2022-2023学年江苏省南通中学高一上学期期末模拟(二)数学试题(解析版).pdf-淘文阁

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1、第 1 页共 17 页 2022-2023 学年江苏省南通中学高一上学期期末模拟（二）数学试题一、单选题 1已知集合0,22Ax xBxxZ，那么AB（）A1,0 B02xx C 0,1 D0,1,2【答案】C【分析】利用整数集的意义化简集合B，从而利用集合的交集运算即可求得所求.【详解】因为221,0,1Bxx Z，0Ax x，所以AB 0,1.故选：C.2命题“0 x，230axax”的否定是（）A0 x，230axax B0 x，230axax C0 x，230axax D0 x，230axax【答案】A【分析】利用存在量词命题的否定解答.【详解】解：由于存在量词命题的否定是全称量词

2、的命题，命题“0 x，230axax”是存在量词的命题，所以命题“0 x，230axax”的否定是“0 x，230axax”.故选：A 3sin(2040)（）A12 B12 C32 D32【答案】C【分析】根据诱导公式先化简再求值即可【详解】解：3sin(2040)sin20406 360sin1202 ，故选：C 4函数 ln23fxxx的零点所在的一个区间是（）A10,2 B1,12 C31,2 D3,22【答案】C 第 2 页共 17 页【分析】分析函数 f x的单调性，利用零点存在定理可得出结论.【详解】因为函数lnyx、23yx均为0,上的增函数，所以，函数 f x为0,上的增函

3、数，110f ，33ln022f，即 3102ff，因此，函数 ln23fxxx的零点所在的一个区间是31,2.故选：C.5函数2(2,2)21 xyxx的图象大致为（）A B C D【答案】A【分析】判断函数奇偶性，可判断 B；当0 x 时，()0f x，可判断 C，当0 x 时，可推得1()2f x，判断 D,由此根据只有 A 中图象符合题意，可得答案.【详解】由题意知函数2()(2,2)21xf xxx，满足()()fxf x，故2()(2,2)21xf xxx 为奇函数，则 B 错误；当0 x 时，2()021xf xx，则 C 错误；当0 x 时，1122 22 2xxxx，当且仅当

4、22x 时取等号，则2111()12122 22xf xxxx，故 D 错误，只有 A 中图象符合题意，故选：A 6流行病学基本参数：基本再生数0R指一个感染者传染的平均人数，世代间隔 T 指相邻两代间传第 3 页共 17 页染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：0()rtI tN e（其中0N是开始确诊病例数）描述累计感染病例()I t随时间 t（单位：天）的变化规律，指数增长率 r 与0R，T 满足01RrT，有学者估计出03.4,6RT 据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当0()2I tN时，t 的值为（ln20.69）（）A1.2 B1.7 C2.0 D2.5【答案】B【解

5、析】根据所给模型求得0.4r，代入已知模型，再由0()2I tN，得002rtN eN，求解t值得答案【详解】解：把03.4,6RT代入01RrT，得3.41 6r，解得0.4r，所以0.40()tI tN e，由0()2I tN，得0.4002tN eN，则0.42te，两边取对数得，0.4ln2t，得ln20.691.70.40.4t，故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查函数模型的实际应用，考查计算能力，解题的关键是准确理解题意，弄清函数模型中各个量的关系，属于中档题 7设0.60.4a，0.80.6b，0.40.8c，则（）Aabc Bcba Ccab Dbac【答案】B【分析】先由指数

6、运算得出555cab，再由幂函数的单调性得出大小关系.【详解】因为5354520.40.064,0.1296,0.640.60.8abc，所以555cab，又函数5yx在0,上单调递增，所以cba.故选：B 8函数()2sin(2)f xx，(,0)，满足()()4fxf x，若()2mf x，在0,2有两个实根，则 m 的取值范围为（）A(4,2 2 B4,2 2 C2 2,4)D2 2,4【答案】A【分析】由对称性求得()f x的解析式，方法 1：换元后画图研究交点个数可得 m的范围；第 4 页共 17 页方法 2：直接画()f x的图象研究交点个数可得 m 的范围.【详解】()()4

