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1、华南师大附中华南师大附中 2023 届高三年级第一次月考届高三年级第一次月考数数学学一一、单项选择题单项选择题：本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。1已知集合31|xxA，42|xxB，则BA=()AB4,2(C)3,2D4,3(2已知函数)(xf的定义域为0,3，则函数)12(xf的定义域为()A21,2B0,3C0,23D 1,23“3a”是“函数xxaxf2)2()(2在),1(上单调递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也
2、不必要条件4某农学院研究员发现，某品种的甜瓜生长在除温差以外其他环境均相同的条件中，成熟后甜瓜的甜度y（单位：度）与昼夜温差x（单位：，355 x）近似满足函数模型10)3ln(2ln1xy当温差为 30时，成熟后甜瓜的甜度约为（参考数据：585.13log2）()A14.4B14.6C14.8D15.15函数321)(xxexxfx的图像大致为()6已知方程05)2(2mxmx有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于 2，则实数m的取值范围是()A),4()4,5(B(-5，-4)C),5(D),4()2,4(7 设 函 数)(xf是 奇 函 数)()(Rxxf的 导 函 数，0)1(f，当
3、0 x时，0)()(xfxxf，则使得0)(xf成立的x的取值范围是()A),1()1,(B)1,0()0,1(C)1,0()1,(D),1()0,1(8若),0(,yx，yexxysinln，则()A0)ln(yxB0)ln(xyCyex Dxyln二二、多选题多选题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项符有多项符合题目要求，全部选对的得合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分。分。9已知0 nm，且1nm，则()Anm22B22nm Cn
4、nmm22D0lnlnnm10已知,0,ln,0,21)(xxxxxf，若1)(aff，则实数a的值可以为()A21 eB21C1Dee11已知函数2)(xexfx，则下列说法正确的是()A)(xf有两个不同零点B)(xf在 R 上单调递增C若函数2ln)(xxxfy在0 xx 处取得最小值，则)1,0(0 xD),0(x，2ln)(2xxxf12已知M是同时满足下列条件的集合：MM1,0；若Myx,，则Myx；Mx且0 x，则Mx1下列结论中正确的有()AM31BM1C若Myx,，则MyxD若Myx,，则Mxy三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，
5、共 20 分。分。13函数xxexf2)(的极小值为14当1x时，函数1142xxy的最小值为_15已知)(xf为定义在 R 上的奇函数，且0)2()(xfxf，当10 x时，xxf2)(，则)5(log2f=.16 在处理多元不等式的最值时，我们常用构造切线的方法来求解 例如：曲线2xy 在1x处 的 切 线 方 程 为12 xy，且122xx，若 已 知3tnm，则3121212222tnmtnm，当1tnm时 等 号 成 立，所 以222tnm的最小值为 3已知函数xxxxf126)(23，若数列na满足2na，且101021aaa，则数列)(naf的前 10 项和的最大值为；若数列nb
6、满足0nb，且21010021bbb，则数列)(nbf的前 100 项和的最小值为四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 10 分）已知等差数列na中，).(32*2NnnSSnn(1)求na；(2)设)2(1nnnaab，nb的前n项和为nT，证明：.43nT18（本小题满分 12 分）在CaAcbsincos33，caBAbCAsinsinsinsin，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题在ABC中，内角CBA,的对边分别为cba,，且满足_(
7、1)求C；(2)若ABC的面积为D,3在边AC上，且CACD31，4 BCAC，求BD的值注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分19（本小题满分 12 分）随着中国实施制造强国战略以来，中国制造)(ChinainMade逐渐成为世界上认知度最高的标签之一，企业也越来越重视产品质量的全程控制某企业从生产的一批产品中抽取 40 件作为样本，检测其质量指标值，质量指标的范围为100,50，经过数据处理后得到如下频率分布直方图：(1)为了进一步检验产品质量，在样本中从质量指标在)60,50和100,90的两组中抽取 3 件产品，记取自)60,50的产品件数为，求的分布列和数学期望；(2)该企业
