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1、第 1 页 共 15 页 2022-2023 学年上海市上海中学高一上学期期末练习数学试题 一、填空题 1函数 21f xx（1x）的反函数为_.【答案】11fxx 0 x 【分析】按定义直接求即可.【详解】1x，则 201f xx，故 1xf x，故反函数为 11fxx 0 x 故答案为：11fxx 0 x.2函数12xyx11x 的值域为_【答案】0,2【分析】利用常数分离的方法得到13=122xyxx，然后利用变量的取值范围进行求解即可【详解】由13=122xyxx，又11x，则12+3x，则3132+x，所以30122+x，故函数12xyx11x 的值域为0,2 故答案为：0,2 3方
2、程233log45log1xxx的解是x _【答案】6【分析】根据对数真数大于零和对数函数的单调性可直接构造不等式组求得结果.【详解】由233log45log1xxx得：2245010451xxxxxx，即2150156160 xxxxxxx，解得：6x.故答案为：6.第 2 页 共 15 页 4若函数 2,0,(1)(2),0,xxf xf xf xx则2023f_.【答案】1【分析】由函数的定义得出在0 x 时，函数具有的周期性，利用周期性求函数值【详解】当 x0 时，f(x)=f(x1)f(x2)，f(x1)=f(x)f(x1)，得，f(x1)=f(x2)，0 x 时，f(x)的周期为
3、6，f(2 023)=f(33761)=f(1)=f(0)f(1)=2021=1.故答案为：1 5函数2lg(43)yxx的递增区间是_【答案】(3,)【分析】先求出定义域，在定义域内判断函数的单调性【详解】由题意2430 xx，则1x或3x，易知243uxx在(,1)是递减，在(3,)上递增，而lgyu是增函数 函数2lg(43)yxx的递增区间是(3,)故答案为：(3,)【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，掌握对数函数的性质是解题关键 6幂函数2357mymmx的图像与两条坐标轴均没有公共点，则实数m的取值集合是_.【答案】2,3【分析】根据幂函数的定义及性质列方程与不等式求解即可得实
4、数m的取值集合.【详解】解：因为幂函数2357mymmx，所以22571560mmmm，解得2m 或3m，幂函数2357mymmx的图像与两条坐标轴均没有公共点，所以30m，即3m，所以2m 或3m 均符合题意，则实数m的取值集合是2,3.故答案为：2,3.7不等式2233213xx的解为_.第 3 页 共 15 页【答案】24,3【分析】根据幂函数的性质确定幂函数 23f xx的奇偶性与单调性即可解不等式.【详解】解：幂函数 2323f xxx的定义域为R，且函数在0,上单调递增，又 2323fxxxfx，则 f x为偶函数，所以 f x在,0上单调递减，则由不等式2233213xx可得21
5、3xx，平方后整理得231080 xx，即3240 xx，解得243x，则不等式的解集为24,3.故答案为：24,3.8已知函数 yf x，xD，若存在常数C，对任意1xD，存在唯一的2xD，使得 12f xf xC，则称常数C是函数 f x在D上的“倍几何平均数”.已知函数 2xf x，1,2x，则 f x在1,2上的“倍几何平均数”是_.【答案】24【分析】由“倍几何平均数”的定义可知C即为函数()yf x，xD最大值与最小值的几何平均数，根据函数 2xf x在 1,2x上的单调性，即可求得 f x在1,2上的“倍几何平均数”.【详解】解：由已知中倍几何平均数的定义可得C即为函数()yf
6、x，xD最大值与最小值的几何平均数 又函数 2xf x，在 1,2x为减函数 故其最大值1122M，最小值2124m 故112244CM m.故答案为：24.9定义在0,上的函数 yf x的反函数为 1yfx，若 41,0,0 xxg xfxx为奇函数，则 12fx的解为_.【答案】1516#0.9375【分析】由奇函数的定义，当0 x 时，0 x，代入已知解析式，即可得到所求0 x 的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值 第 4 页 共 15 页【详解】解：若 41,0,0 xxg xfxx为奇函数，可得当0 x 时，0 x，即有41xgx，由 g x为奇函数，
7、可得 g xgx，则 1 4xg xf x，0 x，由定义在0,上的函数 yf x的反函数为 1yfx，且 12fx，可由 21521416f，可得 12fx的解为1516x 故答案为：1516 10已知函数 220232023log120232xxf xxx，若 2564faf a，则实数a的取值范围是_.【答案】6,1【分析】首项确定函数的定义域为xR，然后可得fx，观察可得 4f xfx，故不等式 2564faf a可转换为256fafa；再利用指数函数、对数函数、函数定义证明可判断 f x在xR上的单调性，故不等式解256fafa，即256aa，解不等式可得实数a的取值范围.【详解】解
