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1、第 1 页 共 14 页 2021-2022 学年广西钟山县钟山中学高二上学期第三次（12 月）月考数学试题 一、单选题 1已知集合1,0,1M ，0,1,2N，则MN A1,0,1 B1,0,1,2 C1,0,2 D 0,1【答案】B【详解】试题分析：由题意知1,0,1,2MN，故选 B.【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题.2等差数列 na的前n项和nS，若132,12aS，则6a A8 B10 C12 D14【答案】C【详解】试题分析：假设公差为d,依题意可得13 23 212,22dd .所以62(6 1)212a.故选 C.【解析】等差数列的性质.3已知函数 21,02,0
2、 xxf xx x若 10f a，则a的值是（）A3 B3 C3 D5【答案】B【分析】根据分段函数解析式及函数值，解方程即可确定a的值，舍去不合要求的解即可.【详解】函数 21,02,0 xxf xx x 当0 x 时，21f xx，若 10f a，即2110a，解得3a 或3a（舍）；当0 x 时，2f xx，若 10f a，即210a，解得5a （舍）；综上可知，a的值为3 故选：B 第 2 页 共 14 页【点睛】本题考查了分段函数的求值，根据函数值求自变量的值，属于基础题.4设变量,x y满足约束条件0121xyxyxy，则目标函数5zxy的最大值为（）A2 B3 C4 D5【答案】
3、D【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可求得目标函数的最大值.【详解】画出不等式组表示的平面区域如下图所示：目标函数5zxy，可整理为5yxz，与直线5yx 平行.数形结合可知，当且仅当目标函数过点1,0A时取得最大值.则max5 105z .故选：D 5若两个正实数,x y满足211xy，则2xy的最小值为 A8 B6 C4 D2【答案】A【分析】根据21xy=1 可得 x+2y=（x+2y）（21xy），然后展开，利用基本不等式可求出最值，注意等号成立的条件【详解】两个正实数 x，y 满足21xy=1，x+2y=（x+2y）（21xy）=4+4yxxy4+24y xxy=8，当
4、且仅当4yxxy时取等号即 x=4，y=2，故 x+2y 的最小值是 8 故选：A【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是“1”的活用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题 6要得到函数4ysinx（3）的图象，只需要将函数4ysin x的图象 第 3 页 共 14 页 A向左平移12个单位 B向右平移12个单位 C向左平移3个单位 D向右平移3个单位【答案】B【详解】因为函数sin 4sin4()312yxx，要得到函数43ysinx的图象，只需要将函数4ysin x的图象向右平移12个单位 本题选择 B 选项.点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取 x的系数，进行周期变换时，
5、需要将 x的系数变为原来的 倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同 7已知双曲线 C：22221xyab的离心率 e54，且其右焦点为 F2(5，0)，则双曲线 C 的方程为（）A22143xy B221916xy C221169xy D22134xy【答案】C【解析】根据焦点坐标，可求得 c 的值，根据离心率，可求得 a 的值，根据 b2c2a2，可求得 b的值，即可求得答案.【详解】根据右焦点为 F2(5，0)，可得 c5，又离心率为54cea，所以 a4，所以 b2c2a29，所以双曲线方程为221169xy，故选：C.8已知 p：2x；q：220 xx，则 p
6、是 q的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】分别求出 p、q对应的不等式的解，进而可选出答案.【详解】由题意，222xx ，即 p：22x；第 4 页 共 14 页 22012xxx ，即 q：12x，所以qp，pq，即 p是 q 的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查绝对值不等式及一元二次不等式的解法，考查命题的充分性与必要性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于基础题.9已知函数 3logf xx，01?27x，则不等式 012f x成立的概率是 A13 B16 C313 D29【答案】C【详解】区间127，的长度为26，满足不
7、等式 012f x即不等式301log2x，解答039x，对应区间 39，长度为6，由几何概型公式可得使不等式 012f x成立的概率是632613；故选：.C 10函数ln|1|()1xf xx的大致图像为 A B C D【答案】A【分析】此题主要利用排除法，当x 时，可得 0f x，故可排除 C，D，当x 时，可排除选项 B，故可得答案.【详解】当x 时，ln10 x，10 x，0f x，故可排除 C，D 选项；当x 时，ln10 x，10 x，0f x，故可排除 B 选项，故选 A.【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正
