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1、第六章第六章 能带论基础能带论基础三、三、Bloch定理定理Bloch函数：函数：二、周期场模型二、周期场模型描述电子的共有化运动，反映电子在运动过程描述电子的共有化运动，反映电子在运动过程中其位相随位置的变化中其位相随位置的变化描述电子的原子内运动，反映电子与晶格相互描述电子的原子内运动，反映电子与晶格相互作用的强弱，表现为电子的振幅随位置的周期作用的强弱，表现为电子的振幅随位置的周期性变化性变化一、能带论的基本假设：一、能带论的基本假设：BornOppenheimer绝热近似绝热近似 HatreeFock平均场近似平均场近似四、近自由电子近似（微扰计算不要求）四、近自由电子近似（微扰计算不
2、要求）l 近自由电子模型近自由电子模型l 主要结果主要结果l 主要适用于处理金属价电子所形成的能带主要适用于处理金属价电子所形成的能带 离布里渊区边界面较远处，周期场的影响很小；离布里渊区边界面较远处，周期场的影响很小；在布里渊区边界附近，电子的能量会偏离自由电子在布里渊区边界附近，电子的能量会偏离自由电子 能量，而在布里渊区边界处电子的能量发生突变：能量，而在布里渊区边界处电子的能量发生突变：五、紧束缚近似（微扰计算不要求）五、紧束缚近似（微扰计算不要求）l 紧束缚模型紧束缚模型l 结果：结果：近邻原子间电子波函数的重叠积分，其大小近邻原子间电子波函数的重叠积分，其大小决定所形成能带的宽度决
3、定所形成能带的宽度l 适用范围：原子的内层电子所形成的能带；过渡金属适用范围：原子的内层电子所形成的能带；过渡金属 的的d电子能带；绝缘体、化合物和某些半导电子能带；绝缘体、化合物和某些半导 体的价带。体的价带。六、六、En(k)函数的三种布里渊区图象函数的三种布里渊区图象对对同一能带同一能带:七、电子能带的对称性七、电子能带的对称性v 简约布里渊区图象简约布里渊区图象v 扩展布里渊区图象扩展布里渊区图象v 周期布里渊区图象周期布里渊区图象九、能态密度与费米面九、能态密度与费米面1.能态密度：能态密度：八、简约区中自由电子能带的表示法八、简约区中自由电子能带的表示法自由电子自由电子能量：能量：
4、对于二维、三维晶体，通常都是沿某对称轴方向对于二维、三维晶体，通常都是沿某对称轴方向求出求出En(k)函数的表达式，画出函数的表达式，画出En(k)k的曲线，给出的曲线，给出相应的简并度。相应的简并度。N(E)Ev 近自由电子的能态密度近自由电子的能态密度v 紧束缚近似的能态密度紧束缚近似的能态密度 （简单立方的（简单立方的s s带）带）EN(E)在能带底和能带顶，电子的能态密度为零，而在能在能带底和能带顶，电子的能态密度为零，而在能带中的某处能态密度达到最大。带中的某处能态密度达到最大。若电子的能量函数若电子的能量函数E(k)已知，即可根据上式求出已知，即可根据上式求出其能态密度。对于等能面
5、为椭球面的情况，可先求出其能态密度。对于等能面为椭球面的情况，可先求出在能量为在能量为E的椭球中的能态总数的椭球中的能态总数Z(E)：能态密度：能态密度：2.近自由电子的费米面近自由电子的费米面（二维）（二维）：平均每个原子的价电子数，即电子浓度或电子：平均每个原子的价电子数，即电子浓度或电子 原子比原子比简约区内切球（圆）的半径简约区内切球（圆）的半径k1简约区内切球（圆）的饱和电子浓度（电子原子比）简约区内切球（圆）的饱和电子浓度（电子原子比）1：简约区内切球（圆）体积（面积）：简约区内切球（圆）体积（面积）常用公式：常用公式：Bloch函数：函数：布里渊区边界处近自由电子的能量突变：布里
6、渊区边界处近自由电子的能量突变：紧束缚近似：紧束缚近似：自由电子能量：自由电子能量：能态密度：能态密度：价电子总数：价电子总数：（三维）（三维）准经典运动准经典运动1.波包的概念波包的概念2.准经典运动的基本方程准经典运动的基本方程3.电子的加速度电子的加速度4.有效质量概念有效质量概念倒有效质量张量倒有效质量张量 在一般情况下，电子的加速度与所受的外场力的在一般情况下，电子的加速度与所受的外场力的方向并不一致。方向并不一致。v 倒有效质量是对称张量，存在主轴方向，沿张量的主倒有效质量是对称张量，存在主轴方向，沿张量的主 轴方向，有效质量可对角化；轴方向，有效质量可对角化；v 有效质量中包含了