7、fxf x，()f x关于8x对称，282k，Zk，解得：4k，Zk，又(,0)，34，3()2sin(2)4f xx 方法 1：()2mf x，0,2x，即：3sin(2)44mx，0,2x，设324tx，3,44t 则sin4mt 在3,44 有两个实根，即：sin4ytmy在3,44 有两个交点，如图所示，当34t 时，32sinsin()42t，2142m ，即：42 2m ，故选：A.方法 2：()2mf x 在0,2有两个实根，32sin 242yxmy在0,2有两个交点，如图所示，第 5 页共 17 页当0 x 时，3(0)2sin()24f 222m ，即：即：42 2m

8、，故选：A.二、多选题 9函数()sin()(f xAx其中0A，0，|)2的部分图象如图所示，则（）A(0)1f B函数()f x的最小正周期是2 C函数()f x的图象关于点2(,0)3对称 D函数()f x的图象关于直线3x 对称【答案】AD【分析】根据图象求得()2sin(2)6f xx，再逐一判断即可.【详解】解：由题意可得2A，373()41264T ，所以T，即2，所以2，所以()2sin(2)f xx，第 6 页共 17 页代入(,2)6及|2可得：6，所以()2sin(2)6f xx，所以对于 A，(0)2sin()16f，故 A 正确；对于 B，函数的最小正周期T，故

9、B 错误；对于 C，因为22()2sin(2)10336f ，故错误；对于 D，因为()2sin(2)2336f，取最大值，故正确.故选：AD.10已知函数32,(),xxaf xxx a其中 a 为实数，则下列结论中一定成立的是（）A(0)0f B(1)1f C函数()f x一定不存在最大值 D函数()f x一定不存在最小值【答案】ABC【分析】对a的值进行分类讨论，结合分段函数解析式即可判断 A、B 选项的正误；结合分段函数每一段上的值域即可判断 C、D 选项的正误.【详解】对于 A 选项，当0a 时，2000f，当0a 时，3000f，故 A 选项正确；对于 B 选项，当1a 时，211

10、1f，当1a时，3111f，故 B 选项正确；对于 C 选项，当,xa时，函数 f x的值域为3,a，故函数一定不存在最大值，故 C 选项正确；对于 D 选项，当0a 时，0,x时，函数 f x的值域为0,，,0 x，函数 f x的值域为0,，故分段函数存在最小值，最小值为0，故 D 选项错误.故选：ABC 11下列结论中，正确的是（）A若3x ，则函数13yxx的最小值为1 B若0 xy，2xyxy，则2xy的最小值为 8 C若 x，(0,)y，3xyxy，则 xy 的最大值为 1 D若0 x，0y，2211122xyyxyx，则 xy 的最大值为23【答案】BCD 第 7 页共 17 页

11、【分析】A.函数变形为113333yxxxx，再利用基本不等式求最值；B.首先条件变形为211yx，再利用“1”的妙用，求最值；C.利用基本不等式，将等式变形为32xyxyxyxy，再解不等式，求最值；D.将等式变形为221 254xyxyxyxy，再利用基本不等式转化求xy的最大值.【详解】A.1113333333yxxxxxx ,因为3x ，所以30 x，则113323323533xxxx ，当133xx，即4x 时，等号成立，所以函数13yxx的最大值为5，故 A 错误；B.因为20 xyxy，所以0,0 xy，且211yx，那么2144224428xyx yxyxyyxyxyx，当4x

12、yyx，即2yx，再联立211yx，解得2,4xy时，等号成立，所以2xy的最小值为 8，故 B 正确；C.因为,0,x y，所以2xyxy，所以32xyxyxyxy，当xy时，等号成立，设xyt，则2230tt，解得：31t ，因为0t，所以01t，所以txy的最大值是 1，即 xy的最大值为 1，故 C 正确；D.因为0 x，0y，2211122xyyxyx，所以22224122xyxyxyyxyx，即2222334522xyxyx yx yxy，整理为221 254xyxyxyxy，1 20540 xyxy，解得，或1 20540 xyxy，解得：1425xy，所以221 221 2xy

