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1、第 1 页 共 18 页 2022-2023 学年浙江省杭州第四中学下沙校区高二上学期期中数学试题 一、单选题 1已知直线 l的方程为3310 xy，则直线的倾斜角为（）A30 B60 C150 D120【答案】C【分析】由直线方程得斜率，从而可得倾斜角【详解】由题意直线的斜率为33k ，而倾斜角大于等于0且小于180，故倾斜角为150 故选：C 2在空间直角坐标系Oxyz中，点(1,1,1)P关于平面xOz对称的点 Q 的坐标是（）A(1,1,1)B(1,1,1)C(1,1,1)D(1,1,1)【答案】D【解析】由点(1,1,1)P关于平面xOz对称点的横，纵，竖坐标的关系求解即可.【详解】
2、点(1,1,1)P关于平面xOz对称点，横坐标，竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数 则对称点(1,1,1)Q 故选：D【点睛】本题主要考查了求关于坐标平面对称点的坐标，属于基础题.3若直线(1)2xm ym和直线280mxy平行，则m的值为（）A1 B2 C1 或2 D23【答案】A【分析】由两直线平行，根据平行的判定求m的值即可.【详解】直线(1)2xm ym和直线280mxy平行，1 2(1)0m m，解得1m 或2m ，经检验2m 不符合题意，1m 故选：A 第 2 页 共 18 页 4已知mR，则“m2”是“方程2211xym表示椭圆”的（）A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条
3、件 D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求得方程2211xym表示椭圆的条件，从而确定正确选项.【详解】方程2211xym表示椭圆，则 101,22,11mmm ，所以“m2”是“方程2211xym表示椭圆”的充分不必要条件.故选：B 5直线20 xy分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆2222xy上，则ABP面积的取值范围是 A26，B48，C23 2，D2 23 2，【答案】A【详解】分析：先求出 A，B 两点坐标得到AB，再计算圆心到直线距离，得到点 P 到直线距离范围，由面积公式计算即可 详解：直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点 A2,0,B 0,2,则AB2 2 点
4、P 在圆22x22y（）上 圆心为（2，0），则圆心到直线距离12022 22d 故点 P 到直线xy20的距离2d的范围为2,3 2 则22122,62ABPSAB dd 故答案选 A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题 6已知F是双曲线221412xy的左焦点，点(1,4)A，P是双曲线右支上的动点，则|PFPA的最小值为（）A9 B5 C8 D4【答案】A 第 3 页 共 18 页【分析】根据双曲线的定义转化为|4PFPAPFPA可求解.【详解】设右焦点为F，则(4,0)F，依题意，有|4PFPF，|44549PFPAPFPAAF，（当P在
5、线段AF上时，取等号）故|PFPA的最小值为 9.故选：A.7空间直角坐标系Oxyz中，经过点000,P x y z，且法向量为,mA B C的平面方程为0000A xxB yyC zz，经过点000,P x y z且一个方向向量为,0n 的直线l的方程为000 xxyyzz，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为3570 xyz，经过0,0,0的直线l的方程为321xyz，则直线l与平面a所成角的正弦值为（）A1010 B1035 C105 D57【答案】B【解析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线l与平面a所成角的正弦值.【详解】因为平面的方程为
6、3570 xyz，故其法向量为3,5,1n，因为直线l的方程为321xyz，故其方向向量为3,2,1m，故直线l与平面a所成角的正弦值为9 10 12103514357 10，故选：B.【点睛】关键点点睛：此题为材料题，需从给定的材料中提炼出平面的法向量和直线的方向向量的求法，这是解决此题的关键.8已知点P是正方体1111ABCDABC D底面ABCD内一动点，且满足2PAPB，设1PD与平面ABCD所成的角为，则的最大值为（）第 4 页 共 18 页 A4 B3 C6 D2【答案】A【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为 2，且设点(,)P x y z，根据已知条件并结合两点