8、确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括,0,0 xxxx 等.第 5 页 共 14 页 11三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PAPBPC2，PAPB，三棱锥PABC的外接球的表面积为()A3 B12 C6 D2【答案】B【分析】根据题中条件可以通过补成长方体的方式得到外接球的半径.【详解】三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PAPBPC2，PABPACPBC，PAPB,PAPC,PBPC，以PA,PB,PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球
9、也是三棱锥PABC外接球，长方体的对角线为2 3，球直径为2 3，半径为R3，因此，三棱锥PABC外接球的表面积是 224R4312，故选 B.【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 4R2a2b2c2求解 12已知函数 Ryf xx,满足：2f xf x，且当1,1x 时，2f
10、xx，那么方程 lgf xx的解的个数为（）A7 个 B8 个 C9 个 D10 个【答案】D【分析】利用图象法，作出 f x和lgyx的图象，根据交点的个数即可求解.【详解】因为 2f xf x，所以 f x是周期为 2 的周期函数.当1,1x 时，2f xx，所以作出 f x和lgyx的图象如图所示：第 6 页 共 14 页 结合图象，因为 f x和lgyx的图象有 10 个交点，所以方程 lgf xx的解的个数为 10 个.故选：D 二、填空题 13某班某次数学考试成绩好、中、差的学生人数之比为3:5:2，现用分层抽样方法从中抽取容量为 20 的样本，则应从成绩好的学生中抽取_名学生.【
11、答案】6【分析】根据数学考试成绩好、中、差的学生人数之比为3:5:2，确定成绩好的学生的比例，列式计算可得答案.【详解】因为某次数学考试成绩好、中、差的学生人数之比为3:5:2，故用分层抽样方法从中抽取容量为 20 的样本，则应从成绩好的学生中抽取3206352 名学生，故答案为：6 14已知向量,a b，满足26abab，1,2ab，则a与b的夹角为_.【答案】3.【分析】设a与b的夹角为0,，由26abab，利用数量积的运算法则 可得答案.【详解】设a与b的夹角为0,，由26abab 得 2226aa bb ，即1 2cos86，解得1cos2，因为0,，所以3，所以a与b的夹角为3.故答
12、案为：3.15某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是_ 第 7 页 共 14 页 【答案】16 216【分析】由三视图还原出原几何体，确定几何体为正四棱锥，再求解侧面三角形的高，从而可得其表面积.【详解】由三视图可知此四棱锥为正四棱锥，底面边长为 4，高为 2，所以侧面三角形底边上的高为22222 2，所以四棱锥的侧面积为14(4 2 2)16 22S 所以该四棱锥的表面积为16 216.故答案为：16 216.16设 P 是椭圆2294xy=1 上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则 cosF1PF2的最小值是_【答案】19【分析】方法一：当点P是椭圆的短轴的端点时,12FPF取得最大
13、值,此时12cosFPF可取得最小值.【详解】方法一：（二级结论应用）椭圆221,3,294xyab,945c.当点P是椭圆的短轴的端点时,12FPF取得最大值,1215sin23cFPFa,12cosFPF的最小值212112sin122FPF 25139.故答案为：19.方法二：在12FPF中，因为1226PFPFa，5c，22122211221cos2PFPFPFFFPFFPF 第 8 页 共 14 页 22121212242PFPFPFPFcPFPF 21212161681111992PF PFPFPF .当且仅当123PFPF时取等号.故答案为：19.三、解答题 17 树立和践行“绿
14、水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出 200 人，并将这 200 人按年龄分组：第 1 组15,25)，第 2 组25,35)，第 3 组35,45)，第 4 组45,55)，第 5 组55,65)，得到的频率分布直方图如图所示 (1)求出a的值；求出这 200 人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；(
15、2)现在要从年龄较小的第 1，2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 3 人进行问卷调查，求第 2 组恰好抽到 2 人的概率.【答案】(1)0.035a,平均数为 41.5 岁,中位数为 42.1 岁(2)35P 【分析】(1)由频率分布直方图能求出a,平均数和中位数.(2)第 1,2 组的人数分别为 20 人,30 人,从第 1,2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人,则第 1,2 组抽取的人数分别为 2 人,3 人,分别记为 12123,a a b b b.设从 5 人中随机抽取 3 人,利用列举法能求出第第 9 页 共 14 页 2 组中抽到 2 人的概率.【详解】
16、（1）由频率分布直方图得:10(0.0100.0150.0300.010)1,a解得0.035a.平均数为200.1300.15400.35500.3600.141.5岁.设中位数为x,则100.010100.015(35)0.0350.5x42.1x 岁.（2）第 1,2 组的人数分别为 20 人,30 人,从第 1,2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人,则第 1,2 组抽取的人数分别为 2 人,3 人,分别记为 1a,2123,a b b b.设从 5 人中随机抽取 3 人,为:121122123112,a a ba a ba a ba b b 113123212,a b ba b ba