13、xyxyxy，即5421 2xyxyxyxy，得23xy，当xy时等号成立，所以 xy 的最大值为23，故 D 正确.故选：BCD 12给出定义：若11(22mx m其中 m为整数)，则 m 叫做离实数 x 最近的整数，记作.xm第 8 页共 17 页设函数()|f xxx，则下列命题正确的是（）A函数()yf x为0,)的增函数 B函数()yf x为偶函数 C函数13()()22yf xx的最大值为52 D函数()2f xx有无数个解【答案】ACD【分析】根据新定义得出函数解析式，再取m几个特殊值进行画图像，从图像中研究函数的规律进行判断【详解】由题意可得 xxxm，即()f xxxxm

15、 x在y轴右侧图像有交点，令()()22g xf xxxmx，1122mx m，当0 x，0m 时，()2g xxmxmx，11()022g m，11()022g m，即11()()022g mg m，根据零点存在定理，1122mx m时，()g x一定有零点，故函数()2f xx有无数个解，所以选项 D 正确.故选：ACD 第 9 页共 17 页【点睛】方法点睛：本题属于函数新定义题型，涉及到的方法有：(1)函数零点可利用零点存在定理，也可利用图像转化为两个函数的交点求解(2)奇偶性的判断除了使用定义外，也可利用函数对称性来判断(3)分段函数的单调性结合图像判断，同时满足各个区间段上单调

16、和区间分段点上函数单调三、填空题 13幂函数yx的图象过点(2 2,2)，则_.【答案】23【分析】将点坐标代入函数解析式，解出.【详解】因为幂函数yx的图象过点2 2,2，所以3222 22，即312，得23.故答案为：23.14在平面直角坐标系 xOy 中，角的顶点为 O，始边为 x轴的非负半轴，终边经过点(3,4)P，则sin(2)cos()3sin()cos()22_【答案】17【分析】根据题意，列出sin与cos，根据诱导公式，化简求解即可.【详解】由已知得，4sin5，3cos5，第 10 页共 17 页 43sin(2)cos()sincos155334cossin7sin(

17、)cos()2255 故答案为：17 15写出不等式220 xx成立的一个必要不充分条件_.【答案】12x(不唯一)【分析】解不等式得到充要条件，再根据必要不充分条件的定义即可得答案.【详解】解：由220 xx可得(2)(1)0 xx，解得12x，所以不等式220 xx成立的一个必要不充分条件可以是:12x.故答案为：12x(不唯一)四、双空题 16 已知函数()f x的定义域为 R.当0 x 时，2()4f xx；当22x时，()()fxf x；当2x时，(4)3()f xf x，则(4)f_；2025f_.【答案】0 5073【分析】赋值法求出 4300ff；利用当2x时，(4)3()f

18、xf x，得到 506202531ff，求出(1)(1)3ff，得到答案.【详解】因为当2x时，(4)3()f xf x，令0 x 得：430ff，因为当22x时，()()fxf x，故 00ff，所以 00f，则 4300ff；因为当2x时，(4)3()f xf x，所以 250650620253202132017320254 50631fffff，其中212 ，故 2(1)(1)143ff ，所以 5065072025313ff.故答案为：0，5073.第 11 页共 17 页五、解答题 17求下列各式的值(1)1051529()(8)(1)(0.5)4；(2)22271loglog

19、12log 42 1.482【答案】(1)32(2)32 【分析】(1)利用指数幂和根式的运算即可求解；(2)利用对数的运算法则即可求解.【详解】（1）1051529()(8)(1)(0.5)4 311(1)20.5 32；（2）22271loglog 12log 42 1482 22221loglog 12log42112 2211212log142 22log12 112 32.18已知2650Ax xx，10Bx ax.(1)若1a，求ZAB；(2)从AB RR；ABB；BAR这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答.问题：若_，求实数a的所有取值构成的集合C.注：如果选择多个

