 2)的一个样本。的一个样本。2.2.从从两两个个总总体体中中分分别别抽抽取取容容量量为为n n1 1和和n n2 2的的独独立立样样本本3.3.两两个个样样本本方方差差比比的的抽抽样样分分布布，服服从从分分子子自自由由度度为为(n n1 1-1)-1)，分母自由度为，分母自由度为(n n2 2-1)-1)F F分布，即分布，即 第48页/共51页本章小结和作业本章小结和作
31、业本章小结和作业本章小结和作业n n小结小结n n总体分布、样本分布、抽样分布总体分布、样本分布、抽样分布总体分布、样本分布、抽样分布总体分布、样本分布、抽样分布n n单总体参数推断时样本统计量的分布单总体参数推断时样本统计量的分布单总体参数推断时样本统计量的分布单总体参数推断时样本统计量的分布n n双总体参数推断时样本统计量的分布双总体参数推断时样本统计量的分布双总体参数推断时样本统计量的分布双总体参数推断时样本统计量的分布n n作业作业n n练习题练习题练习题练习题1 1和和和和2 2（自己练习，不上交）（自己练习，不上交）（自己练习，不上交）（自己练习，不上交）第49页/共51页结 束第50页/共51页感谢您的观看。第51页/共51页