7、间的距离公式求得动点P的轨迹方程，要使得1PD与底面ABCD所成的角最大，从而点P在ENF上，且在QD上，再由直线与平面的夹角可得1tan1DDDP，从而可得出最大值.【详解】解：以B为坐标原点，BC，BA，1BB所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为 2，设(,)P x y z，则(0,2,0)A，因为|2|PAPB，所以222222(0)(2)(0)2xyzxyz，即22221639xyz，所以点P的轨迹为以点20,03Q为球心，43为半径的球与正方体表面的交线，即为如图的EMG，GSF，ENF，要使得1PD与底面ABCD所成的角最大，则1PD与底面
8、ABCD的交点R到点D的距离最短，从而点P在ENF上，且在QD上，则41042333DPDQ，从而1tan1DDDP，所以的最大值为4.故选：A 第 5 页 共 18 页 二、多选题 9（多选）已知直线:10l xmym，则下列说法正确的是（）A直线l的斜率可以等于 0 B若直线l与y轴的夹角为 30，则33m 或33m C直线l恒过点2,1 D若直线l在两坐标轴上的截距相等，则1m 或1m 【答案】BD【分析】讨论0m 和0m时直线的斜率和截距情况，判断 AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断 B 的正误；将方程化为110 xm y判断直线过定点，判断 C 的正误.【详解】当0m 时，直线
9、:1l x，斜率不存在，当0m时，直线l的斜率为1m，不可能等于 0，故 A 选项错误；直线l与y轴的夹角角为 30，直线l的倾斜角为 60或 120，而直线l的斜率为1m，1tan603m或1tan1203m ，33m 或33m ，故 B 选项正确；直线l的方程可化为110 xm y，所以直线l过定点 1,1，故 C 选项错误；当0m 时，直线:1l x，在y轴上的截距不存在，当0m时，令0 x，得1mym，令0y，得1xm，令11mmm，得1m ，故 D 选项正确 故选：BD 10已知直线2:0l axbyr与圆222:C xyr，点(,)A a b，则下列说法正确的是（）第 6 页 共
10、18 页 A若点 A在圆 C上，则直线 l与圆 C相切 B若点 A在圆 C内，则直线 l与圆 C相离 C若点 A在圆 C外，则直线 l与圆 C相离 D若点 A在直线 l上，则直线 l与圆 C相切【答案】ABD【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,abr的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心0,0C到直线 l的距离222rdab，若点,A a b在圆 C上，则222abr，所以222=rdrab，则直线 l与圆 C 相切，故 A 正确；若点,A a b在圆 C内，则222abr，所以222rdrab，则直线 l与圆 C 相离，故 B 正确；若点,A a
11、 b在圆 C外，则222abr，所以222rdrab，则直线 l与圆 C 相交，故 C 错误；若点,A a b在直线 l上，则2220abr即222=abr，所以222=rdrab，直线 l与圆 C 相切，故 D 正确.故选：ABD.11设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12,F F，短轴长为 4，A，B 是椭圆上关于 x 轴对称的两点，1ABF的周长的最大值为 12过点(2,1)M 的直线交椭圆于 C，D 两点，且 C，D关于点M 对称，则下列结论正确的有（）A椭圆的方程为22194xy B椭圆的焦距为5 C椭圆上存在 4 个点 Q，使得120QF QF D直线 CD的方程
12、为89250 xy【答案】ACD【分析】由椭圆定义，利用直角三角形直角边和斜边关系，知 AB过点2F时1ABF周长最大为4a求第 7 页 共 18 页 出a，再由短轴得出b，可求得椭圆方程，知 A 正确，由c的值可确定焦距，知 B 错误，由1290FQF知Q在以线段12FF为直径的圆上，由cb知 C 正确，利用点差法可求得直线CD方程，知 D 正确.【详解】对于 A，由题意知21|2ABAF，当AB过点2F时，等号成立，所以1121|22AFABAFAFa，故当AB过右焦点2F时，1ABF的周长取最大值412a，所以3a，又2b，所以椭圆的方程为22194xy，A 正确；对于 B，由 A 知2
