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1、第 1 页 共 11 页 2022-2023 学年上海市新川中学高一上学期期末数学试题 一、填空题 1函数lg(1)yx的定义域_.【答案】1+，【分析】根据对数函数有意义的条件得到不等式求解.【详解】要使函数 lg1f xx有意义，则10 x，即1x，所以函数 lg1f xx的定义域为1,，故答案为:1,.2已知5sin5，,02，则cos _【答案】2 55#255【分析】直接根据同角三角函数之间的关系即可得结果.【详解】因为5sin5，,02，所以212 5cos1sin155，故答案为：2 55.3为了得到函数11yx的图象，可以把函数1yx的图象右移_个单位.【答案】1【分析】利用函
2、数图象的平移规律进行求解即可【详解】为了得到函数11yx的图象，根据平移规律，可以把函数1yx的图象右移 1 个单位，故答案为：1 4函数1xya的图象恒过定点_.【答案】(0,2)【分析】利用指数函数的定义与性质求得定点坐标.【详解】令0 x，解得2y，函数1xya的图象恒过定点(0,2).故答案为：(0,2)5若幂函数 yf x的图象过点2,4，则表达式 f x _.第 2 页 共 11 页【答案】2x【分析】设 af xx，由 24f可求得实数a的值，即可得解.【详解】设 af xx，则 224af，解得2a，2f xx.故答案为：2x.6函数 12f xx在其定义域上的单调性是_.【答
3、案】单调递增【分析】直接根据幂函数的单调性即可得结果.【详解】幂函数 12f xx，定义域0,，指数为12，满足1012，故函数 12f xx在其定义域上的单调性是单调递增，故答案为：单调递增.7函数10yxxx的增区间为_.【答案】1,【分析】利用定义法进行判断即可得解.【详解】任取210 xx，1221212121211212111()()(1)xxyyxxxxxxxxx xx x，因为210 xx，210 xx，当211xx时，1211x x，12110 x x，此时210yy，21yy，10yxxx为增函数，所以函数10yxxx的增区间为1,.故答案为：1,8若“3x”是“xa“的充分
4、不必要条件，则实数a的取值范围是_.【答案】3a 【解析】根据充分不必要条件的含义，即可求出结果.【详解】因为“3x”是“xa”的充分不必要条件，3a 故答案为：3a 【点睛】本题考查了不等式的意义、充分、必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 第 3 页 共 11 页 9函数 21f xaxbx是偶函数，且定义域是1,2aa，则ab_.【答案】13【分析】根据函数奇偶性与定义域，列出方程组，求出ab、的值，即可求出结果.【详解】因为数 21f xaxbx是偶函数，且定义域是1,2aa，所以()120fxf xaa，即2211310axbxaxbxa ，解得130ab，所以1
5、3ab.故答案为13【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数的问题，熟记函数奇偶性的定义即可，属于常考题型.10已知定义在R上的奇函数()f x，当0 x 时，2()1f xxx，当0 x 时，()f x _【答案】21xx【解析】设0 x，则0 x，代入解析式得2()1fxxx；再由()f x定义在R上的奇函数，()()fxf x 即可求得答案.【详解】不妨设0 x，则0 x，所以22()()()11fxxxxx ，又因为()f x定义在R上的奇函数，所以()()fxf x，所以2()()1fxf xxx，即2()1f xxx.故答案为：2()1f xxx.11函数331xxy 的值域是_.【
6、答案】0,1【分析】对函数解析式进行变形处理331113131311xxxxxy，即可得解.【详解】331113131311xxxxxy，因为13,1x，11,031x，第 4 页 共 11 页 所以110,131x.故答案为：0,1 12已知 111xxaaaf x，实数1x，2x满足 121f xf x，则12f xx的最小值为_.【答案】45【解析】由 121f xf x求得12,x x的关系式，求得12f xx的表达式，并利用基本不等式求得12f xx的最小值.【详解】依题意 11221111xxxxxfaaaaxa.由 121f xf x，得122211111xxaa，即122211
7、1xxaa，即1212211111xxxxaaaa，121221111xxxxaaaa，即12123xxxxaaa.所以12f xx12211xxa，将代入上式得12f xx12214xxaa 1221112xxaa 1122221112211xxxxaaaa 21122121214211xxxxaaaa 21122121216211xxxxaaaa 241645，当且仅当2112212111xxxxaaaa时等号成立，1212221211,xxxxaaaaxx，1211121,2fxfxfxfx，即111121211,14,31212xxxxaaaa，即12log 3axx时取得最小值45.
