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1、第 1 页 共 12 页 2021-2022 学年天津市第一中学高二下学期期中数学试题 一、单选题 1设 exf xx的导函数为 fx，则 1f 的值为 Ae Be1 C2e De2【答案】C【详解】e,1e,12e.xxf xxfxxf 本题选择 C选项.2设 fx是函数 f x的导函数，yfx的图象如图所示，则 yf x的图象最有可能是图中的（）A B C D【答案】A【分析】根据 fx的正负情况，可以判断 f x的增减情况，进而判断得出答案.【详解】由 yfx的图象易得 当0 x 或2x 时，0fx，故函数 yf x在区间,0和2,上单调递增，当02x时.0fx，故函数 yfx在区间0,
2、2上单调递减；第 2 页 共 12 页 故选：A.3已知函数 3223110f xmxmxmm的单调递减区间是0,4，则m（）A3 B13 C2 D12【答案】B【分析】利用导数结合韦达定理得出m的值.【详解】函数 3223110f xmxmxmm，则导数 2361fxmxmx 令 0fx，即23610mxmx，0m，f x的单调递减区间是0,4，0，4 是方程23610mxmx的两根，2 104mm，0 40，13m 故选：B.4函数 sinf xxx在2x处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 A12 B24 C22 D214【答案】A【详解】试题分析：由()sinf xxx得()1 co
3、sfxx，()12f，()122f，故切线方程为(1)22yx，令0 x 得1y，令0y 得1x，故切线与坐标轴围成的三角形面积为111 122S ，故选 A.【解析】1.导数的几何意义；2.三角形面积公式.【名师点睛】本题考查导数的几何意义与三角形面积公式，属中档题；解决导数的几何意义有关的问题时应重点注意以下几点：1.首先确定已知点是是否为曲线的切点是解题的关键；2.基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证；3.熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提.5函数exyx的单调减区间是（）A,1 B1,C0,1 D,0和0,1 第 3 页 共 12 页【答案】D【
4、分析】先求出导函数，进而令导函数小于 0，最后求得答案.【详解】由题意，,00,x，2e1xxyx，令0y，解得：1x 且0 x，即该函数的减区间为,0,0,1，也可为,0,(0,1.故选：D.6已知函数 321132fxxxcxd有极值，则 c的取值范围为（）A14c B14c C14c D14c 【答案】A【分析】求导得 2fxxxc，则0，由此可求答案【详解】解：由题意得 2fxxxc，若函数 f x有极值，则1 40c ，解得14c，故选：A 7已知函数2()(32)xf xexax在区间(1,0)有最小值，则实数a的取值范围是 A1(1,)e B(1,)3e C3(,1)e D1(1
5、,)3e 【答案】D【详解】由 232xf xexax可得，232,xfxexa函数 232xf xexax在区间1,0上有最小值，函数 232xf xexax在区间1,0上有极小值，而 2320 xfxexa在区间1,0上单调递增，2320 xfxexa在区间1,0上必有唯一解由零点存在定理可得 112320 01 320feafa，解得11,3ae 实数a的取值范围是11,3e，故选D.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题
6、加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解(4)零点存第 4 页 共 12 页 在性定理：利用定理不仅要求函数在区间,a b上是连续不断的曲线，利用 0f a f b 求解.8已知函数 33f xxxm只有一个零点，则实数m的取值范围是（）A2 2,B,22,C2,2 D,22,【答案】B【分析】将题目转化为函数33yxx 的图像与ym的图像只有一个交点，利用导数研究函数33yxx 的单调性与极值，作出图像，利用数形结合求出m的取值范围.【详解】由函数 33f xxxm只有一个零点，等价于函数33yxx 的图像与ym的图像只有一个交点，
7、33yxx，求导233yx ，令0y，得1x 当1x 时，0y，函数在,1 上单调递减；当11x 时，0y，函数在1,1上单调递增；当1x 时，0y，函数在1,上单调递减；故当1x 时，函数取得极小值2y ；当1x 时，函数取得极大值2y；作出函数图像，如图所示，由图可知，实数m的取值范围是,22,故选：B【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函
8、数的图象，利用数形结合的方法求解.第 5 页 共 12 页 9已定义在R上的偶函数 f x满足,0 x 时，0f xxfx成立，若0.20.222af，ln2ln2bf，0.50.5log0.25log0.25cf，则,a b c的大小关系是（）Aabc Bcab Cbac Dacb【答案】C【分析】令 g xxfx，利用导数可求得 g x在,0上单调递减，根据 g x为奇函数可知其在0,上单调递减；根据指数和对数函数单调性可得到0.20.5log0.252ln20，由单调性可得大小关系.【详解】令 g xxfx，当0 x 时，0gxf xxfx，g x在,0上单调递减；gxxfxxfxg x
