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1、湖北省部分市州 2023 年元月高三年级联合调研考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知复数 z 满足1 2i34iz（其中 i 为虚数单位），则z（）A1 B2 C5 D5 2已知集合11Mxx，11Nx yx，则集合1x x（）AMN BMN CMNR DMNR 3有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（）A平均数 B第 50 百分位数 C极差 D众数 4已知,4 2，且2 2sin23，则sin的值为（）A33 B2 55 C63 D
2、3 1010 5已知函数 ln,0,e,0,xxxf xxxx则函数1yfx的图象大致是（）A B CD 6已知数列 na的前 n 项和为nS，且11nnSa，12a，则2022S的值为（）A20222 B20203 2 C202322 D20213 21 7已知1F，2F分别为双曲线：222210,0 xyabab的左，右焦点，点 P 为双曲线渐近线上一点，若12PFPF，121tan3PF F，则双曲线的离心率为（）A53 B54 C2 D2 8在三棱锥PABC中，22ABBC，60ABC，设侧面 PBC 与底面 ABC 的夹角为，若三棱锥PABC的体积为33，则当该三棱锥外接球表面积取最
3、小值时，tan（）A34 B4 33 C3 D4 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9如图所示，在边长 1 为的正六边形 ABCDEF 中，下列说法正确的是（）AABCDBF B0ADEBCF C1AD AB DAB BCAB AF 10已知实数 a，b，c 满足lne1bcac，则下列关系式中可能成立的是（）Aabc Bacb Ccab Dcba 11已知函数 2sinsin2f xxx，则下列说法正确的是（）A是 f x的一个周期 B f x的图象关于点,02中
4、心对称 C f x在区间0,2上的零点个数为 4 D f x的最大值为3 38 12 已知正方体1111ABCDABC D的棱长为3，P为正方体表面上的一个动点，Q为线段1AC上的动点，12 3AP 则下列说法正确的是（）A当点 P 在侧面11A ABB（含边界）内时，1D P为定值21 B当点 P 在侧面11BCC B（含边界）内时，直线1AP与直线11AB所成角的大小为3 C当点 P 在侧面11BCC B（含边界）内时，对任意点 P，总存在点 Q，使得1DQCP D点 P 的轨迹长度为5 32 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13411xxx的展开式中，常数项为
5、_ 14已知红箱内有 5 个红球、3 个白球，白箱内有 3 个红球、5 个白球第一次从红箱内取出一球，观察颜色后放回原处；第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内再取出一球，则第二次取到红球的概率为_ 15过抛物线22ypx焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，点 A，B 在抛物线准线上的射影分别为A，B，10AB ，点 P 在抛物线的准线上 若 AP 是AAB的角平分线，则点 P 到直线 l 的距离为_ 16已知关于 x 的不等式eln0axxb恒成立，则ba的最大值为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤 17（10 分）已知
6、ABC内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，sin2sinCB，且4 2c （1）求边 b 的值；（2）若 D 为边 BC 的中点，3cos4CAD，求ABC的面积 18（12 分）已知数列 na中，对任意的nN，都有14nnaan（1）若 na为等差数列，求 na的通项公式；（2）若13a，求数列 na的前 n 项和nS 19（12 分）如图所示，在四棱锥PABCD中，ADBC，90BAD，122ABADBC，2PAPBPD（1）证明：PABD；（2）求直线 BC 与平面 PCD 所成角的余弦值 20（12 分）2022 年 11 月 21 日 第 22 届世界杯在卡塔尔开幕 小组赛阶
7、段，已知某小组有甲、乙、丙、丁四支球队，这四支球队之间进行单循环比赛（每支球队均与另外三支球队进行一场比赛）；每场比赛胜者积 3 分，负者积 0 分；若出现平局，则比赛双方各积 1 分若每场比赛中，一支球队胜对手或负对手的概率均为14，出现平局的概率为12（1）求甲队在参加两场比赛后积分 X 的分布列与数学期望；（2）小组赛结束后，求四支球队积分均相同的概率 21（12 分）已知1F，2F为椭圆C：222210 xyabab的左、右焦点 点M为椭圆上一点，当12FMF取最大值3时，1216MFMFMF（1）求椭圆 C 的方程；（2）点 P 为直线4x 上一点（且 P 不在 x 轴上），过点 P
8、 作椭圆 C 的两条切线 PA，PB，切点分别为A，B，点B关于x轴的对称点为B，连接AB交x轴于点G 设2AFG，2BF G的面积分别为1S，2S，求12SS的最大值 22（12 分）设函数 22cos2sin2f xaxxx（1）当1a 时，求 f x在0,2上的最值；（2）对0,x，不等式2 2cos2xfax恒成立，求实数 a 的取值 范围 湖北省部分市州 2023 年元月高三年级联合调研考试数学 参考答案、提示及评分细则 一、单项选择题 1C 2D 3A 4C 5B 6D 7B 8B 二、多项选择题 9BC 10ABC 11ABD 12ACD 三、填空题 136 14 1732 15
