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1、第 1 页 共 13 页 2021-2022 学年广西柳州市民族高中高一下学期 3 月月考数学试题 一、单选题 1已知复数z满足32i1 iz，则z的虚部为（）A12 B52 C1i2 D52i【答案】B【分析】先利用复数除法化简复数z，进而求得复数z的虚部【详解】32i1 i32i1 5i15i1 i1 i1 i222z 则z的虚部为52 故选：B 2已知向量(0,1)a，(2,1)b，则2ab（）A2 2 B5 C2 D4【答案】B【分析】利用平面向量的模公式求解.【详解】因为(0,1)a，(2,1)b，所以22,1ab，所以|2|5ab，故选：B 3已知向量(2,1),(5,2)amb，
2、若/ab，则 m的值为（）A15 B15 C52 D54【答案】D【分析】根据平行向量的坐标表示计算即可.【详解】/ab且(2,1)(5,2)amb，22 1 50m 解得54m，故选：D.第 2 页 共 13 页 4向量a，b满足3a，1b，213ab，则向量a，b的夹角是（）A6 B3 C23 D56【答案】D【分析】根据平面向量数量积的运算律求出a b，再根据夹角公式cosa bab求出cos，从而得解；【详解】解：因为3a，1b，213ab，所以2213ab，即224413aa bb，即224413aa bb，所以32a b，设a与b的夹角为，则332cos213a bab，因为0,，
3、所以56；故选：D 5在ABC中，1 cosbcAc，则三角形的形状为（）A直角三角形 B等腰三角形或直角三角形 C正三角形 D等腰三角形【答案】A【分析】利用余弦定理化简题给条件即可得到222cba，进而得到ABC的形状为直角三角形.【详解】ABC中，1 cosbcAc，则22212bcabcbcc，整理得222cba，则=90C，则ABC的形状为直角三角形，故选：A.6如图，A处为长江南岸某渡口码头，北岸 B码头与 A 码头相距3km，江水向正东()AD流.已知一渡船从 A码头按AC方向以10km/h的速度航行，且30BAC，若航行0.2h到达北岸的 B 码头，则江水速度是（）第 3 页
4、共 13 页 A102km/h B52km/h C5km/h D1km/h【答案】C【分析】由力学可知AB的位移是由AC和水流AE合成的，故满足平行四边形法则，解这个平行四边形即可.【详解】如图，以,AD AC方向为邻边，AB为对角线作平行四边形AEBF，渡船经过0.2h小时航行0.2 102km，即2kmAF，由题意，3kmAB，30BAF，由余弦定理得2222232cos30(3)22321km2BFABAFAB AF .所以1kmBF，渡船在按AC方向航行时，江水向AD方向流，形成合位移使渡船沿AB到达北岸 B码头，此时水流动距离为1kmAEBF，则水流速度为15km0.2，故选：C.7
5、如图所示，在ABC中，2AB，3BC，60ABC，AD 为 BC边上的高，25AMAD；若AMABBC，则的值为（）A43 B815 C23 D415【答案】B【分析】根据题意求得1BD，化简得到22515AMABBC，结合AMABBC，求得,的值，即可求解.【详解】在ABC中，2AB，3BC，60ABC，AD为 BC边上的高，可得cos601BDAB，第 4 页 共 13 页 由222122()()5553515AMADABBDABBCABBC 又因为AMABBC，所以22,515，所以815.故选：B.8ABC中4AB，2AC，D为 AB 的中点，2BEEC，则CD AE（）A0 B2 C
6、-2 D-4【答案】A【分析】取,AB AC为基底，表示出,CD AE即可求解.【详解】在ABC中，D为 AB 的中点，2BEEC，取,AB AC为基底，所以22123333AEABBEABBCABACABABAC,12CDADACABAC.所以CD AE112233ABACABAC 221263ABAC.因为4AB，2AC，所以22121216406363ABAC.即0CD AE.故选：A 二、多选题 9下面的命题正确的有（）A方向相反的两个非零向量一定共线 B单位向量都相等 C若a，b满足|ab且a与b同向，则ab D“若 A、B、C、D是不共线的四点，且ABDC”“四边形 ABCD 是平
7、行四边形”【答案】AD【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.第 5 页 共 13 页【详解】对于 A，由相反向量的概念可知 A 正确；对于 B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故 B错误；对于 C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故 C 错误；对于 D，若 A、B、C、D是不共线的四点，且ABDC，可得/ABDC，且ABDC，故四边形 ABCD是平行四边形；若四边形 ABCD是平行四边形，可知/ABDC，且ABDC，此时 A、B、C、D是不共线的四点，且ABDC，故 D正确.故选：AD.10下列说法中错误的是（）A已知1,3a，1,3b ，则a与b可以作为平面内所有