17、b b 213223123,a b ba b bb b b 共 10 个基本事件,其中第 2 组恰好抽到 2 人包含:112113,a b ba b b 123212213,a b ba b ba b b，223,a b b,共 6 个基本事件,从而第 2 组中抽到 2 人的概率 63105P.18已知 a，b，c 分别为ABC三个内角 A，B，C 的对边，且3cos2sinaAcC.（1）求角A的大小；（2）若5bc，且ABC的面积为3，求 a 的值.【答案】()23；()21.【分析】（）由题意结合正弦定理边化角，整理计算可得sin16A，则23A.（）由三角形面积公式可得：4bc，结合余
18、弦定理计算可得221a，则21a.【详解】（）由正弦定理得，即，第 10 页 共 14 页（）由：可得，由余弦定理得：，.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围 19设数列 na的前n项和为nS，12a，12nnaS(*Nn).(1)求数列 na的通项公式；(2)设 221 lognnba，求数列11nnb b的前n项和nT.【答案】(1)*2Nnnan；(2)69nnTn.【分析】（1）利用12nnnSSan得到
19、12nnaa(2n，*Nn)，从而可得数列 na为等比数列，进而可得数列 na的通项公式；（2）求出nb，再利用裂项相消法求nT即可.【详解】（1）2124aS，由12nnaS，可得122nnaSn .-得，11nnnnnaaSSa，即12nnaa(2n，*Nn).故22222nnnaan.当1n 时，112a，所以*2Nnnan.（2）由（1）得，221log221nnbn，第 11 页 共 14 页 所以11111121 232 2123n nb bnnnn.所以1 1111111 11.2 355721232 32369nnTnnnn.20如图，在正三棱柱111ABCABC中，D为AB的
20、中点 （1）证明：1/BC平面1ACD；（2）已知2AB，11ACBC，求多面体111BCDABC的体积【答案】（1）证明见解析；（2）5 66【分析】（1）连接1AC，设11ACACO，连接OD，可得1/OD BC，从而可证1/BC平面1ACD；（2）多面体111BCDABC的体积等于三棱柱111ABCABC的体积减去三棱锥1AADC的体积，取E为AC的中点，连接BE，1EC，证明1CCBE，111ECCCC A，从而求得1CC，求出三棱柱111ABCABC的体积和三棱锥1AADC的体积，即可得出答案.【详解】（1）证明：连接1AC，设11ACACO，连接OD 由正三棱柱111ABCABC，
21、得O为1AC的中点，又因为在正三棱柱111ABCABC中，D为AB的中点，所以1/OD BC，又因为1BC 平面1ACD，OD 平面1ACD，所以1/BC平面1ACD；（2）解：取E为AC的中点，连接BE，1EC，所以BEAC 因为1CC 平面ABC，所以1CCBE 第 12 页 共 14 页 又1CCACC，所以BE 平面11ACC A，则1BEAC 因为11ACBC，1BEBCB，所以1AC 平面1BEC，所以11ACEC，从而111ECCCC A，所以1111CCC AECCC，解得12CC 所以三棱柱111ABCABC的体积为232264 三棱锥1AADC的体积为21136223246
22、，则多面体111BCDABC的体积为65 6666 21已知函数 f(x)=x2+bx+c(b，cR)，且 f(x)0 的解集为1，2(1)求函数 f(x)的解析式；(2)解关于 x的不等式 mf(x)2(xm1)(m0)；(3)设 g(x)=2f(x)+3x1，若对于任意的 x1，x22，1都有|g(x1)g(x2)|M 求 M的最小值【答案】(1)22f xxx(2)见解析(3)1516 【分析】(1)不等式解集端点就是方程的解，待定系数法可求解；(2)将不等式整理得210.mxx，再对 m进行分类讨论；(3)先得出 1,116g x，将 12g xg xM恒成立问题在化为 12maxg
23、xg xM求解.第 13 页 共 14 页【详解】（1）f(x)0 的解集为1，2，1102420fbcfbc，12bc 22f xxx（2）21mfxxm 2221m xxxm，210.mxx 当 m=0 时，不等式的解集为()1，；当 0m2 时，不等式的解集为2(,)(1,)m。（3）3122322xxfxxg x 22,1,234,0 xxx 22321,116xxg x 12g xg xM恒成立，等价于 12maxg xg xM；等价于 maxming xg xM；即11511616M M 的最小值为 1516.22已知抛物线2:20C ypx p与直线240 xy相切.（1）求该抛
24、物线的方程；（2）在x轴的正半轴上，是否存在某个确定的点 M,过该点的动直线l与抛物线 C 交于 A,B 两点，使得2211AMBM为定值.如果存在，求出点 M 的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)28yx；(2)(4,0)M.第 14 页 共 14 页【详解】试题分析：（1）直线与抛物线相切，所以有28320pp，可解得4p，得抛物线方程.(2)联立直线与抛物线有12128,8yyt y ym，把目标式坐标化可得222122222222222212121111114|41111yytmAMBMy ymtytytt与t无关，可得4m.试题解析：(1)联立方程有，22402xyypx，有22 280ypyp，由于直线与抛物线相切，得28320,4ppp，所以28yx.(2)假设存在满足条件的点,0(0)M mm，直线:l xtym，有28xtymyx，2880ytym，设1122,A x yB x y，有12128,8yyt y ym，22222111|1AMxmyty，22222222|1BMxmyty，222122222222222212121111114|41111yytmAMBMy ymtytytt，当4m时，2211|AMBM为定值，所以4,0M.