8、故答案为：45【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解很强，属于难题.二、单选题 13已知集合210Mx xx，10Nx x，则MN（）第 5 页 共 11 页 A1,1 B2,1 C2,1 D1,2【答案】C【分析】解出集合M、N，利用交集的定义可求得集合MN.【详解】2102,1Mx xx，10,1Nx x ，因此，2,1MN .故选：C.14已知扇形面积为 4，周长为 8，则该扇形的圆心角为（）弧度.A4 B3 C2 D1【答案】C【解析】运用扇形面积公式，结合弧长公式进行求解即可【详解】设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，扇形面积为S
9、由题意可知：14422228lSlrlrrlr.故选：C 15下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A3xy B1yx Cyx D3yx【答案】D【分析】根据函数的解析式直接判断函数的奇偶性和单调性即可【详解】对于 A，指数函数3xy 是非奇非偶函数，故 A 错误；对于 B，令 1f xx，定义域为,00,，110fxf xxx，则 1f xx为奇函数，而 1f xx在,0,0,单调递减，在定义域上不单调，故 B 错误；对于 C，yx的定义域为0,，故为非奇非偶函数，且在0,上是增函数，故 C 错误；对于 D，令 3g xx，其在定义域R上单调递增，且 330()gxg xx
10、x，所以 3g xx为奇函数，故 D 正确；故选：D 16专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t（单位：天）第 6 页 共 11 页 与病情爆发系数()f t之间，满足函数模型：0.22(50)11()tf te，当 0.1f t 时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时t约为（）(参考数据：1.13e)A38 B40 C45 D47【答案】B【解析】根据 0.1f t 列式求解即可得答案.【详解】解：因为 0.1f t，0.22(50)11()tf te，所以0.22(50)()0.111tf te，即0.22(50)011te，所以0.22(50)9te，由于
11、1.13e，故 21.12.29ee，所以0.222().250tee，所以0.22502.2t，解得40t.故选：B.【点睛】本题解题的关键在于根据题意得0.22(50)9te，再结合已知1.13e得 21.12.29ee，进而根据0.222().250tee解方程即可得答案，是基础题.三、解答题 17（1）已知角的终边经过点2,1P求sin，cos的值；（2）若tan2x，求5cossinsin2cosxxxx的值【答案】（1）5sin5，2 5cos5；（2）34.【分析】（1）直接根据三角函数的定义即可得结果；（2）分子分母同时除以cos即可得结果.【详解】（1）由于角的终边经过点2,
12、1P，所以225sin5yxy，222 5cos5xxy（2）由于tan2x，所以5cossin5tan523sin2costan2224xxxxxx.18已知集合2560Ax xx，1Bx xm.第 7 页 共 11 页（1）若0m，求BR；（2）若AB，求实数m的取值范围.【答案】（1）,11,；（2）2,3.【分析】（1）求出集合B，利用补集的定义可求得集合BR；（2）求出集合A、B，利用集合的包含关系可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围.【详解】（1）当0m 时，11,1Bx x，因此，,11,RB ；（2）25602,3Ax xx，1111,1Bx xmxxmmm，
13、因为AB，所以，1213mm，解得23m.因此，实数m的取值范围是2,3.19某种蔬菜从 1 月 1 日起开始上市，通过市场调查，得到该蔬菜种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：10 天）的数据如下表：时间t 5 11 25 种植成本Q 15 10.8 15 （1）根据上表数据，从下列函数：Qatb，2Qatbtc，tQa b，logbQat中（其中0a），选取一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本Q与上市时间t的变化关系；（2）利用你选取的函数模型，求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本.【答案】（1）213852024Qtt；（2）该蔬菜上市 150 天时，该蔬菜种植成