8、向量的一组基底 B若a与b共线，则abab C若两非零向量a，b满足abab，则ab D平面直角坐标系中，1,1A，4,2B，5,0C，则ABC为锐角三角形【答案】ABD【分析】利用基底定义判断选项 A；利用向量数量积定义判断选项 B；利用向量垂直充要条件判断选项 C；利用向量夹角定义判断选项 D.【详解】选项 A：已知1,3a，1,3b ，则/a b，则a与b不可以 作为平面内所有向量的一组基底.判断错误；选项 B：若a与b共线，则abab或abab.判断错误；选项 C：若两非零向量a，b满足abab，则22abab 即 22abab，整理得0a b，则ab.判断正确；选项 D：平面直角坐标
9、系中，1,1A，4,2B，5,0C，则(3,1)BA ，(1,2)BC，则(3,1)(1,2)2cos,10105BA BCBA BCBABC 又,0,BA BC，则,2BA BC，则2ABC 则ABC为钝角三角形.判断错误.第 6 页 共 13 页 故选：ABD 11已知,a b c分别是ABC三个内角,A B C的对边，下列四个命题中正确的是（）A若ABC是锐角三角形，则sincosAB B若coscosaAbB，则ABC是等腰三角形 C若coscosbCcBb，则ABC是等腰三角形 D若ABC是等边三角形，则coscoscosabcABC【答案】ACD【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质
10、可判断 A，由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可判断 B，由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断 C，利用正弦定理化边为角结合同角三角函数基本关系可判断 D.【详解】对于 A，因为ABC是锐角三角形，所以2AB，所以sinsin2AB，即sincosAB，故 A 正确；对于 B，由coscosaAbB及正弦定理，可得sincossincosAABB，即sin2sin2AB，所以22AB或22AB，所以AB或2AB，所以ABC是等腰三角形或直角三角形，故 B 错误；对于 C，由coscosbCcBb及正弦定理化边为角，可知sincossincossinBCCBB，即sinsinAB，
11、因为,A B为ABC的内角，所以AB，所以ABC是等腰三角形，故 C 正确；对于 D，由ABC是等边三角形，所以A B C，所以tantantanABC，由正弦定理coscoscosabcABC，故 D 正确.故选：ACD.12在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，已知 :4:5:6bccaab，则下列结论正确的是（）Asin:sin:sin7:5:3ABC B0CA CB C若6c，则ABC的面积是 15 D若8bc，则ABC外接圆半径是7 33【答案】AD【分析】设4bct，5cat，6abt，0t，求出72at，52bt，32ct，根据正弦定理可判断 A 正确；根据平面向
12、量数量积和余弦定理可判断 B 不正确；根据余弦定理和三角形面积公式可判断 C 不正确；根据余弦定理和正弦定理可判断 D 正确.【详解】设4bct，5cat，6abt，0t，第 7 页 共 13 页 则72at，52bt，32ct，对于 A，753sin:sin:sin:222ABCa b cttt7:5:3，故 A 正确；对于 B，CA CBcosb aC 2222abcabab22221 4925965()24448tttt0，故 B 不正确；对于 C，若6c，则4t，14a，10b，所以222196 10036cos22 14 10abcCab1314，所以21693 3sin1 cos1
13、19614CC，所以ABC的面积是113 3sin14 1015 32214abC，故 C 不正确；对于 D，若8bc，则53822tt，则2t，则7a，5b，3c，所以2224925913cos22 7 514abcCab，21693 3sin1 cos119614CC，所以ABC外接圆半径为37 32sin33 3214cC.故 D 正确.故选：AD 三、填空题 13已知复数122(1)i,45i(,)zxyzx yR ，若12zz，则xy_.【答案】4【分析】根据复数相等的概念求解即可.【详解】解：因为122(1)i,45i(,)zxyzx yR 所以2415xy ，解得26xy 所以4
14、xy 故答案为：4 14已知1,am，3,4b ，若aab，则m _【答案】2【分析】求出ab的坐标，由()aab推出()0aab，列出方程即可求得 m.【详解】已知1,am，3,4b ，所以4,4abm，第 8 页 共 13 页 由aab可得440m m，解得2m 故答案为：2.15已知1,2a，1,1b，且a与ab的夹角为锐角，则实数的取值范围为_【答案】5,00,3【分析】先利用题意算出1,2ab，再利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等式求解作答【详解】解：因为1,2a，1,1b，所以1,2ab，因为a与ab的夹角为锐角，所以0aab，且a与ab不共线，所以12 20且2 12，解