8、采用混装的方式将所有的产品按 200 件一箱包装，质量指标在)90,60内的产品利润是 5 元，质量指标在)90,60之外的利润是 3 元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱产品的利润20（本小题满分 12 分）在四棱锥ABCDP中，BCD为等边三角形，120DAB，2PBPDABAD，点E为PC的中点(1)求证：/BE平面PAD；(2)已 知 平 面PBD平 面ABCD，求 二 面 角DCPB的余弦值21（本小题满分 12 分）已知椭圆)0(1:2222babyaxE的左、右焦点分别为21,FF，焦距与短轴长均为 4(1)求E的方程；(2)设任意过2F的直线l交E于NM,，分别作
9、E在点NM,处的切线，且两条切线相交于点P，过1F作平行于l的直线分别交PNPM,于BA,，求|OPOBOA的取值范围22（本小题满分 12 分）已知函数1sin)(xaexfx在区间2,0内有唯一极值点.1x(1)求实数a的取值范围；(2)证明：)(xf在区间),0(内有唯一零点2x，且.212xx 数学参考答案数学参考答案一、单项选择题：一、单项选择题：1C2A3A4C5D6B7D8C二、多选题：二、多选题：9AB10ACD11BCD12ACD【详 解】【详 解】(1)由 MM1,0，则 由 M110，M2)1(1，M3)1(2，由得M31，故 A 正确；(2)由(1)可知M1，故 B 错
10、误；(3)由知M0，My，Myy0，Mx，Myx)(，即Myx故 C 正确；(4)Myx,，则Mx1，由可得Mx1，Mx11，Mxx111，即Mxx)1(1，Mxx)1(，即Mxx2，Mx 2；由(3)可知当Myx,，Myx，Mxxx211，当Myx,，可得Myxyxyx2,2)(,22222，Mxyyxyx22)(222，故 D 正确故答案为：ACD三、填空题：三、填空题：13e21412415451670；630【详解【详解】22)2(312123)(xxxxf，则)(xf在),(上单调递增，图像如下所示：易知7)1(f，3)1(f，所以曲线)(xfy 在1x处的切线方程为43 xy，结合
11、图像易知)2(43)(xxxf，所以43)(nnaaf，所以7040)(3)()()(10211021aaaafafaf，当且仅当11021aaa时，等号成立；曲线)(xfy 在0 xx 处的切线为020300020126)(12123(xxxxxxxy，因为0nb，则令此切线过原点，解得30 x或00 x，所以曲线)(xfy 在3x处的切线方程为xy3，结合图像易知)0(3)(xxxf，所以630)(3)()()(1002110021bbbbfbfbf，当且仅当0nb或3nb时，等号成立，取37021bbb，01007271bbb，即nb的前 100 项中有 70 项为 3，30 项为 0
12、时，等号成立故答案为：70；630.四、解答题：四、解答题：17【解析】【解析】(1)设等差数列na的公差为d，)(32*2NnnSSnn，所以32212naaSSnnnn，可得5232naann，两式相减可得：22d，所以1d，所以322121naaaannnn，可得：nan；由(1)知：nan，所以21121)2(1nnnnbn，nnbbbT21)2(1)1)(1(1531421311nnnn21111115131412131121nnnn211121121nn21112321nn*Nn，021,011nn432321nT，原命题得证18【解析】【解析】(1)方案一：选条件.由CaAcbs
13、incos33，可得CaAcbsin33cos，由正弦定理得CAACBsinsin33cossinsin，因为)(CAB，所以)sin(sinCAB，所以CAACCACAsinsin33cossinsincoscossin，故CACAsinsin33cossin，又0sin A，于是CCcos3sin，即3tanC，因为),0(C，所以.3C方案二：选条件caBAbCAsinsinsinsin，由正弦定理得cababca，即222babca，abcba222，由余弦定理得.212cos222abcbaC又),0(C，所以.3C(2)由题意知32321sin21abCabSABC，得4ab4 B
14、CAC，即4ba联立解得2 ba而3231CACD，由余弦定理得9283cos3222322cos222222CCDaCDaBD0BD，故.372BD即BD的值为.37219【解析解析】(1)解：样本中质量指标在)60,50的产品有40100.015=6 件，质量指标在100,90的有 40100.01=4 件，可能的取值为 0，1，2，3，相应的概率为：3011204)0(31034CCP，10312036)1(3101624CCCP，2112060)2(3102614CCCP，6112020)4(31036CCP，随机变量的分布列为0123P3011032161所以期望.596132121
