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1、第 1 页 共 13 页 2022-2023 学年上海市建平中学高一上学期期末数学试题 一、填空题 1函数 f(x)=12xx的定义域为_.【答案】1x x 且2x 【解析】由分母不能为0和根式内部的代数式大于等于0联立不等式组，解得即可.【详解】由题意得：1020 xx，解得12xx且，所以定义域为1x x 且2x.故答案为：1x x 且2x 【点睛】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题 2不等式11x的解集为_【答案】(0,1)【分析】由题设可得10 xx，利用分式不等式的解法求解即可.【详解】由题设，1110 xxx，(1)0 x x，解得01x，解集为(0,1).故答案为：(0,
2、1)3已知偶函数 Ryf xx，当0 x 时 1f xx，则 1f _.【答案】0【分析】由条件可得 11ff，然后可得答案.【详解】因为 yf x是偶函数，当0 x 时 1f xx，所以 110ff，故答案为：0.4函数2cossinyxx的最小值为_【答案】5【分析】直接利用辅助角公式即可求得最小值.第 2 页 共 13 页【详解】2cossin5cosyxxx，其中1tan,0,22，函数2cossinyxx的最小值为5 当2,Zxk k，即2,Zxk k时取到最小值 故答案为：5 5已知全集U R，集合2,RxAy yx，则A _.【答案】0y y 【分析】求出集合中元素范围，再直接求
3、补集即可.【详解】集合2,R0 xAy yxy y，全集U R 则0Ay y 故答案为：0y y 6已知tan2，则sin cos_.【答案】25#-0.4 【分析】将sin cos分母看成“1”，利用22sincos1替换，然后把所求的式子转化为tan表达式，进而得出结果.【详解】因为tan2，则222sin costan22sin cossincostan14 15，故答案为：25 7已知54x，则1445xx的取值范围是_.【答案】7,【分析】1144554545xxxx，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为54x，所以450 x，1144552 1574545xxxx，当且仅当14
4、545xx即32x 时等号成立.故答案为：7,.第 3 页 共 13 页 8已知0，若将角的终边顺时针旋转23，所得的角的终边与角3的终边重合.则角_.【答案】23【分析】角的终边顺时针旋转23得到23，根据终边相同的角的关系列出方程，根据0求得的值.【详解】角的终边顺时针旋转23得到23，它与3边重合，所以22,Z33kk，所以,Z3kk，又0，所以只能令1k，23.故答案为：23 9已知幂函数223Znnyxn的图象与两坐标轴均无公共点，且其图象关于y轴对称，则n的值为_.【答案】1或3【分析】根据幂函数图象与y轴无公共点可知2230nn，然后再根据函数为偶函数可得答案.【详解】因为函数图
5、象与y轴无公共点，所以2230nn，所以13n，又因为Zn，所以n的值为1,0,1,2,3，又因为函数图象关于y轴对称，则223nn为偶数，即函数223nnyx为偶函数，当0n 或2n 时，3yx为奇函数，其图象不关于y轴对称，不满足题意；当1n 或3n时，有0yx，满足题意，当1n 时，4yx，满足题意，1n或3 故答案为：1或3 10已知3tan2,tan3,0,22，则_.【答案】74【分析】先求出的范围，然后利用两角和正切公式求出tan()的值，从而可求出.【详解】因为30,22，所以,2，第 4 页 共 13 页 因为tan2,tan3，所以tantan23tan()11tantan
6、12 3 ，所以74，故答案为：74 11已知A为锐角，1lg 1cos,lg1 cosAmnA，则lgsinA可用,m n表示为_.【答案】11lgsin22Amn【分析】2211lgsinlgsinlg 1 cos22AAA，然后利用对数的运算法则可得答案.【详解】因为A为锐角，sin0A，221111lgsinlgsinlg 1 coslg 1coslg 1 cos2222AAAAA 11111lg 1coslg221cos22AmnA，故答案为：11lgsin22Amn.12已知Ra，函数 22,011,02xaxxf xxaxax的最小值为2a，则由满足条件的a的值组成的集合是_.【
7、答案】2,3133 【分析】讨论a与0、2的大小关系，判断函数 f x在0,、,0上的单调性与最小值，根据函数 f x的最小值列方程解出实数a的值.【详解】分以下三种情况讨论：若0a 时，即当0a 时，222,22,0211,02xaxf xaxxaxax，所以，函数 f x在,0上单调递减，且 112f xa，当0 x 时，min1212f xaa，所以 min1122fxaa，解得23a，第 5 页 共 13 页 若02a 时，即当20a 时，222,22,222,011,02xaxaaxf xxaxaxaxax ，当0 x 时，211242aaf xfa，当0 x 时，2f xa.22a