15、得53 且0，所以的取值范围为5,00,3，故答案为：5,00,3 16ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4a，223bcbc，120A，则ABC的面积为_【答案】3【分析】由余弦定理的边角关系可得316cos1202bcbc，即可求bc，再利用三角形面积公式求面积即可.【详解】由余弦定理得：222cos2bcaAbc，则316cos1202bcbc，解得：4bc，112sin4 sin3223ABCSbcA.故答案为：3.四、解答题 17已知4a，3b，23261abab(1)求ab；(2)求a与b的夹角；【答案】(1)13 第 9 页 共 13 页(2)23 【分析】（1）利
16、用向量数量积的运算律可求得a b，根据222abaa bb可求得结果；（2）利用向量夹角公式可求得cos,a b，进而确定夹角.【详解】（1）2223244337461ababaa bba b，6a b ，222213ababaa bb.（2）由（1）知：6a b，61cos,4 32a ba bab ，,0,a b，2,3a b.18已知向量a1,2，b3,4，c5,k 1若abac10，求实数 k 的值；2若向量m满足m/a，且m3 5，求向量m【答案】（1）5k；（2）m3,6或3,6.【分析】（1）利用坐标运算可得 246210k ，解这个方程可得5k；（2）因向量共线故可设ma，利用
17、已知的模长可得的值从而得到所求的向量【详解】（1）由题设有2,6ab，4,2ack，因为ab10ac，故 246210k ，所以5k （2）因为ma，故,2ma，所以22445，解得3，所以3,6m 或3,6m 【点睛】如果1122,0,ax ybxy，那么：（1）若/ab，则存在实数使得ba 且1221x yx y；（2）若ab，则12120 x xy y；19在ABC中，角,A B C的对边分别是a，b，c，且222acbbc(1)求角 A；(2)若2a，且ABC面积为3，求ABC的周长 第 10 页 共 13 页【答案】(1)3(2)6 【分析】（1）根据余弦定理即可求得角 A；（2）由
18、三角形面积求出4bc，利用余弦定理结合完全平方公式求得4bc，即得答案.【详解】（1）由题意在ABC 中，222acbbc，即222bcabc，故 2221cos22bcaAbc，由于(0,)A，所以 3A.（2）由题意ABC的面积是3，3A,即13sin324ABCSbcAbc,4bc，由 2a,2222cosabcbcA,得2224()3bcbcbcbc,则4bc，故ABC的周长为 6abc.20在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为32a的军事基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且30ADB，30BDC，60DCA，45ACB，如图所示，求蓝方这两支精锐部队
19、的距离.【答案】64a【分析】在BCD中利用正弦定理求出BC，在ABC中利用余弦定理求出AB【详解】604515BCDDCAACB ，180135DBCBDCBCD，在BCD中，由正弦定理得sinsinCDBCDBCBDC，即321222aBC，第 11 页 共 13 页 解得64aBC 60ADCADBBDC ，60DCA，ACD是等边三角形，32aACCD 在ABC中，由余弦定理得222232cos8aABBCACAB ACACB，64aAB 蓝方这两支精锐部队的距离为64a【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题 21在ABC中
20、，6CA，8AB，2BAC，D为边BC中点(1)求AD CB的值；(2)若点P满足CPCAR，求PB PC的最小值；【答案】(1)14(2)最小值为9 【分析】（1）以A为坐标原点，边ACAB、所在的直线为xy、轴的正方向建立平面直角坐标系求出AD、CB的坐标，再由向量数量积的坐标运算可得答案；（2）根据点P在AC上，设,0P x，求出PB、PC的坐标，则,86,0 PB PCxx，利用二次函数配方求最值可得答案.【详解】（1）如图，以A为坐标原点，边ACAB、所在的直线为xy、轴的正方向建立平面直角坐标系，所以0,0A，0,8B，6,0C，D为边BC中点，所以3,4D，3,4AD，6,8 C
21、B，则183214 AD CB；第 12 页 共 13 页 （2）若点P满足CPCAR，则点P在AC上，由（1），设,0P x，则,8 PBx，6,0PCx，则 2,86,039 PB PCxxx，所以当3x 时PB PC的最小值为9.22在ABC中，3,6,3 24AABAC,点 D 在BC边上，ADBD，求AD的长.【答案】10【详解】试题分析：根据题意，设出ABC的内角,A B C所对边的长分别是,a b c，由余弦定理求出a的长度，再由正弦定理求出角B的大小，在ABD中.利用正弦定理即可求出AD的长度.试题解析：如图，设ABC的内角,A B C所对边的长分别是,a b c，由余弦定理得 2222232cos(3 2)62 3 26 cos1836(36)904abcbcBAC ，所以3 10a.又由正弦定理得sin310sin103 10bBACBa.由题设知04B，所以213 10cos1 sin11010BB.在ABD中，由正弦定理得sin6sin310sin(2)2sincoscosABBBADBBBB.【解析】1.正弦定理、余弦定理的应用.第 13 页 共 13 页