9、 ，g x为R上的奇函数，g x在0,上单调递减；0.200.5log0.252221lneln2ln10，0.20.5log0.252ln2ggg，即bac.故选：C.10设 f x是定义在R上的可导函数，且满足 fxf x，对于任意的正数a，下面不等式恒成立的是（）A e0af af B e0af af C 0eaff a D 0eaff a 【答案】C【分析】构造函数 exg xf x，利用导数分析函数 g x的单调性，结合函数 g x的单调性可得出合适的选项.【详解】因为 f x是定义在R上的可导函数，令 exg xf x，exgxfxf x，因为 fxf x，e0 x，所以，0gx，
10、故 g x为R上的减函数，第 6 页 共 12 页 因为0a，所以，0g ag，即 e0af af，因此，0eaff a.故选：C.二、填空题 11编号为 1，2，3，4，5，6 的六个同学排成一排，3、4 号两位同学相邻，不同的排法_ 种.(用数字作答).【答案】240【分析】首先捆绑 3、4 号同学，再应用插空法将 1，2，5，6 号同学逐一插入队列，由分步计数求不同的排法数.【详解】1、捆绑 3、4 号两位同学有22A种方法，2、将 1 号插入的方法有12C种方法，3、将 2 号插入的方法有13C种方法，4、将 5 号插入的方法有14C种方法，5、将 6 号插入的方法有15C种方法，不同
11、的排法共有2111122345240A C C C C 种.故答案为：240 12已知函数 21 lnf xfxx，则 f x的极大值为_【答案】【详解】2(1)2(1)()1(1)1,(1)11fffxffx，因此 2lnf xxx，2()102fxxx 时取极大值2ln22 13设点P是曲线332yxx上的任意一点，P点处切线倾斜角为，则角的取值范围是_.【答案】20,23【分析】求出233 yx，由tan3，根据的范围可得答案.【详解】2333yx ，tan3，又0，第 7 页 共 12 页 02或23a 则角的取值范围是20,23.故答案为：20,23.14 3 名医生和 6 名护士分
12、配到 3 所学校为学生体检，每校分配 1 名医生和 2 名护士，有_种分配方法.【答案】540【分析】把 3 名医生和 6 名护士按每组 1 名医生 2 名护士，进行平均分 3 组.注意除以均分组数的全排列33A.再将 3 个小组作为 3 个元素分到 3 所学校，这样就有一个全排列.根据分步计数原理得到结果.【详解】属于平均分组且排序型，共有1212123362412333540C C C C C CAA.故答案为：540.【点睛】本题考查了平均分组分配问题，属于基础题.三、解答题 15已知函数 2lnaf xxx，aR(1)若1a，求函数 f x的极值；(2)若函数 f x在2,上是增函数，
13、求实数a的取值范围.【答案】(1)有极小值 2ln21f，无极大值(2),1【分析】（1）求定义域，求导，求出其单调性，从而得到极值；（2）求导，利用 f x在2,上是增函数得到20 xa在2,上恒成立，求出实数a的取值范围.【详解】(1)函数 2lnaf xxx的定义域为0,若1a，则 2lnf xxx，22122xfxxxx 当0,2x时，0fx，当2,x时，0fx 故 f x在0,2上单调递减，在2,上单调递增，第 8 页 共 12 页 故函数 f x在2x 时有极小值 2ln21f，无极大值；(2)22122axafxxxx，又函数 f x在2,上是增函数，220 xax在2,上恒成立
14、，即20 xa在2,上恒成立，即2a2，解得：1a 故实数a的取值范围是,1.16已知函数 21ln22f xxaxx(1)若3a，求 f x的增区间；(2)若0a，且函数 f x存在单调递减区间，求a的取值范围；(3)若12a 且关于x的方程 12f xxb 在 1,4上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.【答案】(1)10,3(2)10，(3)5ln224，【分析】（1）根据函数的定义域以及 0fx即可求出 f x的增区间；（2）根据题意可知，0fx在0,上有解区间，再分参转化为求最值，即可求出a的取值范围；（3）依题意可得213ln42bxxx，即直线yb与曲线 213ln144
15、2g xxxxx有两个交点，利用导数得出函数 g x的单调性，即可求出实数b的取值范围.【详解】(1)f x的定义域是0,，3a 时，311132xxfxxxx，令 0fx，得103x，函数 f x的增区间是10,3.(2)12fxaxx，由函数 f x存在单调递减区间，知 0fx在0,上有解区间，120axx，即212axx，而22121111xxx ，当且仅当1x 时取等第 9 页 共 12 页 号，1a，（当1a 时，不等式只有唯一的解1x，不符题意舍去），又0a，a的取值范围是10，(3)12a 时，21ln24f xxxx，则 12f xxb 即为213ln42bxxx，令 213l
16、n1442g xxxxx，则 12113222xxgxxxx，当12x时，0gx，g x递减；当24x时，0g x，g x递增.min2ln22g xg，又 514g，4ln42g，14gg，5ln224b，即实数b的取值范围是5ln224，17已知函数2()axf xxb在1x 处取得极值为 2，（1）求函数()f x的解析式；（2）若函数()f x在区间,21mm上为增函数，求实数m的取值范围；（3）若00,P x y为函数2()axf xxb图像上的任意一点，直线l与2()axf xxb的图象相切于点P，求直线l的斜率k的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）10m；（3）1,42.