8、a，所以21242aaa，整理可得2640aa，20a，解得313a （舍去）；当2a 时，即当2a 时，222,2,222,0211,02xaxaaxaf xxaxxaxax ，当0 x 时，211242aaf xfa，当0 x 时，2f xa .因为202aa，所以21242aaa，整理可得2640aa，2a ，解得313a 或313a （舍去）.综上所述，实数a的取值集合为2,3133.故答案为：2,3133.二、单选题 13如图中的图象所表示的函数的解析式为（）第 6 页 共 13 页 A31(02)2yxx B331(02)22yxx C31(02)2yxx D11(02)yxx 【
9、答案】B【分析】分段求解：分别把 0 x1 及 1x2 时的解析式求出即可【详解】当 0 x1 时，设 f（x）=kx，由图象过点（1，32），得 k=32，所以此时 f（x）=32x；当 1x2 时，设 f（x）=mx+n，由图象过点（1，32），（2，0），得3202mnmn，解得3m23n 所以此时 f（x）=3-x32函数表达式可转化为：y32 32|x1|(0 x2)故答案为 B【点睛】本题考查函数解析式的求解问题，本题根据图象可知该函数为分段函数，分两段用待定系数法求得 14条件甲：sinsinxy是条件乙：xy的（）A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必
10、要条件【答案】B【分析】直接根据必要非充分条件的概念结合三角函数的运算即可得结果.【详解】若sinsinxy，则2,Zxykk或2,Zxykk；若xy，则sinsinxy显然成立，第 7 页 共 13 页 综上可得：条件甲：sinsinxy是条件乙：xy的必要非充分条件，故选：B.15已知0 x是函数 12(0)xf xxx的零点，则（）A02,3x B01,2x C00,1x D03,4x 【答案】C【分析】根据零点存在性定理可得答案.【详解】因为 12xf xx在0,是增函数，且其图象是连续不断的一条曲线，1220,12 1102ff ，所以00,1x.故选：C 16角是第四象限角，其终边
11、与单位圆交点43,55P，把角顺时针旋转2得角，则角终边与单位圆焦点P的坐标为（）A3 4,5 5 B34,55 C4 3,5 5 D43,55【答案】B【分析】由三角函数的定义得到34sin,cos,552，再利用诱导公式求解.【详解】解：由题意知：34sin,cos,552，则4sinsinsincos225 ，3coscoscossin225，所以角终边与单位圆焦点P的坐标为34,55，故选：B 三、解答题 17已知函数 233log2 log2f xxax.(1)当12a 时，求不等式 0f x 的解集；(2)当1,27x时，3f x 恒成立，求实数a的取值范围.第 8 页 共 13
12、页【答案】(1)1,39；(2)(,1.【分析】（1）根据对数函数的单调性，结合因式分解法进行求解即可；（2）利用换元法，结合常变量分离法、基本不等式进行求解即可.【详解】（1）当12a 时，233loglog2f xxx，由 233333loglog20log2log102l0og1xxxxxxf 213339xx，所以不等式 0f x 的解集为1,39；（2）令3log xt，因为1,27x，所以(0,3)t，22322312f xtattat ，因为(0,3)t，所以由21122tatatt ，因为(0,3)t，所以1122tttt，当且仅当1tt时取等号，即1t 时，取等号，因此当1,
13、27x时，3f x 恒成立，只需221aa，所以实数a的取值范围为(,1.18记函数 421xfxx定义域为 A，21 2g xxaax定义域为B.(1)求 A，B；(2)若BA，求实数a的取值范围.【答案】(1)1Ax x 或2x；当1a ，1,2Baa；当1a ，2,1Ba a；(2)1,11,3,2 【分析】（1）求解两个函数有意义的条件，根据不等式的解集得到定义域 A，B；（2）若BA，由两个集合的范围分类讨论，列不等式求实数a的取值范围.【详解】（1）函数 421xfxx有意义，则有4201xx，解得1x或2x，所以函数 f x的定义域1Ax x 或2x.第 9 页 共 13 页 函
14、数 21 2g xxaax有意义，则有1 20 xaax，得 120 xaxa，当1a ，有12aa，不等式解得12axa；当1a ，有12aa，不等式解得21axa；当1a，有122aa，不等式无解.所以当1a ，函数 g x的定义域1,2Baa；当1a ，函数 g x的定义域2,1Ba a；（2）若BA，当1a 时，有21a 或12a，解得112a 或3a；当1a 时，有11a 或22a，解得1a .所以实数a的取值范围为1,11,3,2 19设sincosPabc.(1)若2,1Pabc，求出满足条件的角的解集；(2)当3,1ab时，若存在2,2P 使关于的方程sincosPabc在02
