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1、第 1 页 共 12 页 2022-2023 学年山西省古交市第一中学校高一上学期第三次月考（12月）数学试题 一、单选题 1设集合04,13MxxNxx，则MN（）A10 xx B14xx C13xx D03xx【答案】D【分析】由交集的定义计算即可.【详解】因为04,13MxxNxx，所以MN03xx.故选：D.2在0 360范围内，与70终边相同的角是（）A70 B110 C150 D290【答案】D【解析】根据终边相同的角的定义即可求解.【详解】与70终边相同的角的为70360k kZ，因为在0 360范围内，所以1k 可得70360290，故选：D.3方程3log5xx的根所在的区间
2、为（）A0,1 B1,2 C2,3 D3,4【答案】D【解析】构造函数 3log5f xxx，分析函数在定义域上的单调性，然后利用零点存在定理可判断出该函数零点所在的区间.【详解】构造函数 3log5f xxx，则该函数在0,上为增函数，所以，函数 3log5f xxx至多只有一个零点，第 2 页 共 12 页 140f ，32log 230f，310f ，34log 4 10f，由零点存在定理可知，方程3log5xx的根所在的区间为3,4.故选：D.【点睛】本题是一道判断方程的根所在区间的题目，一般利用零点存在定理来进行判断，考查推理能力，属于基础题.4已知函数 2log030 xxxf x
3、x，则14ff的值是（）A9 B9 C19 D19【答案】D【分析】根据题意，直接计算即可得答案.【详解】解：由题知，211log244f，2112349fff.故选：D 5已知 x，y为正实数，则（）A22lg(lg)lgxyxy B1lg()lglg2xyxy Clnlnxyexy Dlnlnxyexy【答案】B【分析】根据指数和对数的运算法则进行运算即可求得结果.【详解】A 中，22lglglg=2lglgxyxyxy，故 A 不正确；B 中，1lglglglglg2xyxyxy，故 B 正确；C 中，lnlnlnlnxyxyexeey，故 C 不正确；D 中，lnlnlnlnlnyxy
4、xyeex，故 D 不正确.故选：B.6:p 30是:q 1sin2成立的 A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D非充分非必要条件【答案】B【详解】若=30则1sin2，第 3 页 共 12 页 若1sin2，则30360 k kZ或150360 k kZ，故p是q成立的充分不必要条件 故选：B 7已知2log 3a，12log 3b，123c，则（）Acba Bcab Cabc Dacb【答案】D【解析】利用指数函数和对数函数的单调性判断.【详解】因为22log 3log 21a，1020331c，1122log 31log0b，所以acb.故选：D 8已知函数20.5()log
5、3f xxaxa在(2,)上单调递减，则实数a的取值范围（）A(,4 B4,)C 4,4 D(4,4【答案】C【分析】令2()3g xxaxa，则函数()g x在(2,)内递增，且恒大于 0，可得不等式，从而可求得 a的取值范围【详解】解：令2()3g xxaxa，20.5()log3f xxaxa在(2,)上单调递减，()g x在(2,)内递增，且恒大于 0，22a且(2)0g，44a 故选：C 二、多选题 9下列计算成立的是（）A222log 8log 4log 42 B333log 5log 4log 92 Clg2lg5lg101 D322log 23log 23【答案】CD 第 4
6、页 共 12 页【分析】利用对数运算确定正确选项.【详解】对于 A 选项，22228log 8log 4loglog 214，故 A 选项错误.对于 B 选项，3333log 5log 4log5 4log 20，故 B 选项错误.对于 C 选项，lg2lg5lg 2 5lg101，故 C 选项正确.对于 D 选项，322log 23log 23，故 D 选项正确.故选：CD 10下列命题是存在量词命题且是真命题的是（）A存在实数x，使220 x B存在一个无理数，它的立方是有理数 C有一个实数的倒数是它本身 D每个四边形的内角和都是 360【答案】BC【分析】根据已知逐个判断各选项即可得出结
7、果.【详解】对于 A.是存在量词命题，但不存在实数x，使220 x 成立，即为假命题，故 A 错误，对于 B,是存在量词命题，例如无理数32，它的立方是2为有理数，故 B 正确，对于 C,是存在量词命题，例如 1 的倒数是它本身，为真命题，故 C 正确，对于 D,是全称量词命题，故 D 错误，故选：BC 11下列结论正确的是（）A76是第三象限角 B若tan2，则sincos3sincos C若圆心角为3的扇形的弧长为，则该扇形面积为32 D终边经过点,0m mm 的角的集合是2,Z4kk 【答案】BCD【分析】直接利用象限角的定义，同角三角函数关系式，扇形面积公式的计算来判断各选项的结论 【