13、25cab，所以1222 5FFc，即焦距为2 5，B 错误；对于 C，由120QF QF知1290FQF，Q在以线段12FF为直径的圆上，由cb知：以线段12FF为直径的圆与椭圆有4个交点，即椭圆上存在4个点Q，使得120QF QF，C 正确；对于 D，由题意知点2,1M 为弦CD的中点，M在椭圆内部，设11,C x y，22,D xy，则2211194xy，2222194xy，两式相减得：12121212094xxxxyyyy 124xx，122yy，则1212294xxyy，121289CDyykxx，直线CD的方程为：8129yx，即89250 xy，D 正确.故选：ACD.12我们通
14、常称离心率为512的椭圆为“黄金椭圆”如图，已知椭圆2222:1(0)xyCabab，1A，2A，1B，2B为顶点，1F，2F为焦点，P为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（）A11|A F2=12|FF2 B11290FB A 第 8 页 共 18 页 C1PFx轴，且21/POA B D四边形1221A B A B的内切圆过焦点1F，2F【答案】BD【分析】对每个命题如果是正确的求出各个命题所在的椭圆的离心率即可【详解】A,由条件得到2(2)()()cac ac，即2cac或2cca（舍)，解得：15132ca，所以A不正确；B,若11290FB A，则由射影定理可得：2
15、112OBFO OA，即2bca，所以220caca，即210ee，(0,1)e，解得512e；所以B正确；C，若1PFx轴，如图可得2(,)bPca，又21/POA B，则斜率相等，所以2bcaba，即bc，或2babc，显然不符合，所以2222cceacc，所以C不正确；D，因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，圆心到直线21A B的距离等于c，因为直线21A B的方程为：1xyab，即0bxayab，所以原点到直线的距离22abdab，由题意知：22abcab，又222bac，整理得：222222()(2)aaccac，42310ee，2(0,1)e，解得2
16、352e，所以355122e，所以D正确，故选：BD 第 9 页 共 18 页 三、填空题 13台风中心从 A 地以40km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在 A 地正东40km处，则城市 B 处于危险区内的持续时间为_h【答案】12#0.5【分析】求出台风路径上距离30kmB的两点距离即可得出答案【详解】设台风运动到C处和D处距离B点30km，过B作BEAD于E，如图所示:45BAD，40AB，20 22ABBE，222220CDCEBCBE，B处于危险区的时间为201402小时 故答案为：12 14已知双曲线2222:10,0 xyCabab恰好满足下列
17、条件中的两个：过点3,3 2M；渐近线方程为3yx；离心率2e 则双曲线 C 方程为_【答案】22139xy【分析】利用渐近线以及离心率的定义，列出方程求解即可.【详解】若选，2cea，得222ca，又3byxxa ，化简得223ba，可得cb，不符题意，故选错；若选，2cea，得222ca，过点3,3 2M，得229181ab，又由222abc，得到2222=2918=1caaa，无解，故选错；若选，3byxxa ，化简得223ba，又由222abc且过点3,3 2M，得2291813aa，解得3,3,2 3abc，故此时，双曲线 C 方程为22139xy 第 10 页 共 18 页 故答案
18、为：22139xy 15在我国古代数学名著九章算术中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑已知在鳖臑PABC中，PA 平面 ABC，2PAABBCM为 PC的中点，则点 P到平面 MAB 的距离为_ 【答案】2【分析】利用等体积法求得P到平面MAB的距离.【详解】因为PA 平面 ABC，BC平面 ABC，所以BCPA，依题意可知,BCAB BCPA ABPAA AB PA平面PAB，所以BC平面PAB，由于M是PC的中点，所以M到平面PAB的距离是C到平面PAB的距离的一半，即M到平面PAB的距离是1.2 2ACPB,222 222 3PC，所以3AMBM，由于2AB，所以 22123122M
19、ABS，12222PABS，设P到平面MAB的距离为h，则MPABP MABVV，即112 12233hh .故答案为：2 16设 P 是椭圆22:12xMy上的任一点，EF为圆22:0N xyy的任一条直径，则PE PF的最大值为_【答案】94【分析】设点,P x y，则2222xy且11y，计算得出21924 yPE PF，利用二次函第 11 页 共 18 页 数的基本性质可求得PE PF的最大值.【详解】圆2211:24Nxy的圆心为10,2N，半径长为12，设点,P x y，则2222xy且11y，PEPNNE，PFPNNFPNNE，所以22221124PNNEPNNPEPNNEyE