9、5 161e 17解：（1）因为sin2sinCB，由正弦定理得：2cb，且4 2c，所以4b （2）延长 AD 至点 E，满足ADDE，连接 EB，EC，在EBC中，由余弦定理得：2223cos24AEACCECAEAE AC，因为4AC，4 2EC，代入上式整理得：8AE，所以4AD 所以122sin4 72ABCADCSSAD ACADC 18解：（1）由条件14nnaan，可得：124aa，238aa，因为 na为等差数列，设公差为 d，由上式可得：11a，2d，所以 na的通项公式为1121naandn（2）由条件14nnaan，可得：1241nnaan，两式相减得：14nnaa，因
10、为13a，所以21a，所以数列 na的奇数项是首项为 3，公差为 4 的等差数列；偶数项是首项为 1 公差为 4 的等差数列 所以当 n 为偶数时，2112 22 234 142222nn nn nnnSSSn 奇偶；当 n 为奇数时，2211212nnnSSannn 综上：22,2,nn nSnn为偶数为奇数 19解：（1）连接 BD，设 BD 的中点为 O，连接 OA，OP 因为ABAD，所以OABD，因为PBPD，所以OPBD，又OAOPO，所以BD 平面 OAP，因为PA平面 OAP，所以BDPA（2）因为90BAD，所以OAOB，又PAPB，所以POAPOB，所以OPOA，又OABD
11、O，所以OP 平面 ABCD 如图，以 O 为原点，OB，OP 所在直线分别为 x 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则0,1,0A，1,0,0B，1,2,0C，1,0,0D，0,0,3P，所以1,1,0AB，0,1,3AP，0,2,0DC，1,0,3DP，2,2,0BC ，平面 PCD 的法向量分别为000,nxy z，所以0,0,n DCn DP即00020,30,yxz取03x，则3,0,1n，设BC与平面 PCD 所成的角为，则2 36sincos,484BC n 则直线 BC 与平面 PCD 的夹角余弦值为104 20解：（1）甲队参加两场比赛后积分 X 的取值为 0，1，2，3，4，6
12、所以随机变量 X 的分布列为：X 0 1 2 3 4 6 P 116 14 14 18 14 116 随机变量 X 的数学期望：1111115012346164484162E X （2）由于小组赛共打 6 场比赛，每场比赛两个球队共积 2 分或者 3 分；6 场比赛总积分的所有情况为 12 分，13 分，14 分，15 分，16 分，17 分，18 分共 7 种情况，要使四支球队积分相同，则总积分被 4 整除，所以每只球队总积分为 3 分或者 4 分 若每支球队得 3 分：则 6 场比赛都出现平局，其概率为：1612P；若每支球队得 4 分：则 6 场比赛出现 2 场平局，则每支球队 3 场比
13、赛结果均为 1 胜平 1 负，其概率为：25111111664444224P 所以四支球队积分相同的概率为1265161124512PPP 21（1）依题意有当 M 为椭圆短轴端点时 12FMF最大，此时123FMF，则 12FMF为正三角形，则2ac 且121122cos366MFMFMFMO MFb aba 2 3ba，又222abc，2a，3b，1c 故椭圆方程为22143xy（2）设11,A x y，22,B xy，4,0Ptt，则依题意有 PA：11143x xy y，PB：22143x xy y（注：椭圆上一点的切线方程结论要求证明，没有证明扣一分，本答案证明过程略）因 PA，PB
14、 都过点4,Pt，则1113y tx，2213y tx 则 AB 方程为13ytx，即 AB 过定点1,0 故设AB 方程为1xmy，0m，联立2213412xmyxy，2234690mymy 122634myym，122934y ym，又22,B xy 直线AB方程为：211121yyyyxxxx，令0y 得 122112211212121212112Gmyymyyx yx ymy yyyxyyyyyy 21212293421214634y ymmmmyym ，4,0G 122121226133222 34mSSF Gyyyym 29993 343442 123mmmm 当且仅当43 mm即
15、243m，2 33m 时取等号 故12SS最大值为3 34 22解：（1）1a 时，22cos2sin2f xxxx，0,2x 设2xt，0,t即 2cossin2cossing tttttttt 2cossincos22cossin0g tttttttt g t在0,上单调递增 min00g tg，max 2cossin3g tg，即 min0f x，max3f x（2）2 2cos2xfax即22cossin2 2cos2xaxxax 即2cossin0axxx，对0,x上恒成立，设 2cossinh xaxxx，00h 当1a 时，2cossinh xxxx，由（1）知0,x时，2cossin0 xxx，0h x 当,x时，2cossin1 cossin0 xxxxxxx 当0a 时，2cossinh xaxxx，0,2x时，0h x，不合题意 当01a时，2cossincos2cossincosh xaaxxxxaaxaxxx，01ha 21 sincoshxaxaxx 当0,2x时，0hx，h x在0,2单调递增 又2022ha，010ha 存在00,2x使 00h x，当00,xx时，0h x h x在00,x单调递减，此时 00h xh，不合题意 综上1a