8、详解】766，是第二象限角，故 A 错误；若tan2，则sincostan13sincostan1，故 B 正确；第 5 页 共 12 页 圆心角为3的扇形的弧长为，扇形的半径为33，面积为13322，故 C 正确；终边经过点,0m mm，该终边为第一象限的角平分线，即角的集合是2,Z4kk，故 D 正确；故选：BCD 12 已知函数22log,02()813,2xxf xxxx，若f(x)=a有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，且满足x1x2x3x4，则下列命题正确的是（）A0a1 B12922 2,2xx C12342110,2xxxx D1222 2,3xx【答案】ACD【分析】A
9、 选项：将方程 f xa的解转化为函数 f x与ya图象交点的横坐标，然后结合图象即可得到a的范围；BCD 选项：由题意可得2122loglogxx，整理得121x x，利用二次函数的对称性得到348xx，然后利用对勾函数的单调性求范围即可.【详解】函数 f x的图象如上所示，方程 f xa的解可以转化为函数 f x与ya图象交点的横坐标，由图可知01a，故 A 正确；由题意可知2122loglogxx，即212log0 x x，解得121x x，由图可知212x，所以1222122xxxx，令2212yxx，则函数2212yxx在1,2上单调递增，当21x 时，3y，22x 第 6 页 共
10、12 页 时，92y，所以122xx的范围为93,2，故 B 错；函数2813yxx的对称轴为4x，所以348xx，又121x x，所以12342218xxxxxx，函数 22218g xxx在1,2上单调递增，110g，2122g，所以12342110,2xxxx，故 C 正确；122222xxxx，函数 2222h xxx在1,2上单调递减，2,2上单调递增，22 2h，13h，23h，所以1222 2,3xx，故D 正确.故选：ACD.三、填空题 13计算：122lg 5lg4_.【答案】1【分析】根据对数运算法则运算即可.【详解】解：1122222lg 5lg4lg5lg 2lg5lg
11、2lg101.故答案为：1.14若2log 53a，则5a_.【答案】8【分析】利用对数的运算性质和对数与指数的关系求解即可【详解】解：因为2log 53a，所以2log 53a，所以3528a，故答案为：8 15已知3sin cos8，且02，则cossin的值为_.【答案】72#172【分析】结合条件和平方关系求出cossin平方的值，再判断其正负，开方即得.【详解】因为3sin cos8，所以222sin4sincos2sinc37(cos12sinos12cos)8，第 7 页 共 12 页 又02，所以cossin0，所以7cossin2，故答案为：72.16已知函数 22,1log
12、,1xxf xxx，若函数 2yf xxa有两个零点，则实数a的取值范围是_【答案】4,2【分析】把零点个数问题转化为函数 g x与ya 图像有 2 个交点，由 g x的性质作出图像即可【详解】解：函数 2yf xxa有两个零点等价为 2f xxa 有两个解，令 2g xf xx，ya，上述问题可进一步转化为 2g xf xx与ya 图像有 2 个交点，易知函数 g x在1x或1x 上递增，当1x时，14g；当1x 时，12g但不取点1,2 易作出 222,1log2,1xxx xg xx x与ya 图像如下：由图像易知24a ，42a 故答案为：42a 四、解答题 17（1）化简：1 sin
13、1 sin1 sin1 sin（是第二三象限角）第 8 页 共 12 页（2）计算52551log 352log2loglog 14ln e50.【答案】（1）2tan；（2）92.【分析】（1）根据同角三角函数平方关系，把根号开出来，再根据角的范围，去绝对值得答案；（2）利用对数的运算性质计算可得答案.【详解】（1）因为是第二三象限角，所以cos0，且sin1，所以 221 sin1 sin1 sin1 sin1 sin1 sin1 sin1 sin1 sin1 sin 22221 sin1 sincoscos1 sin1 sincoscos 1 sin1 sincoscos2sin2tan