20、PFx 222211192222424 yyyyy，所以，当12y 时，PE PF取得最大值，即max94PE PF.故答案为：94.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值 四、解答题 17 如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足2ONNM，点 P 满足34APAN (1)用向量,OA OB OC表示OP；(2)求|OP【答案】(1)1114
21、44OPOAOBOC 第 12 页 共 18 页(2)6|4OP 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解；（2）先计算22111444OPOAOBOC，再开方即可求解【详解】（1）因为 M 是棱 BC 的中点，点 N满足2ONNM，点 P 满足34APAN 所以3313132()4444443OPOAAPOAANOAONOAOAONOAOM 111111()422444OAOBOCOAOBOC（2）因为四面体OABC是正四面体，则|1OAOBOC，111 122OA OBOB OCOA OC ，2221111()44416OPOAOBOCOAOBOC 2221(222)16OAOBOCO
22、A OBOB OCOA OC 111161 1 12221622216 ，所以6|4OP 18动点(,)P x y与定点(1,0)F的距离等于点 P到直线=1x的距离，设动点 P的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)经过定点(3,1)M直线l与曲线C交于,A B两点，且点 M 是线段 AB 的中点，求直线l的方程【答案】(1)24yx(2)25yx 【分析】(1)根据抛物线的定义直接求解；(2)利用点差法求出l的斜率即可求解.【详解】（1）根据抛物线的定义可知，动点 P的轨迹为抛物线，且该抛物线以(1,0)F为焦点，所以1,2p所以2p，所以曲线C的方程为24yx.（2）若直线l垂直于x轴
23、，则 AB的中点在x轴上，不满足题意，若直线l不垂直于x轴，设1122(,),(,)A x yxy，且122yy，第 13 页 共 18 页 因为,A B在曲线C上，所以21122244yxyx，两式相减得，121212()()4()yyyyxx，所以12121242yyxxyy，即2ABk，所以l的方程为12(3)yx 整理得25yx.19在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答 与直线4350 xy垂直；过点(5,5)；与直线3420 xy平行 问题：已知直线 l过点(1,2)P，且_(1)求直线 l的一般式方程；(2)己知(3,16)M，O 为坐标原点，在直线 l上
24、求点 N坐标，使得|MNON最大【答案】(1)3450 xy；(2)5,03N.【分析】（1）选择不同的条件，根据直线垂直，平行时，斜率之间的关系，以及直线方程的求解，即可求得结果；（2）求得点O关于l的对称点Q的坐标，数形结合，求两直线的交点坐标，即可求得结果.【详解】（1）选择与直线4350 xy垂直，则直线l的斜率413k，解得34k ，又其过点(1,2)P，则直线l的方程为：3214yx，整理得：3450 xy；选择过点(5,5)，又直线l过点(1,2)P 则直线l的斜率5235 14k ，则直线l的方程为：3214yx，整理得：3450 xy；选择与直线3420 xy平行，则直线l的
25、斜率34k ，又其过点(1,2)P，则直线l的方程为：3214yx，整理得：3450 xy；综上所述，不论选择哪个条件，直线l的方程均为：3450 xy.（2）根据（1）中所求，可得直线l的方程为：3450 xy，又(3,16)M，设点O关于直线l的对称点为,Q x y，第 14 页 共 18 页 则314yx，且345022xy，解得68,55xy ，即68Q,55；根据题意，作图如下：显然|MNONMNQNQM，但且仅当,Q N M三点共线时取得等号；又直线QM的斜率247k ，故其方程为：8246575yx，即244077yx，联立3450 xy，可得5,03xy，即点N的坐标为5,03
26、时，使得|MNON最大.20如图，在斜三棱柱111ABCABC中，90BAC在12,4ABACAA，1A在底面ABC的射影为BC的中点，D为11BC的中点 (1)求证：1AD 平面1ABC；(2)求平面1ABD与平面11BCC B夹角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)18 第 15 页 共 18 页【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量的坐标运算求面面夹角的余弦值.【详解】（1）取BC中点E,因为2,ABACD为11BC的中点，E是BC中点,所以111ADBC,AEBC1/ADAE,因为1AE 平面ABC，,AE BC 平面ABC,所以11,AEAE AEBC 因为1
