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1、2021-2022学年天津市武清区杨村第一中学高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1设函数，则（）A1B5CD0【答案】B【分析】由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.【详解】由题意，所以，所以原式等于.故选：B.2已知函数的导函数为，则（）ABCD【答案】C【分析】先求出，然后令求出，然后即可求出【详解】因为所以令时有，所以所以所以故选：C3从甲地到乙地一天有汽车8班，火车2班，轮船3班，某人从甲地到乙地，共有不同的走法种数为（）A24B16C13D48【答案】C【分析】利用分类加法计数原理，即可得答案.【详解】由分类加法计数原理可得，从甲地到乙地无论哪种交通工具都能到达，故不
2、同的走法有8+2+3=13种.故选：C【点睛】本题考查分类加法计数原理的应用，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.4若函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】D【分析】函数在定义域上单调递增等价于在上恒成立，即在上恒成立，然后易得，最后求出范围即可.【详解】函数的定义域为，在定义域上单调递增等价于在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，分离参数得，所以，即.【点睛】方法点睛：已知函数的单调性求参数的取值范围的通解：若在区间上单调递增，则在区间上恒成立；若在区间上单调递减，则在区间上恒成立；然后再利用分离参数求得参数的取值范围即可.5已知在处有极值，则（）A11或4B-
3、4或-11C11D4【答案】C【分析】先求解导函数，再根据极值的概念求解参数的值即可.【详解】根据题意，函数在处有极值0且或时恒成立，此时函数无极值点.故选：C.6高三（2）班某天安排6节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（）A42种B96种C120种D144种【答案】C【分析】根据语文课与数学课相邻，则利用捆绑法，物理课比生物课先上则利用对称法求解.【详解】因为要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，所以课程编排方案共有种，故选：C.7若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】A【分析】先求，再解
4、不等式或得的单调性，根据的单调性，列出使得函数在上有最大值的不等式组，解不等式组即可.【详解】由题知，由得，由得或.所以函数在上递减，在上递增，上递减，若函数在上有最大值，则，解得.故选：A8已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，则不等式的解集为（）ABCD【答案】C【分析】构造函数，求导，从而得在定义上单调递减；又，从而有，利用的单调性即可求解【详解】解：令，在定义上单调递减；又为偶函数，则不等式，即，由得，故选：C9已知函数，若对任意的，在区间总存在唯一的零点，则实数的取值范围是ABCD【答案】B【分析】根据导数求出函数的最值，再根据存在唯一的，使得在上恒成立，得到，即，得出
5、关于的不等式组，求解即可.【详解】解：函数，可得，令，则，令，则，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，.，存在唯一的，使得在上恒成立，在上有唯一解，解得.故选：B.【点睛】本题考查了导数函数最值问题，以及参数的取值范围，考查了存在性和恒成立问题，属于中档题.二、填空题10已知是函数的一个极值点，则_.【答案】【分析】求出函数的导函数，根据是函数的一个极值点，得，解方程，检验即可得出答案.【详解】解：因为，所以.又是的一个极值点，所以，解得或.当时，则无极值.当时，是的极小值点.故答案为：.11已知函数，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为_【答案】【分析】构造新函数，求导根据导数大于等
6、于零得到，构造，求导得到单调区间，计算函数最小值得到答案.【详解】当时，不等式恒成立，所以，所以在上是增函数，则上恒成立，即在上恒成立，令，则，当时，当时，所以，所以故答案为：12为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将3名医生和6名护士分配到3所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和2名护土，则不同的分配方法共有_种【答案】540【分析】先平均分组，再将三个小组分配到3所学校，运用排列组合知识进行求解.【详解】第一步，将6名护士平均分给3名医生组成三个小组，有种不同的分法；第二步，将三个小组分配到3所学