7、周期场对电子的影响；有效质量中包含了周期场对电子的影响；v 在一般情况下，有效质量是二阶张量，特殊情况下也在一般情况下，有效质量是二阶张量，特殊情况下也 可退化为标量；可退化为标量；v 有效质量可大于电子的真实质量，也可小于电子的真有效质量可大于电子的真实质量，也可小于电子的真 实质量，还可以为负值；实质量，还可以为负值；v 在能带底电子能量在能带底电子能量E(k)取极小值，所以取极小值，所以m*0；在能；在能 带顶带顶E(k)取极大值，所以取极大值，所以m*0。v 空穴是一种带正电荷空穴是一种带正电荷e，具有正的有效质量，具有正的有效质量m*的准的准 粒子粒子v 空穴反映的是近满带中所有电子
8、的集体行为，它不空穴反映的是近满带中所有电子的集体行为，它不 能脱离晶体而单独存在，只是一种准粒子能脱离晶体而单独存在，只是一种准粒子 v 电子导电性：导带底有一些电子所产生的导电性电子导电性：导带底有一些电子所产生的导电性 空穴导电性：价带顶缺少一些电子所产生的导电性空穴导电性：价带顶缺少一些电子所产生的导电性v 金属中的载流子既可以是电子也可以是空穴金属中的载流子既可以是电子也可以是空穴5.5.空穴的概念：空穴的概念：导体、绝缘体和半导体导体、绝缘体和半导体v 导带、满带和近满带的导电能力导带、满带和近满带的导电能力v 导体、绝缘体和半导体能带结构及其对导电性的影响导体、绝缘体和半导体能带
9、结构及其对导电性的影响v 半导体的本征导电性与非本征导电性半导体的本征导电性与非本征导电性v 金属导体和半导体的本征导电率（或电阻率）随温度金属导体和半导体的本征导电率（或电阻率）随温度 的变化规律有何不同？其导电机制有何不同？的变化规律有何不同？其导电机制有何不同？v 二价碱土金属之所以是金属导体的原因是由于其最二价碱土金属之所以是金属导体的原因是由于其最 外层的外层的nsns能带与其上面的能带发生能带重叠，如何能带与其上面的能带发生能带重叠，如何 从其从其X X射线发射谱的谱线形状来证实？射线发射谱的谱线形状来证实？v X X射线发射谱：电子在价电子能带中填充情况的实验射线发射谱：电子在价
10、电子能带中填充情况的实验 验证；金属与非金属验证；金属与非金属X射线发射谱有何不同（主要表射线发射谱有何不同（主要表 现在高能端）。现在高能端）。电子在恒定电场和磁场中的运动电子在恒定电场和磁场中的运动1.电子在恒定电场中的运动图象电子在恒定电场中的运动图象v 在在k空间中的运动图象：空间中的运动图象：电子在电子在k空间中作循环运动；空间中作循环运动；电子速度作周期振荡电子速度作周期振荡v 在实空间中的运动图象：电子在实空间中作往返振荡在实空间中的运动图象：电子在实空间中作往返振荡v 电子的振荡过程很难被观察到，原因：电子在相邻两次电子的振荡过程很难被观察到，原因：电子在相邻两次 碰撞间的平均
11、自由时间碰撞间的平均自由时间 太短及加在样品上的外电场不太短及加在样品上的外电场不 可能太强。可能太强。2.在恒定磁场中的运动图象在恒定磁场中的运动图象v 在在k空间中的运动图象：空间中的运动图象：在在k空间中空间中电子的运动轨迹是电子的运动轨迹是 一条垂直于磁场的等能线一条垂直于磁场的等能线v 在实空间中的运动图象：在实空间中电子的运动轨迹在实空间中的运动图象：在实空间中电子的运动轨迹 是一条沿磁场方向的螺旋线是一条沿磁场方向的螺旋线3.准经典运动方程：在准经典运动方程：在k空间中及实空间中空间中及实空间中4.自由电子的量子理论（推导过程不要求）自由电子的量子理论（推导过程不要求）图象：实空
12、间中垂直于磁场平面内的匀速圆周运动对应图象：实空间中垂直于磁场平面内的匀速圆周运动对应 于一简谐振子，其量子化能级称为朗道能级。于一简谐振子，其量子化能级称为朗道能级。电子回旋共振和电子回旋共振和De HaasVan Alphen效应效应1.电子回旋共振：电子回旋共振：基本原理：基本原理：应用：测量半导体导带底附近的电子和价带顶附近的应用：测量半导体导带底附近的电子和价带顶附近的 空穴的有效质量，研究其能带结构。空穴的有效质量，研究其能带结构。2.De HaasVan Alphen效应效应基本原理：与金属费米面附近的电子在低温强磁场的基本原理：与金属费米面附近的电子在低温强磁场的 行为有关行为有关应用：研究金属的费米面结构应用：研究金属的费米面结构5.晶体中电子的有效质量近似晶体中电子的有效质量近似常用公式：常用公式：准经典运动的基本关系式：准经典运动的基本关系式：倒有效质量张量的分量：倒有效质量张量的分量：电子对外场的响应：电子对外场的响应：