20、条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)Z5AB 第 12 页共 17 页(2)条件选择见解析，10,15C 【分析】（1）当1a 时，求出集合B、A，利用补集和交集的定义可求得集合ZAB；（2）选，分0a、0a 两种情况讨论，在0a 时，直接验证即可；在0a 时，求得1Ba ，根据AB RR可得出关于a的等式，综合可得出集合C；选，分析可知BA，分0a、0a 两种情况讨论，在0a 时，直接验证即可；在0a 时，求得1Ba ，根据BA可得出关于a的等式，综合可得出集合C；选，分0a、0a 两种情况讨论，在0a 时，直接验证即可；在0a 时，求得1Ba ，根据BAR，可得出关于a的等式，

21、综合可得出集合C.【详解】（1）解：当1a 时，101Bx x，又因为 26501,5Ax xx，故Z5AB.（2）解：若选，当0a 时，B，则B RR，满足AB RR，当0a 时，1Ba ，若AB RR，则11a或5，解得1a 或15.综上所述，10,15C；若选，ABB，则BA.当0a 时，B，满足BA；当0a 时，1Ba ，因为BA，则11a或5，解得1a 或15.综上所述，10,15C；若选，当0a 时，B，满足BAR；当0a 时，则1Ba ，因为BAR，则11a或5，解得1a 或15.综上所述，10,15C.19已知函数()sin()(0,0)6f xAxA只能同时满足下列三个条件中

22、的两个：函数()f x的最大值为 2；函数()f x的图象可由2sin()4yx的图象平移得到；函数()f x图象的相邻两条对称轴之间的距离为.2 第 13 页共 17 页(1)请写出这两个条件序号，说明理由，并求出()f x的解析式；(2)求方程()10f x 在区间,上所有解的和.【答案】(1)()2sin(2)6f xx(2)23 【分析】（1）根据题意，条件互相矛盾，所以为函数()sin()6xf xA满足的条件之一，根据条件，可以确定函数的最小正周期，进而求得的值，并对条件作出判断，最后求得函数解析式；（2）将()2sin(2)6f xx代入方程()10f x ，求得1sin(2)

23、62x，从而确定方程的实数根，结合题中所给的范围，得到结果.【详解】（1）函数()sin()6xf xA满足的条件为；理由如下：由题意可知条件中的最大值不一样，所以互相矛盾，故为函数()sin()6xf xA满足的条件之一，由可知，T，所以2，故不合题意，所以函数()sin()6xf xA满足的条件为；由可知2A，所以()2sin(2)6f xx；（2）因为()10f x ，所以1sin(2)62x，所以22()66Zxkk 或722()66Zxkk，所以(Z)6xkk 或(Z)2xkk，又因为,x，所以 x 的取值为 5,662 2 所以方程()10f x 在区间,上所有的解的和为23.20

24、在城镇化的旧房改造进程中，小明家旧房拆迁拿到一套新房外加一间店面.小明准备将店面改建成超市，遇到如下问题：如图所示，一条直角走廊宽为 2 米，现有一转动灵活的平板车希望能自如在直角走廊运行.平板车平板面为矩形ABEF，它的宽为 1 米.直线EF分别交直线,AC BC于,M N，过墙角D作DPAC于P，DQBC于Q；请你结合所学知识帮小明解决如下问题：第 14 页共 17 页 (1)若平板车卡在直角走廊内，且,02CAB，试将平板面的长AB表示为的函数 f；(2)若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?【答案】(1)2 sincos1sincosf，02(2)长度不能超过4 22米

25、【分析】（1）由题意分别表示出2sinDM，2cosDN，1tanFM，tanEN，根据ABEFDMDNMFEN，即可求解.（2）由题意可知对任意角02，平板车的长度 minf，记sincos,t 12t，利用函数的单调性即可求出最值.【详解】（1）2sinsinDPDM，2cosDN，1tantanAFFM，tantanENBE，221tansincostanABEFDMDNMFEN 2222cossin2cos2sincossinsincossincossincos 222cos2sincossin2 cossin1sincossincos 所以 2 sincos1sincosf，02（

