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1、第五章 一元函数的导数及其应用 5.35.3.1.1 函数的单调性（第一课时）函数的单调性（第一课时）学习目标学习目标1.巩固对巩固对函数的导数函数的导数的几何意义的的几何意义的理解理解 2.利用利用导数导数研究函数的单调性研究函数的单调性 v一一 新课引入v 导数的几何意义是什么？v 二二 讲授讲授 新课新课问题1 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v 随时间t变化的函数v(t)=h(t)=-9.8t+4.8的图象.a=,b是函数h(t)的零点.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这
2、两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？观察图象可以发现：(1)从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增.相应地，v(t)=h(t)0.(2)从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减.相应地，v(t)=h(t)0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0,a)上单调递增；当t(a,b)时，h(t)0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a,b)上单调递减.问题：在区间(a,b)上，h(t)0，在区间(a,b)上，h(t)单调递增.可以推广到一般函
3、数吗？观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系xyOy yx x(1)xyOy yx x2 2(2)xyOy yx x3 3(3)xyO(4)以函数 f(x)=x2 为例：导数f(x0)表示函数的图像在点（x0，f(x0)）处的切线的斜率。在x=x0 处，f(x0)0，切线是“左 下右上”的上升式，函数 f(x)=x2 ，的图像也是上升的，函数 f(x)=x2 附近单调递增；在x=x1 处，导数f(x1)表示函数的图像在点（x1，f(x1)）处的切线的斜率，f(x1)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增；在某个区间(a,b)上，如果f(x)0，那么函数y=f(x
4、)在区间(a,b)上单调递减.特别地：如果在某个区间上恒有f(x)=0，那么函数f(x)是常值函数。例1 利用导数判断下列函数的单调性：（1）（2）（3）解解:（1）因为 ，其定义域为 .所以所以，函数 在 上单调递增，如图所示：（2）因为 ，所以所以，函数 在 上单调递减，如右图所示.（3）因为）因为 ，所以所以所以，函数所以，函数 在区间在区间 和和 上分别上分别单调递增单调递增，如图所示：如图所示：例2 已知导函数f(x)的下列信息：当1x0；当x4时，f(x)0 当x=1，或x=4时，f(x)=0.试画出函数f(x)图象的大致形状.解：当1x0，可知f(x)在区间(1,4)上单调递增；
5、当x4时，f(x)0，可知f(x)在区间(-,1)和(4,+)都单调递减；当x=1，或x=4时，f(x)=0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”如下图所示：三巩固练习判断下列函数的单调性：(1)f(x)=x2-2x+4;(2)f(x)=ex-x.分析:(1)f(x)=x2-2x+4是二次函数，其定义域为R.所以其对称轴方程为x=1，又因为f(x)的图象开口向上所以，函数f(x)=x2-2x+4在(-,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增.(2)因为f(x)=ex-x，其定义域为R.所以f(x)=ex-1.令f(x)=0，得x=0所以当x(-,0)时，f(x)0.所以，函数f(x)=ex-x在(-,0)上单调递减，在(0,+)上单调递增.四四课堂小堂小结函数的单调性与函数导数的正负之间具有怎样的关系？函数的单调性与函数导数的正负之间具有怎样的关系？五作五作业v课本本，