15、，时均有解，求实数 c的取值范围.【答案】(1)|24xk或2,Z42kk(2)5,12 【分析】（1）由2,1Pabc，得2sin42求解；（2）由3,1ab得到3sincos2sin6tcc，求得 t的值域 A，根据题意，由2,2A 求解.【详解】（1）解：由2,1Pabc，得sincos1，即2sin42，则2,Z44kk或32,Z44kk，则2,Zkk或2,Z2kk，所以满足条件的角的解集是|24xk或2,Z42kk；（2）当3,1ab时，3sincos2sin6tcc，第 10 页 共 13 页 因为02，所以2,663，则1sin,162，所以1,12tcc，因为存在2,2P 使关
16、于的方程sincosPabc在02，时均有解，所以12212cc，解得512c，所以实数 c 的取值范围是 5,12.20为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为116t ay（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，求：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时候后，学生才能回到教室.【答案】（1）0.
17、110,(00.1)1,(0.1)16tttyt，（2）0.6【分析】（1）利用函数图像，借助于待定系数法，求出函数解析式，（2）结合图像可知由药物释放完毕后的函数解析式中的0.25y 可求得结果【详解】（1）由图可知直线的斜率为1100.1k，所以图像中线段的方程为10(00.1)ytt，因为点(0.1,1)在曲线116t ay上，所以0.11116a，解得0.1a，所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为第 11 页 共 13 页 0.110,(00.1)1,(0.1)16tttyt，（2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于 0
18、.25 毫克，学生也不能进入教室，所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到 0.25 毫克以下时，学生方可进入教室，即0.110.2516t，解得0.6t，所以从药物释放开始，至少需要经过0.6小时，学生才能回到教室 21已知函数 f x在定义域D上是严格增函数.(1)若 221f xxx，求 f x的值域；(2)若 12241log,(04)214xxxf xDt ttx 的值域为,m n，求mn的值；(3)若0,D，且对定义域D内任意自变量x均有 11fxffxx成立，试求 f x的解析式.【答案】(1)2,2；(2)4；(3)152fxx.【分析】（1）先求出函数的定义域，然后根据函数的单
19、调性可求出函数的最值，从而可求出函数的值域；（2）根据函数在D上是严格增函数，可得 12241log214tttmftt ，12241log214tttnf tt，然后相加化简可得答案；（3）由已知可得111()()11()ff xfff xxxf xx，则有 11()1()fff xf xxf xx，再根据其单调性和已知条件可得 111()xf xf xx，从而可求出 f x的解析式.第 12 页 共 13 页【详解】（1）由22010 xx，解得11x，因为22yx和1yx 在 1,1上均为增函数，所以 221f xxx在 1,1上为增函数，所以min()(1)221(1)2f xf ，m
20、ax()(1)222f xf，所以 f x的值域为2,2；（2）因为 12241log,(04)214xxxf xDt ttx 的值域为,m n，且 f x在定义域D上是严格增函数，所以 12241log214tttmftt ，12241log214tttnf tt，所以()()mnftf t 112224241log1log214214tttttttt 1222442log212144ttttttt 22(21)2log211tt 224；（3）因为对定义域D内任意自变量x均有 11fxffxx成立，所以111()()11()ff xfff xxxf xx，所以 111()()1()f xff xfff xf xxxf xx，所以 11()1()fff xf xxf xx，因为函数 f x在定义域D上是严格增函数，所以11()1()ff xxxf xx，第 13 页 共 13 页 所以 111()xf xf xx，所以 211fxfxxfxfxxfxfxxx，所以 210 xfxf xx，解得 152fxx，因为函数 f x在定义域D上是严格增函数，所以 152fxx.