27、1,BCAEE BC AE平面1ABC，所以AE平面1ABC,因为,D E为线段中点，所以四边形1DEBB是平行四边形，所以1/,DEBB且因为11/,AABB所以1/,DEAA 因为11DEBBAA，所以四边形1DEAA为平行四边形，所以1/ADAE,所以1AD 平面1ABC.（2）由(1)可得，以1,EA EB EA为,x y z轴，建系如图，则(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),ABC 因为14,2AAAE,所以114AE,则1(0,0,14)A,第 16 页 共 18 页 因为 1110,2,02,0,142,2,14EBEBBBEBAA ,所以12,2,14B,设平面1A
28、BD的一个法向量为(,)mx y z，因为11(0,2,14)(2,0,0)ABADAE,所以11214020AB myzAD mx，令7y，则0,1xz，所以(0,7,1)m，设平面11BCC B的一个法向量为(,)na b c，因为1(0,2 2,0),(2,0,14)BCBB,所以12 202140BC nbBBnac ，令7a，则0,1bc，所以(7,0,1)n，设平面1ABD与平面11BCC B夹角为，则1coscos,cos8m nm nm n，所以平面1ABD与平面11BCC B夹角的余弦值为18.21在平面直角坐标系xOy中，点 A，B的坐标分别为(1,0),(1,0)AB设曲
29、线 C 上任意一点(,)P x y满足|PAPB（0且1）(1)求曲线 C 的方程，并指出此曲线的形状；(2)对的两个不同取值12,，记对应的曲线为12,C C（i）若曲线12,C C关于某直线对称，求12,的积；（ii）若211，判断两曲线的位置关系，并说明理由【答案】(1)222222214()1(1)xy,表示圆.(2)（i）121;（ii）内含 【分析】(1)利用求轨迹方程的办法求出轨迹方程即可；(2)(i)利用两圆半径相等求解；(2)根据两圆圆第 17 页 共 18 页 心距和半径差的大小关系即可确定位置关系.【详解】（1）由两点间的距离公式可得2222(1)(1),xyxy 平方整
30、理得222222(1)(1)2(1)(1)0.xyx 又因为0且1，所配方整理得222222214().1(1)xy 因为0且1，所以此曲线表示圆.（2）（i）曲线12,C C关于某直线对称,所以两圆的半径相等，即12221222|1|1|，平方整理得2422421212120,即22221221(1)()0，因为12，且0且1，所以121.（ii）两圆圆心间的距离22221221122221212112()|,11(1)(1)d 两圆的半径差212112222222112222()(1)|,(1)(1)(1)(1)d 而121212(1)()(1)(1)0,所以12dd，所以两圆内含.22如
31、图，椭圆2222:10 xyEabab经过点0,1A，且离心率为2.2 (1)求椭圆E的方程：(2)经过点 1,1，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P、Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值，并求出此值.【答案】(1)2212xy(2)证明见解析，定值为2 【分析】（1）由已知可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆E的方程；第 18 页 共 18 页（2）分析可知0k，将直线l的方程与椭圆E的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式与韦达定理可求得APAQkk的值，即可得解.【详解】（1）解：由题设知，222221cababc，解得21abc，所以，椭圆E
32、的方程为2212xy.（2）解：由题意直线PQ的方程为11yk x，若0k，则直线PQ的方程为1y，此时直线PQ与椭圆E相切，不合乎题意；若0k，因为221112，则点 1,1在椭圆E外，联立221112yk xxy可得221 241220kxk kxk k，则2221614 22410kkk kk ，可得220kk，解得2k 或0k，设点11,P x y、22,Q xy，由韦达定理可得1224121k kxxk，1222221k kx xk，所以，121212121212211222APAQkxxyykxkkxkkkkxxxxx x 4122221222k kkkkkk k.综上所述，直线AP与AQ的斜率之和为定值2.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值