15、0313010)(E(2)解：设质量指标在)90,60内有X件，每箱产品的利润为Y元，则质量指标在)90,60外的有)200(X件，由题意知6002)200(35XXXY，因为43,200 BX，所以15043200)(XE，所以.900600)(2)6002()(XEXEYE20【详解】【详解】(1)取CD的中点M，连接,BMEME为PC中点，PDEM/，而EM平面PAD，PD平面PAD，/EM平面PAD，又BCD为等边三角形，CDBM 120DAB，ABAD，30ABDADB，903060ADBCDBADC，CDAD，ADBM,平面ABCD，ADBM/，而BM平面PAD，AD平面PAD，/
16、BM平面PAD，又MBMEM，/EMB平面平面PAD，而EB平面EMB，/EB平面.PAD(2)根据条件，连接AC交BD于O，连接PO，由对称性知，O为BD中点，且BDAC，BDPO 平面PBD平面ABCD，且交于BD，PO平面ABCD，在AOD中，ODAO，2AD，30ADO，则1AO，3OD，又2PD，1)3(222PO，在正BCD中，322 ODBD，3CO.以 O 为坐标原点，OPOBOC,所在方向分别为zyx,轴的正方向建立空间直角坐标系xyzO，则)0,3,0(D，)0,0,3(C，)1,0,0(P，)0,3,0(B，)1,3,0(DP，)1,0,3(PC，)1,3,0(PB，设平
17、面PCD的法向量为),(1zyxn，平面PCB的法向量为),(2cban，所以030311zxPCnzyDPn，令1x，则)3,3,1(1n，030322caPCncbPBn，令1a，则)3,3,1(2n，137,cos212121nnnnnn，由图可知，二面角DCPB为钝角，所以二面角DCPB的余弦值为.13721【解析解析】(1)由题意，4222ba，42 b，解得42b，82a，故椭圆为.14822yx(2)由题意，)0,2(2F，显然l的斜率不为 0，故设l的方程为2 tyx，),(),(2211yxNyxM，则214822tyxyx，即044)2(22tyyt，故24221ttyy，
18、.24221tyy由题意可知NM,不在x轴上，即过NM,两点的切线斜率存在，设过 M 点的切线方程为)(11xxkyy，与椭圆联立有,)(1481122xxkyyyx整理得：08)(2)(4)12(2111122ykxxykxkxk，故08)(2)12(4)(1621122112ykxkykxk,可得112yxk，即过M点的切线方程为)(21111xxyxyy，即8211yyxx，同理可得过N点的切线方程为8222yyxx,联立两切线方程82822211yyxxyyxx，即,82821211222121yyyyxyxyyyyxyx相减可得)(8)(121221yyxyxyx，即)(8)2()2
19、(121221yyxytyyty，化简可得.4x代入14811yyxx可得tytyyxy2)2(24241111，故).2,4(tP设MN的中点为),(QQyxQ，则222221ttyyyQ，24222222tttxQ，故.22,2422tttQ因为2242222ttttkOQ，242ttkOP，故OPOQkk，所以PQO,三点共线又过1F平行于l的直线分别交PNPM,于,BA易得PMNPAB，取AB中点R，根据三角形的性质有PQOR,四点共线，结合椭圆的对称性有12222|22txxOPOQOPOROPOBOAPQ，当且仅当0t时取等号故|OPOBOA的取值范围是.1,0(22【解析】(1)
20、xaexfxcos)(，当2,0 x时，)1,0(cos x，21eex，当1a时，0)(xf，)(xf在2,0上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；当1a时，显然)(xf在2,0上递增，又因为01)0(af，022ef，所以)(xf在2,0上有唯一零点1x，所以),0(1xx，0)(xf；2,1xx，0)(xf，所以)(xf在2,0上有唯一极值点，符合题意综上，a的取值范围是).,1(2)由(1)知1a，所以,2x时，0cos)(xaexfx，所以),0(1xx，0)(xf，)(xf单调递减；),(1xx，0)(xf，)(xf单调递增，所以),0(1xx时，0)0()(fxf，则0)(1x
21、f，又因为01)(ef，所以)(xf在),(1x上有唯一零点2x，即)(xf在),0(上有唯一零点2x.因为1cossin212sin)2(11212111xxaexaexfxx，由(1)知0)(1xf，所以1cos1xaex，则1sin2)2(12111xeexfxx，构造1sin2)(2teetptt，2,0t，所以)cossin(2)cos(sin22)(2tteetteetptttt，记2,0,cossin)(tttett，则ttettsincos)(，显然)(t在2,0上单调递增，所以0)0()(t，所以)(t在2,0上单调递增，所以0)0()(t，所以0)(tp，所以)(tp在2,0上单调递增，所以0)0()(ptp，所以)(0)2(21xfxf，由前面讨论可知：112xx，21xx，且)(xf在),(1xx单调递增，所以.221xx