14、本最低为 10（元/10kg）.【分析】（1）先作出散点图，根据散点图的分布即可判断只有模型2Qatbtc符合，然后将数据代入建立方程组，求出参数,a b c.（2）由于模型为二次函数，结合定义域，利用配方法即可求出最低种植成本以及对应得上市时间.【详解】解：（1）以上市时间t（单位：10 天）为横坐标，以种植成本Q（单位/10kg）为纵坐标，画出散点图（如图）.第 8 页 共 11 页 根据点的分布特征，Qatb，tQa b，logbQat这三个函数模型与表格所提供的数据不吻合，只有函数模型与表格所提供的数据吻合最好，所以选取函数模型2Qatbtc进行描述该蔬菜种植成本Q与上市时间t的变化关
15、系.将表格所提供的三组数据分别代入2Qatbtc，得15255,10.812111,1562525.abcabcabc 解得1,203,285.4abc 所以，描述该蔬菜种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为213852024Qtt.（2）由（1）知22138511510202420Qttt，所以当15t 时，Q的最小值为 10，即该蔬菜上市 150 天时，该蔬菜种植成本最低为 10（元/10kg）.【点睛】判断模型的步骤：（1）作出散点图；（2）根据散点图点的分布，以及各个模型的图像特征作出判断；二次函数型最值问题常用方法：配方法，但要注意定义域.20已知函数 1mf xxx(1)当2m
16、时，判断 f x在,0上的单调性并证明；(2)讨论函数 yf x的零点个数【答案】(1)单调递减，证明见解析(2)答案见解析 【分析】（1）利用函数单调性的定义，进行证明即可；第 9 页 共 11 页（2）分离参数，将零点问题转化为函数交点问题，从而进行处理.【详解】（1）当2m 时，,0 x 时，21f xxx 该函数为单调递减函数，证明如下：在区间,0上任取12,x x，且120 xx 则 12121222fxfxxxxx 2112122xxx xx x 因为120 xx，故210 xx，且120 x x，则21121220 xxx xx x 故当120 xx时，120f xf x 则函数
17、 f x在,0单调递减.即证.（2）1mf xxx0，等价于1mxx 即等价于mxx x的根的个数，令 1,(0)1,(0)xxxg xxx xxxx，则其函数图像如下所示：由图可知：当14m 或14m 或0m 时，直线ym与 g x有两个交点；当14m 或14m 时，直线ym与 g x只有一个交点；当104m或104m时，直线ym与 g x有三个交点.故：当11,44m 时，f x有 1 个零点；当11,0,44m时，f x有 2 个零点；当11,044(0),m 时，f x有 3 个零点.21设函数()f x的定义域为D，若存在正实数a，使得对于任意xD，有xaD，且第 10 页 共 11
18、 页()()f xaf x，则称()f x是D上的“a距增函数”（1）判断函数()2xf xx是否为(0,)上的“1距增函数”？说明理由；（2）写出一个a的值，使得2,0(),0 xxf xx x是区间(,)上的“a距增函数”；（3）已知函数()f x是定义在R上的奇函数，且当0 x 时，()|f xxaa若()f x为R上的“2021距增函数”，求a的取值范围【答案】（1）()2xf xx是(0,)上的“1距增函数”，理由见解析；（2）10a；（3）2021()4，.【解析】（1）根据“a距增函数”的定义去判断即可；（2）如10a，答案不唯一，不小于4即可；（3）先求出()f x的表达式，通
19、过讨论 x 的范围结合绝对值的几何意义，从而求出 a 的范围.【详解】（1）函数()2xf xx是(0,)上的“1距增函数”，任意x(0,)，有1x(0,)，且21x，所以1(1)()2(1)(2)210 xxxf xf xxx，因此()2xf xx是(0,)上的“1距增函数”（2）10a；函数()f x的定义域为(,)，有10 xR，且(10)()f xf x，()f x是(,)上的“10距增函数”（3）0()000 xaaxf xxxaax，因为()f x为R上的“2021距增函数”，i)当0 x 时，由定义2021xaaxaa恒成立，即2021xaxa恒成立，由绝对值几何意义可得20210aa，20212a.ii)当0 x 时，分两种情况：当2021x 时，由定义2021xaaxaa 恒成立，即2021xaxa恒成立，由绝对值几何意义可得20210aa，20212a ，当20210 x时，由定义2021xaaxaa恒成立，第 11 页 共 11 页 即2021202122xaxaaa恒成立，当0a 时，显然成立，当0a 时，可得202104a，综上，a的取值范围为2021()4，【点睛】本题主要考查函数有关的新定义的应用、分类讨论和绝对值的意义，弄清新定义的本质，根据绝对值的几何意义得到不等式是解本题的关键，综合性较强，考查了基础知识、基本技能.