26、2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角02，平板车的长度 minf，记sincos2sin4t，则sincos=212t，又02则3444，所以2sin124，所以12sin24，即12t，第 15 页共 17 页则 22 sincos142,12sincos1tftt 记42tm，2424 22mt，则24mt，函数 21616124124mfymmmm 因为12,ym ym 在0,上都递增，所以124ymm在0,上都递增，所以 21616124124mfymmmm在2,4 22上的单调递减；当4 22m 时取得最小值4 22.所以长度不能超过4 22米 21已知函数2()(2)1

27、f xxaxa，()|g xxa，其中aR.(1)若函数()f x在2,)上单调递增，求a的取值范围;(2)设()()()h xf xg x，求函数()h x的最小值.【答案】(1)(,6;(2)22131,24157,24aaaaa 【解析】（1）由抛物线的对称轴小于等于 2，即可得答案；（2）由题意得22(1)21,()(3)1,xaxaxah xxaxxa再分别求出两段函数的最小值，再对求得的最小值作差比较大小，进而得到函数的最值；对a分3a 、31a、1a 三种情况分类讨论，即可得答案.【详解】(1)由222a 得6a，所以a的取值范围(,6;(2)2()(2)1|h xxaxaxa

28、22(1)21,(3)1,xaxaxaxaxxa 若32aa即3a ，当xa时2()(3)1h xxax递减，且min()()31h xh aa，当xa时2()(1)21h xxaxa最小值为2min11()()(5)724ah xha，第 16 页共 17 页此时有2131(5)74aa ，所以21()(5)74aa;若3122aaa即31a 时，当xa时2()(3)1h xxax在32ax时取得最小值2min31()()(3)124ah xha，当xa时2()(1)21h xxaxa在12ax时取得最小值为 2min11()()(5)724ah xha，若21a ，则2211(5)7(

29、3)144aa，此时21()(3)14aa，若32a，则2211(5)7(3)144aa，此时21()(5)74aa;若12aa即1a，当xa时2()(3)1h xxax在32ax时取得最小值2min31()()(3)124ah xha，当xa时，2()(1)21h xxaxa递增()()31h xh aa，此时有2131(1)14aa ，所以21()(3)14aa;综上，22131,24157,24aaaaa 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、分段函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意注意对函数进行多级的讨论

30、.22已知函数1()1xf xx.（1）证明函数()f x在(1,)上为减函数；（2）求函数ln(tan)yfx的定义域，并求其奇偶性；（3）若存在(,)4 2，使得不等式(tan)tan0fxax能成立，试求实数 a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）,44kkkZ，奇函数；（3）,32 2.【解析】（1）利用单调性定义证明即可.（2）根据条件可得tan1tan1xx，其解集即为函数的定义域，可判断定义域关于原点对称，再根据奇偶性定义可判断函数的奇偶性.第 17 页共 17 页（3）令tantx，考虑101tatt在1,上有解即可，参变分离后利用基本不等式可求实数a的取值范围.【

31、详解】（1）11x，21x，12xx，又122212121211()()11112 xxxxf xf xxxxx，因为11x ，21x ，12xx，故110 x，210 x，120 xx，故12()0(f xf x即12()()f xf x，所以函数()f x在(1,)上为减函数.（2）(lnt)n)ayfx的x满足的不等关系有：1tan01tanxx即1tantan10 xx，故tan1tan1xx，解得,44kxkkZ，故函数的定义域为,44kk，Zk，该定义域关于原点对称.令(lnta)n)F xfx 又tantantan()tantan11lnlnln11xxxxxFxf tanlnx

32、fF x ，故ln(tan)yfx为奇函数.（3）令tantx，因为(,)4 2x，故1u.故在(,)4 2 上不等式(tan)tan0fxax能成立即为存在1t，使得101tatt，所以11tat t在1,上能成立，令1st，则0s 且21121323tst tssss，由基本不等式有22 2ss，当且仅当2s 时等号成立，所以1132 2132 2tt t，当且仅当21t 时等号成立，故11tyt t的最大值为32 2，所以 a 的取值范围为,32 2.【点睛】本题考查与正切函数、对数函数有关的复合函数的性质的讨论，此类问题常用换元法把复合函数性质的讨论归结为常见函数性质的讨论，本题较综合，为难题.

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