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1、江苏省南通中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题（含解析）20222023学年第一学期高一年级期中考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1. 已知集合，则的真子集的个数为( )A. 5B. 6C. 7D. 82. 下列图象中，表示函数关系的有( )A. B. C. D. 3. 已知函数是幂函数，且时，单调递减，则的值为( )A. B. 1C. 2或D. 24. 镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验某次社会实践
2、活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为( )A. 甲同学和乙同学B. 丙同学和乙同学C. 乙同学和甲同学D. 丙同学和甲同学5. 已知为实数，使“，”为真命题的一个充分不必要条件是( )A B. C. D. 6. 已知函数由下表给出，若，则12341312A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知，且满足，则的最大值为( )A 9B. 6C. 4D. 18. 一次速算表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根.这个35位数是未等主持人报出第一位数字，
3、速算专家已经写出了这个数的31次方根：13.其实因为只有一个整数，它的31次方是一个35位整数.速算专家心中记住了右表(表中常用对数为近似值).请你也尝试借助此表求一求：一个31位整数的64次方根仍是一个整数，这个64次方根是( )真数常用对数真数常用对数20.30111.0430.48121.0840.601311150.70141.1560.78151.1870.85161.2080.90171.2390.95181.26101.00191.28A. 2B. 3C. 4D. 5二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在
4、答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分.9. 若不等式的解集是，则下列对于系数，的结论中，正确的是( )A. B. C. D. 10. 下列说法中，正确的是( )A. 集合和表示同一个集合B. 函数的单调增区间为C. 若，则用，表示D. 已知是定义在上的奇函数，当时，则当时，11. 已知，且，则( )A. B. C. D. 12. 定义在上的函数满足，当时，则以下结论正确的是( )A. B. 奇函数C. 为单调减函数D. 为单调增函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置.13. 计算：_.14. 已知函数，则_.15. 已
5、知函数，其中，(1)若函数在单调，则实数的范围是_；(2)若存在互不相等的三个实数，使得，则函数的值域为_.16. 已知为正实数，则的最小值为_四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17. (1)求的值；(2)已知，求的值.18. 已知命题：对任意实数，不等式都成立，命题：关于的方程无实数根.若命题，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围.19. 已知函数是定义域上的奇函数.(1)确定的解析式；(2)用定义证明：在区间上是减函数；(3)解不等式.20. 某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线是以点
6、为圆心的圆的四分之一部分，其中，轴，垂足为；曲线是抛物线的一部分；，垂足为，且恰好等于的半径，假定拟建体育馆的高(单位：米，下同).(1)试将用和表示；(2)若要求体育馆侧面的最大宽度不超过75米，求的取值范围.21. 已知集合，集合.(1)若，求取值范围；(2)在中有且仅有两个整数，求的取值范围.22. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：在内是单调函数；当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”(1)写出函数一个“优美区间”；(2)求证：函数不存在“优美区间”；(3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值20222023学年第一学期高一年级期中考试数学试题一、单项
7、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1. 已知集合，则的真子集的个数为( )A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】集合的元素是个，则其真子集个数是个.【详解】，则的真子集为：故选：C2. 下列图象中，表示函数关系的有( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数概念逐一判断即可.【详解】根据函数的概念知，对于定义域内任意，都有唯一确定的和它对应，由图象可看出，对于A，当时，有两个值与其对应，不符合；对于B，当时，有两个值与其对应，不符合；对于C，符合定义域内任意，
8、都有唯一确定的和它对应，可表示函数关系；对于D，当时，有无数个值与其对应，不符合.故选：C.3. 已知函数是幂函数，且时，单调递减，则的值为( )A. B. 1C. 2或D. 2【答案】A【解析】【分析】利用幂函数的定义及性质列式计算并判断.【详解】 是幂函数，即，解得，或，又当 时，单调递减，当时，不合题意，舍去；当，符合题意，故故选：A4. 镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为( )A. 甲同
9、学和乙同学B. 丙同学和乙同学C. 乙同学和甲同学D. 丙同学和甲同学【答案】C【解析】【分析】判断出，的大小关系即可得出答案.【详解】，又，有又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄故选：C.5. 已知为实数，使“，”为真命题的一个充分不必要条件是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的真假性求得的取值范围，然后确定其充分不必要条件.【详解】解：依题意，全称量词命题：为真命题，所以，在区间上恒成立，所以，所以使“”为真命题的一个充分不必要条件是“”.故选：B6. 已知函数由下表给出，若，则12341312A. 1B. 2C