8、：因为 220232023log120232xxf xxx，定义域满足210 xx，解得xR，所以220232023212023log1202322023log202321xxxxfxxxxx 220232023log120232xxxx，故 4f xfx，所以 224f afa，则不等式 2564faf a，转化为 22256faf af afa，即256fafa，第 5 页 共 15 页 又函数2023xy 在xR上单调递增，2023xy在xR上单调递减，12,Rx x，且设12xx，所以 221222221122121212221211111111xxxxxxxxxxxxxx 22221
9、211221212121222222212121211111111111xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 又2211221010 xxxx ，因为12xx，所以120 xx，所以22112211xxxx，由于函数2023logyx在0,x上单调递增，所以22202311202322log1log1xxxx，故函数22023log1yxx在xR上单调递增，所以由函数单调性的性质可得 220232023log120232xxf xxx在xR上单调递增，故256fafa，可得2256560610aaaaaa，解得61a，所以实数a的取值范围是6,1.故答案为：6,1.11若函数 24214
10、21433xxfxxxx有零点，则其所有零点的集合为_.（用列举法表示）.【答案】3,1,1,3【分析】注意到 21123xxfxxx.令 0f x，结合0 x 时，偶函数 21123，xxg xxh xx均在0,上单调递增可得答案.【详解】注意到 21123xxfxxx，令 0f x，得2110 xx或230 xx.令 21123，xxg xxh xx，注意到 ,g xh x均为偶函数，310gh.又0 x 时，函数2xy 与函数yx在0,上单调递增，则 21123，xxg xxh xx在0,上单调递增，故 ,g xh x在0,上有唯一零点，得21103xxx，第 6 页 共 15 页 23
11、01xxx.则 f x所有零点的集合为3,1,1,3.故答案为：3,1,1,3.12已知定义在 R 上的奇函数 f x满足：2f xf x，且当01x时，2logf xxa，若对于任意 0,1x，都有221 log 3fxtx，则实数t的取值范围为_.【答案】1722t 【分析】先由题给条件求得函数 f x的单调区间对称轴对称中心，进而将221 log 3fxtx 转化为关于实数t的不等式组，解之即可求得实数t的取值范围.【详解】定义在 R 上的奇函数 f x满足 00f，则2log0a，则1a，又由 2f xf x 可得，24f xf xf x，则函数 f x的最小正周期为 4，由 2f x
12、f xfx，可得函数 f x有对称轴1x，当01x时，2log1f xx，单调递增，由奇函数 f x图像关于原点对称可得，当10 x 时，2log1f xx ，单调递增，则函数 f x在1,1单调递增，又函数 f x有对称轴1x，则函数 f x在 1,3单调递减，又在1,0 x 内，由 21 log 3f x ，即223log11 logx ，可得12x ，又函数 f x有对称轴1x，则52x 时，21 log 3f x ，则在1 3,x 内，由 21 log 3f x ，可得1522x，令2()g xxtx，0,1x，由任意 0,1x，都有221 log 3fxtx，又1 5(0)0,2 2
13、g，则 g x的值域是1 5,2 2的子集，当0t，即02t时，()g x在 0,1单调递减，()1,0g xt 第 7 页 共 15 页 则1,0t 1 5,2 2，则0112tt ，不等式组无解，不符合题意；当01t，即1022t时，()g x在1x 时取最小值，在2tx 时取最大值，则2()1,4tg xt 则21,4tt1 5,2 2，则211201542ttt ，解之得112t；当12t，即1122t时，()g x在0 x 时取最小值，在2tx 时取最大值，则2()0,4tg x 则20,4t1 5,2 2，则212542tt，解之得12t；当2t，即12t时，()g x在 0,1单
14、调递增，()0,1g xt 则0,1t 1 5,2 2，则2512tt，解之得722t，综上，实数t的取值范围为1722t 故答案为：1722t 【点睛】分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.二、单选题 13下列进口车的车标经过旋转后可以看成函数图像的是（）.A B C D 第 8 页 共 15 页【答案】D【分析】根据函数自变量与因变量一对一或多对一的特征判断.【详解】函数图像满足：自变量在它的允许范围内取定一个值时，在图像上都有唯一确定的点与它对