14、cos （2）52551log 352log2loglog 14ln e50 1122521=log35142log 2lne50 1132252119=log 52log 2lne32=222 18化简下列各式：（1）212cos5 sin5cos51cos 5；（2）11(1cos)sintan【答案】（1）1；（2）sin.【分析】（1）根据同角三角函数关系，化简计算，即可得答案.（2）见切化弦，根据同角三角函数关系，化简计算，即可得答案.【详解】（1）原式22cos5sin5cos5sin51cos5sin5cos5sin 5；（2）原式1cos(1cos)sinsin21cossin
15、(1cos)sinsinsin 19已知函数 f x是定义在R上的函数，f x图象关于y轴对称，当0 x，22f xxx.（1）求出 f x的解析式.（2）若函数 yf x与函数ym的图象有四个交点，求m的取值范围.【答案】（1）222,02,0 xx xf xxx x；（2）(1,0)m.第 9 页 共 12 页【分析】（1）函数 fx图象关于y轴对称，即为偶函数，即可求出0 x 的解析式，便可得解；（2）作出函数 fx的图象，即可得出与函数ym的图象有四个交点时m的取值范围.【详解】（1）函数 fx图象关于y轴对称，即 fx为偶函数，f xfx 当0 x 时，22fxxx，当0 x 时，0
16、 x，22()22fxfxxxxx，所以 222,02,0 xx xf xxx x；（2）由第一问，根据二次函数性质，作出函数 fx图象：要使函数 yf x与函数ym的图象有四个交点，则(1,0)m 【点睛】此题考查根据函数奇偶性求函数解析式，求解函数根的个数，考查数形结合思想.20已知扇形 AOB 的周长为 8（1）若这个扇形的面积为 3，求其圆心角的大小（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小和弦长 AB【答案】（1）或；（2）；【详解】试题分析：（1）根据扇形面积公式，和扇形周长公式，分别解出弧长和半径，然后利用原型机的公式；（3）将面积转化为关于半径的二次函数，同时根据实际问题得到
17、的范围，利用二次函数求最值，同时得到取得最大值时的，然后利用三角形由圆心和弦的中点连线与弦垂直，利用直角第 10 页 共 12 页 三角形求弦长 试题解析：（1）解：设扇形半径为,扇形弧长为，周长为,所以,解得 或，圆心角,或是（2）根据，得到,当时，此时，那么圆心角，那么，所以弦长【解析】1扇形的面积，圆心角；（2）三角形的计算 21已知函数 1log(01amxf xax且1,1)am是奇函数.(1)求实数m的值；(2)若2a，试求函数 f x在3,5上的值域【答案】(1)1(2)23log,12 【分析】（1）由函数在定义上为奇函数则 fxf x，进而 0fxf x，就可以求出参数；（2
18、）当2a 时证明函数在区间1,的单调性，从而得出函数 f x在3,5上的单调性，利用单调性即可求出函数在闭区间3,5上的值域.【详解】（1）由题意函数为奇函数则有：fxf x，即 0fxf x，由 1log(01amxf xax且1,1)am，所以11loglog011aamxmxxx，即11111mxmxxx，第 11 页 共 12 页 所以22211m xx 对定义域中的x均成立，所以211mm ，由题1m，所以1m ；（2）当2a 时，21log1xf xx，令12111xtxx，所以当121xx时，2112221111xxtt 21121222201111xxxxxx，所以12tt，所
19、以2 12 2loglogtt，即12()()f xf x，所以()f x在1,上单调递减，所以函数 f x在3,5上单调递减，所以 53ff xf，即 23log12f x，所以当2a 时，函数 f x在3,5上的值域为：23log,12.22已知函数 423xxf xa，aR(1)当4a，且0,2x时，求函数 f x的值域；(2)若函数 f x在0,2的最小值为1，求实数a的值；【答案】(1)1,3(2)2 2a 【分析】（1）令 21,4xt，结合二次函数的性质可求得最值，由此可得 f x值域；第 12 页 共 12 页（2）令 21,4xt，可得 23f xg ttat，分别在12a、
20、142a 和42a的情况下，根据二次函数单调性确定最小值点，由最小值可构造方程求得结果.【详解】（1）当4a 时，44 23xxf x ；令2xt，则当0,2x时，1,4t，243ytt在1,2上单调递减，在2,4上单调递增，min44 231f x ，max16 1633f x，fx的值域为1,3.（2）令2xt，则当0,2x时，1,4t，23f xg ttat，对称轴为2at ；当12a，即2a 时，g t在 1,4上单调递增，min141g tga，解得：3a （舍）；当142a，即82a 时，g t在1,2a上单调递减，在,42a上单调递增，2min3124aag tg，解得：2 2a（舍）或2 2a ；当42a，即8a 时，g t在 1,4上单调递减，min41941g tga，解得：92a （舍）；综上所述：2 2a .