10、. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】结合表格数据可得的值,进而可求得的值,即可求得.【详解】由题可得,则,故.故选:D.【点睛】本题考查了函数值的求法,利用表格中的数据是解决本题的关键,属于基础题.7. 已知，且满足，则的最大值为( )A. 9B. 6C. 4D. 1【答案】D【解析】【分析】由题可得，利用基本不等式可得 ，进而即得.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，即的最大值为1.故选：D8. 一次速算表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根.这个35位数是未等主持人报出第一位数字，速算专家已经写出了这
11、个数的31次方根：13.其实因为只有一个整数，它的31次方是一个35位整数.速算专家心中记住了右表(表中常用对数为近似值).请你也尝试借助此表求一求：一个31位整数的64次方根仍是一个整数，这个64次方根是( )真数常用对数真数常用对数20.30111.0430.48121.0840.60131.1150.70141.1560.78151.1870.85161.2080.90171.2390.95181.26101.00191.28A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】由题意可知，两边取对数，然后计算出的取值范围，查表即可得出答案.【详解】解：由题意得：，即，故此，即，又因
12、为为整数，故根据上表可知：，故选：B二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分.9. 若不等式的解集是，则下列对于系数，的结论中，正确的是( )A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】由一元二次不等式与一元二次方程根的关系及韦达定理可得b、c可用a的代数式表示，检验各选项即可得结果.【详解】由题意知： A项： ，即：A项正确；B项： ，即：B项正确；C项： ，即：C项正确；D项：，即：D项错误.故选：ABC.10. 下列说法中，正确的是(
13、)A. 集合和表示同一个集合B. 函数的单调增区间为C. 若，则用，表示D. 已知是定义在上的奇函数，当时，则当时，【答案】BC【解析】【分析】对于A，根据集合的定义即可判断；对于B，利用复合函数的单调性即可判断；对于C，利用对数的换底公式及运算性质即可判断；对于D，利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式即可判断.【详解】对于A，集合中元素为数，集合为点，可知表示的不是同一个集合，所以A选项错误；对于B，根据解得函数的定义域为，令则，为二次函数，开口向下，对称轴为，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，函数为增函数，根据复合函数的单调性可知函数的单调增区间为，所以B选项正确；对于C，因为，
14、根据对数的换底公式可得，所以C选项正确；对于D，因为当时，可令，则，所以，又因为是定义在上的奇函数，所以，与题干结果不符，所以D选项错误.故选：BC.11. 已知，且，则( )A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】对于A，利用换元结合不等式的性质即可求解；对于B、C、D三个选项可以利用基本不等式证明求解.【详解】对于A，因为，所以，又因为，所以，即，所以，又因为，所以，可知A选项正确；对于B，因为，当且仅当，即，时等号成立，所以，可知B选项错误；对于C，因为，解得，当且仅当，即，时等号成立，可知C选项正确；对于D，因为，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立，可知D选项正确.故选
15、：ACD.12. 定义在上的函数满足，当时，则以下结论正确的是( )A. B. 为奇函数C. 为单调减函数D. 为单调增函数【答案】ABD【解析】【分析】A.令求解判断；B.令求解判断；CD.令，且，由判断其符号即可.【详解】解：令得，即得，A正确；在定义域范围内令得，即得是奇函数，B正确；令，且，所以，又且，所以，即，所以，即所以在上是单调增函数，D正确，C错误故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置.13. 计算：_.【答案】3【解析】【分析】根据指数幂运算法则、对数恒等式运算即可.详解】解：.故答案：3.14. 已知函数，则_.【答案】【解
16、析】【分析】用换元法求解析式,令,得,代入,即可得到的解析式【详解】解：令,得,代入得即的解析式为故答案为：15. 已知函数，其中，(1)若函数在单调，则实数的范围是_；(2)若存在互不相等的三个实数，使得，则函数的值域为_.【答案】 . . 【解析】【分析】(1)利用单调性的定义进行处理.(2)利用函数图象以及换元法来处理.【详解】(1)当时，在单调递增，当时，其对称轴为，所以在上单调递增，若函数在单调，则，解得.(2)若存在互不相等的三个实数，使得，则的图象如图所示：则，即，解得或(舍去).对于函数，令，所以，其对称轴为，所以在上单调递减，所以，则函数的值域为.故答案为：，.16. 已知为
17、正实数，则的最小值为_【答案】6【解析】【分析】将原式变形为，结合基本不等式即可求得最值.【详解】由题得，设，则.当且仅当时取等.所以的最小值为6.故答案为：6四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17. (1)求的值；(2)已知，求的值.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】(1)利用指数幂的运算性质化简计算即可；(2)把平方，结合即可求得，利用可得的值，代入所求的式子即可得答案【详解】(1)；(2)，18. 已知命题：对任意实数，不等式都成立，命题：关于的方程无实数根.若命题，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围.