15、应.选项 D 的进口车的车标经过旋转后可以看成函数图像，其它三个选项都不满足条件.故选：D 14设方程eln1xx的两根为1x，2x（12xx），则（）.A10 x，20 x B101x，22x C1201x x D121x x 【答案】C【分析】对 AB，令 lnexf xx 0 x，由零点存在定理判断；对 CD，由根的方程得2121lnlneexxxx，结合根的范围可得2112lneexxx x及其符号，即可得12x x的范围.【详解】由题意得，120 xx，由eln1xx得lne0 xx，令 lnexf xx 0 x，11e0f，212ln20ef，10e111110eeef ，对 AB
16、，由110,120effff得121,1,1,2exx，故 AB 错；对 CD，由1212lnelne0 xxxx得2121lnlneexxxx，由121,1,1,2exx得212112lnlnlnee0 xxxxx x，1201x x，故 C 对 D 错.故选：C 15设函数 f x，g x的定义域分别为F、G，且FG.若对任意的xF，都有 g xf x，则称 g x为 f x在G上的一个“延拓函数”.已知函数 2xf x（0 x），若 g x为 f x在R上一个延拓函数，且 g x是偶函数，则函数 g x的解析式是（）A 2xg x B 12xg x C 2logg xx D 12logg
17、 xx 第 9 页 共 15 页【答案】B【分析】由题意函数 2(0)xf xx，g x为 f x在R上一个延拓函数，求出 g x，然后利用偶函数推出函数 g x的解析式【详解】解：2(0)xf xx，g x为 f x在R上的一个延拓函数，则当,0 x 时，2xg xf x，因为 g x是偶函数 当0 x 时，2xg xgx，综上 122xxg x 故选：B 16 f x是定义在区间,c c上的奇函数，其图象如图所示：令()()g xaf xb，则下列关于函数()g x的叙述正确的是（）A若a0，则函数()g x的图象关于原点对称 B若1a，20b，则方程()0g x 有大于 2 的实根 C若
18、0a，2b，则方程()0g x 有两个实根 D若1a，2b，则方程()0g x 有三个实根【答案】B【分析】A.取1a，1b 判断；B.由1a，()f x仍是奇函数，2 仍是它的一个零点，再由上下平移判断；C.取12a，2b 判断；D.取1a，3b 判断.【详解】A.若1a，1b，则函数()g x不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，故错误；B.当1a 时，()f x仍是奇函数，2 仍是它的一个零点，但单调性与()f x相反，若再加 b，20b，第 10 页 共 15 页 则图象又向下平移b个单位长度，所以()()0g xf xb 有大于 2 的实根，故正确；C.若12a，2b，则1()()2
19、2g xf x，其图象由()f x的图象向上平移 2 个单位长度，那么()g x只有 1 个零点，所以()0g x 只有 1 个实根，故错误；D.若1a，3b，则()g x的图象由()f x的图象向下平移 3 个单位长度，它只有 1 个零点，即()0g x 只有一个实根，故错误.故选：B.三、解答题 17（1）求函数21xxyx的值域；（2）求函数2 2yxx的值域.【答案】（1）,13,；（2）,3【分析】（1）函数化成11yxx，结合均值不等式分别判断0 x、0 x 的最值，从而得出值域.（2）由换元法将函数转换成二次函数的值域问题.【详解】（1）2111xxyxxx，0 x，当0 x 时
20、，111213yxxxx ，当且仅当1x 时等号成立；当0 x 时，111211yxxxx ，当且仅当=1x时等号成立.故函数值域为,13,；（2）函数定义域为2x，令2,0tx t，则2222133yttt，故函数值域为,3.18（1）判断函数22log233xyx的奇偶性并说明理由；（2）证明：函数33yxx在,上严格增.【答案】（1）函数22log233xyx为奇函数，证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）根据函数解析式先确定函数定义域，定义域对称后化简解析式，按照奇偶性判断即可；（2）按照函数单调性定义取值、作差、变形、定号、下结论等步骤证明即可.第 11 页 共 15 页【详解】
21、解：（1）函数22log233xyx为奇函数，理由如下：函数22log233xyx定义域满足2202233006xxxxx且，即函数定义域为 2,00,2，所以 222222log2log2log23333xxxyf xxxx ，则 2222log2log2xxfxf xxx ，故函数22log233xyx为奇函数；（2）证明：任取12,x x ，且12xx，所以 33332212112212121211223333yyxxxxxxxxxxxx xx 221212213324xxxxx，因为12xx，所以120 xx，又22122133024xxx恒成立，所以120yy，即12yy，故函数33