17、【解析】（1）对函数求导，得到222()()a xbfxxb，根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果；（2）根据（1）的结果，得到2224(1)()(1)xfxx，求出函数()f x的增区间，再由题中条件，列出不等式组求解，即可得出结果；（3）根据导数的几何意义，得到02220048()1(1)kfxxx，令2041tx，得到0,4t，且212ktt，求出212ktt的范围，即可得出结果.【详解】（1）由2()axf xxb得2222222()()a xbaxxa xbfxxbxb，因为函数2()axf xxb在1x 处取得极值为 2，所以(1)0(1)2ff，即210121abbab，解
18、得4a，1b；第 10 页 共 12 页（2）由（1）得2224(1)()(1)xfxx，令()0fx，解得11x；即函数()f x的单调递增区间是1,1，因为函数()f x在区间,21mm上为增函数，所以只需21121 1mmmm ，解得10m；（3）根据导数的几何意义可得，2002204(1)()(1)xkfxx=22200481(1)xx 令2041tx，则0,4t，且212ktt，由二次函数的性质可得，212ktt在0,1t上单调递减，在1,4t上单调递增，则min11122k ，又0t时，0k；4t 时，4k；k的取值范围是1,42.【点睛】本题主要考查由函数极值点求参数，考查由函数
19、单调性求参数，考查求曲线在某点的切线斜率，属于常考题型.18已知函数 2lnf xxaxx在0 x 处取得极值.（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程 52f xxb 在区间0,2上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；（3）证明：对任意的正整数n，不等式23412ln149nnn都成立.【答案】（1）1a（2）1ln3 1ln22b；（3）见解析【详解】试题分析：(1)121,fxxxa 0 x 时,fx取得极值,00,f 故12 0 10,0a 解得1.a 经检验1a 符合题意.（2）由1a 知 2ln1,f xxxx 由 52f xxb,得23ln10,2xxxb 令 23ln1,
20、2xxxxb则 52f xxb 在区间0,2上恰有两个不同的实数根等价于 0 x在区间0,2上恰有两个不同的实数根.第 11 页 共 12 页 451132,1221xxxxxx 当 0,1x时,0 x,于是 x在0,1上单调递增;当1,2x时,0 x,于是 x在1,2上单调递减.依题意有 0031ln 1 11022ln 12430bbb ,解得,1ln3 1ln2.2b (3)2ln1f xxxx的定义域为|1x x ,由(1)知 231xxfxx,令 0fx得,0 x 或32x (舍去),当10 x 时,0fx,fx单调递增;当0 x 时,0fx,fx单调递减.0f为 fx在1,上的最大
21、值.0f xf,故2ln10 xxx(当且仅当0 x 时,等号成立)对任意正整数n,取10 xn得,2111ln1,nnn211lnnnnn 故23413412ln2lnlnlnln14923nnnnn.（方法二）数学归纳法证明：当1n 时，左边21121，右边ln(1 1)ln 2，显然2ln2，不等式成立.假设*,1nk kNk时，23412ln149kkk成立，则1nk时，有222341222ln14911kkkkkkk.做差比较：222222111ln2ln1lnln 1111(1)11kkkkkkkkkkk 构建函数 2ln 1,0,1F xxxxx，则 2301xxFxx，0,1F x在单调递减，00F xF.取*11,1xkkNk，2111ln 10011(1)Fkkk 即22ln2ln101kkkk，亦即22ln1ln21kkkk，第 12 页 共 12 页 故1nk时，有222341222ln1ln24911kkkkkkkk，不等式成立.，综上可知，对任意的正整数n,不等式23412ln149nnn都成立.【解析】利用导数研究函数的极值函数与方程的综合运用不等式的证明 点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，注意函数与方程的综合运用，以及会进行不 等式的证明