18、【答案】【解析】【分析】先求出真、真时的取值范围，根据题设条件可得真假或假真，从而可求出实数的取值范围.详解】若真，对任意实数，不等式都成立.当时，显然对于任意实数，不等式不都成立当时，解得真时，；若真，则方程无实数根， 真时，.命题、中有且仅有一个真命题，当真假时，且，故实数m的取值范围是：；当假真时，且，故实数m的取值范围是：；综上，实数取值范围为19. 已知函数是定义域上的奇函数.(1)确定的解析式；(2)用定义证明：在区间上是减函数；(3)解不等式.【答案】(1)；(2)证明见解析；(3).【解析】【分析】(1)利用奇函数的定义，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数的解析式；(2)任
19、取、，且，作差，化简变形后判断的符号，即可证得结论；(3)利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.【详解】(1)由于函数是定义域上的奇函数，则，即，化简得，因此，；(2)任取、，且，即，则，.，因此，函数在区间上是减函数；(3)由(2)可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数，由得，所以，解得.因此，不等式的解集为.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.20. 某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线是以点为圆心的圆
20、的四分之一部分，其中，轴，垂足为；曲线是抛物线的一部分；，垂足为，且恰好等于的半径，假定拟建体育馆的高(单位：米，下同).(1)试将用和表示；(2)若要求体育馆侧面的最大宽度不超过75米，求的取值范围.【答案】(1)， (2)【解析】【分析】(1)根据抛物线方程求得，从而可得半径，即，进而求解出点坐标后，可知；(2)根据题意，恒成立，即恒成立，再根据基本不等式求最值即可得答案.【小问1详解】解：由抛物线方程得： ，均为圆的半径，圆的半径为：，入抛物线方程可得，解得，曲线是以点为圆心的圆的四分之一部分，其中，轴，垂足为，.【小问2详解】解：要求体育馆侧面的最大宽度不超过75米，整理可得：，(当且
21、仅当时取等号)， ，.的取值范围为：21. 已知集合，集合.(1)若，求的取值范围；(2)在中有且仅有两个整数，求的取值范围.【答案】(1)； (2).【解析】【分析】(1)根据二次根式的性质，结合一元二次不等式的解法、集合并集的性质分类讨论进行求解即可；(2)根据集合交集的定义，结合题意进行求解即可.【小问1详解】由，所以.由，因为，所以，当时，即时，不等式为，显然该不等式解集为空集，即，显然成立；当时，即时，要想，只需，而，所以；当时，即时，要想，只需，而，所以，综上所述：的取值范围为；【小问2详解】由(1)可知：当时，此时不符合题意；由(1)可知：当时，要想中有且仅有两个整数，只需，或，
22、由，显然，所以，由，所以；由(1)可知：时，要想中有且仅有两个整数，只需，或，由，而，即，由，所以，综上所述：的取值范围为.【点睛】关键点睛：根据一元二次方程两根的大小确定一元二次不等式的解集，分类讨论是解题的关键.22. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：在内是单调函数；当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”(1)写出函数的一个“优美区间”；(2)求证：函数不存在“优美区间”；(3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值【答案】(1) (2)答案见解析 (3)【解析】【分析】(1)结合“优美区间”的定义，即可写出函数的一个“优美区间”；(2)若函数存在“优美区
23、间”，可得函数在上单调递减，从而可得，联立可推出矛盾，即可证明结论；(3)函数有“优美区间”，结合单调性可得，说明是方程的两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系可求得的关系，进而可求得的最大值【小问1详解】是的一个“优美区间”，证明如下：在区间上单调递增，又，的值域为，是的一个“优美区间”【小问2详解】设是函数的定义域的子集由，可得或，函数在上单调递减若是函数的“优美区间”，则，两式相减得，则，则，显然等式不成立，函数不存在“优美区间”【小问3详解】的定义域为，是函数的定义域的子集，则或，而函数在上单调递增，若是函数的“优美区间”，则，是方程，即的两个同号且不等的实数根，同号，只需，解得或，当时，取得最大值