7、校，有种不同的分法故不同的分配方法共有种故答案为：54013函数（）在内不存在极值点，则a的取值范围是_【答案】【分析】将函数在内不存在极值点，转化为函数为单调函数，求导利用导数或恒成立即可求解.【详解】解：函数（）在内不存在极值点，函数在内单调递增或单调递减，或在内恒成立，令，二次函数的对称轴为，当时，需满足，即，当时，需满足，即，综上所述，a的取值范围为故答案为：14已知，使得成立，则实数a的取值范围是_.【答案】【分析】由题可得，求导可得的单调性，将的最小值代入，即得.【详解】，使得成立，由，得，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数在区间上的最小值为又在上单调递增，函数在区间上
8、的最小值为，即实数的取值范围是故答案为：.15已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则a的取值范围为_【答案】【分析】由分段函数结合导数求出值域，令，结合图象特征采用数形结合法可求a的取值范围.【详解】，当时，函数为减函数；当时，和时，单增，时，单减，故的图象大致为：令，则，当时，无零点；当时，无零点；当时，则，要使恰有4个不同的零点，则，即.故答案为：三、解答题16已知函数的导函数为，且满足.(1)求及的值；(2)求在点处的切线方程.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）由题设，代入即可求，进而求出.（2）根据导数的几何意义，结合（1）的结果，应用点斜式写出切线方程.【详解】(1)由题设，故
9、，可得，所以.(2)由（1）知：切点为且切线斜率为，所以切线方程为，即.1710双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求出现下列结果时，各有多少种情况？（1）4只鞋子恰成两双；（2）4只鞋子没有成双的；（3）4只鞋子有2只成双，另两只不成双.【答案】（1）45（2）3360（3）1440【分析】（1）从10双鞋子中选2双即可求解；（2）首先从10双鞋子中选取4双，再从每双鞋子中各取一只，利用分步乘法计数原理即可求解；（3）先选取一双，再从9双鞋中选取2双，每双鞋只取一只，利用分步乘法计数原理即可求解.【详解】（1）从10双鞋子中选2双有种取法，即有45种不同取法（2）从10双鞋
10、子中选取4双，有种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N243360(种)（3）先选取一双有种选法，再从9双鞋中选取2双有种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法为N221440(种)18已知函数，在处取得极值(1)求，的值；(2)求函数在区间上的最值【答案】(1)；(2)最大值为，最小值为.【分析】（1）对函数求导，根据求出参数，的值；（2）由（1）可得，研究其在上的符号，进而确定的单调性，再求出闭区间上的最值.【详解】(1)由题设，又处取得极值所以，可得.经检验，满足题意.(2)由（1）知：，在上，递增；在上，递减；在上的
11、最大值为，而，故在上的最小值为，综上，上最大值为，最小值为.19已知函数，(1)时，求函数在区间上的最值；(2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求a的取值范围【答案】(1)当时，取得最大值为0；当时，取得最小值为(2)【分析】（1）求导，利用导数的符号判定函数单调性，进而求其最值；（2）作差分离常数，将不等式恒成立转化为求函数的最值问题，构造，通过二次求导研究函数的单调性求其最值.【详解】(1)解：由题意，因为，所以当时，恒成立所以在上单调递减，所以当时，取得最大值为0；当时，取得最小值为.(2)解：不等式在区间上恒成立，即在区间上恒成立，设，则设，则，即函数在上单调递减，当时，即函数在上单调
12、递减当时，当时，有a的取值范围是20设函数，函数(1)讨论的单调性；(2)当时，若恒成立，求a的取值范围【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求得，分和两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；（2）根据题意转化为，令，求得，令，利用导数得出，分和，两种情况求得的单调性，结合单调性，即可求解.【详解】(1)解：由题意，函数，所以，当时，令，则在上单调递增；当时，令，解得，令，解得；所以函数在上单调递增，在上单调递减；综上：当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.(2)解：要证成立，即证，令，易知，可得，令，又在上单调递增，且则，所以在上单调递减，所以则当时，可得，则有在上单调递增，则；则当时，可得，又因为在上单调递增，则存在，使得，所以当时，则此时，不符合题意.综上所述：实数的取值范围第 13 页 共 13 页