22、yxx在,上严格增.19某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线 (1)写出服药后y与t之间的函数关系式 yf t；(2)进一步测定：每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病的有效时间 第 12 页 共 15 页【答案】(1)34,011,12tttf tt (2)7916小时 【分析】（1）将点M的坐标代入函数ykt的解析式，求出k的值，将点3,1的坐标代入函数12t ay的解析式，由此可得出函数 f t的解析式；（2）解不等式 0.25f t，即可得解
23、.【详解】（1）解：当 0,1t时，设函数的解析式为ykt，将点1,4M的坐标代入得4k，此时4yt；当1,t时，函数的解析式为12t ay，将点3,1的坐标代入得3a，所以312ty 综上，34,011,12tttf tt.（2）解：当01t 时，由 40.25f tt，可得1116t；当1t 时，由 310.252tf t，可得15t.所以，不等式 0.25f t 的解集为1516tt.因为17951616，服药一次治疗疾病的有效时间为7916小时 20（1）求证：关于x的方程10nxx （nN，2n）在区间1,12内存在唯一解.（2）已知aR，函数 21logfxax.若关于x的方程 2
24、log3240fxaxa的解集中恰好有一个元素，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）3|12aa或2a 或3a.【分析】（1）记 21,nxxxnnN.判断出 x在0,为增函数，利用零点存在定理即可证明；（2）把方程 2log3240fxaxa转化为(1)310 xax只有一个根，讨论根的情第 13 页 共 15 页 况，求出实数a的取值范围.【详解】（1）记 21,nxxxnnN.因为nyx和1yx在0,均为增函数，所以 x在0,均为增函数.因为111112110,22222nnn N，111 1 10n ，所以 1102 所以 x在1,12有且只有一个零点，即关于x的方程1
25、0nxx （nN，2n）在区间1,12内存在唯一解.（2）方程 2log3240fxaxa即1(3)24aaxax,亦即当3240axa时，方程1(3)4axax有一解.式化简为(1)310 xax.当3a 时，方程的解为=1x，满足条件(3)240axa，符合题意；当2a 时，方程的解为=1x，满足条件(3)240axa，符合题意；当3a 且2a 时，方程的解为=1x或13xa.若=1x是方程的根，则10a，即1a；若13xa是方程的根，则230a，即32a；所以要使方程有且只有一解，只需312a.综上所述：方程 2log3240fxaxa的解集中恰好有一个元素，实数a的取值范围3|12aa
26、或2a 或3a 21 设S，T是R的两个非空子集，如果函数 yf x满足：Tf x xS；对任意1x，2xS，当12xx时，恒有 12f xf x，那么称函数 yf x为集合S到集合T的“保序同构函数”.(1)写出集合A R到集合R,Bx x 且0 x 的一个保序同构函数（不需要证明）；(2)求证：不存在从整数集Z的到有理数集Q的保序同构函数；(3)已知存在正实数s和t使得函数 21xf xxm是集合0,s到集合0,t的保序同构函数，求实数m的取值范围和s的最大值（用m表示）.第 14 页 共 15 页【答案】(1)2xf x (2)见解析(3)1m，s的最大值为1m 【分析】（1）根据保序同
27、构函数的概念以及常见基本初等函数的性质即可求解，（2）利用反证法，结合保序同构函数的定义即可证明，（3）根据保序同构函数的定义可知 f x 为单调递增的函数，结合对勾函数的单调性即可求解.【详解】（1）2xf x （2）假设存在一个从集合Z到集合Q的“保序同构函数”，由“保序同构函数”的定义可知，集合Z和集合Q中的元素必须是一一对应的，不妨设整数 0 和 1 在Q中的像分别为a和b，根据保序性，因为01，所以ab，又2ab也是有理数，但是2ab没有确定的原像，因为 0 和 1 之间没有另外的整数了，故假设不成立，故不存在从集合Z到集合Q的“保序同构函数”；（3）21011xf xxmxmxx，
28、若 21xf xxm是集合0,s到集合0,t的保序同构函数，则 21xf xxm在0,xs单调递增，且 0f x 当10m 时，即1m，函数 11f xmxx单调递增，且 0f x，则1myxx单调递减，这与1,myx yx 均为单调递增函数，则1myxx单调递增相矛盾，故1m不成立，舍去，当1m时，由对勾函数性质可知：当1xm时，1myxx单调递增，当01xm 时，1myxx单调递减，且当1xm时，1myxx取最小值21m，因此 11f xmxx在01xm单调递增，第 15 页 共 15 页 所以 11f xmxx是0,s到集合0,t的保序同构函数，则1sm，此时 maxf xf st 当1m 时，10f xxx，不满足 11f xmxx是0,s到集合0,t的保序同构函数，综上，1m，s的最大值为1m