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1、 2023 年高考数学第一次模拟考试卷 数学全解全析 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合212,1AxxBx x，则AB（）A1,2 B,2 C1,3 D1,2【答案】A【分析】由一元二次不等式解得11Bx
2、x，再根据集合并集运算即可解决.【详解】由题知，212,1AxxBx x，由21x，即110 xx，解得11x，所以11Bxx，所以12ABxx.故选:A.232i2i=（）A87i B87i C47i D47i【答案】D【分析】根据复数乘法公式，即可计算结果.【详解】32i2i64i3i247i.故选：D 3我国洛书中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将 1，2，3，9 填入3 3的方格内，使得三行、三列、对角线的三个数之和都等于 15，便得到一个 3 阶幻方；一般地，将连续的正整数 1，2，3，2n填入n n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作 n 阶
3、幻方记 n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为nS，如345S，那么 10 阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为（）A555 B101 C505 D1010【答案】C【分析】利用等差数列求和公式得到105050S，进而求出 10 阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和.【详解】由题意得：101001 10012310050502S ，故 10 阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为5050 10505.故选：C 4已知2114abx，且ab，则2ab（）A5 B2 5 C10 D2 10【答案】D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求解1x，进而根据模长公式即可求解.【详解】由211
4、4abx，ab得21401a bxx，所以2226,2,2622 10abab，故选：D 5某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（）A540种 B180种 C360种 D630种【答案】A【分析】首先将6名志愿者分成3组，再分配到3个社区.【详解】首先将6名志愿者分成3组，再分配到3个社区，可分为3种情况，第一类：6名志愿者分成1 23，共有12336533C C C A360（种）选派方案，第二类：6名志愿者分成1 1 4，共有1143654322C C CA90A（种
5、）选派方案，第三类：6名志愿者分成222，共有2223642333C C CA90A（种）选派方案，所以共3609090540（种）选派方案，故选：A.6已知1sin63，则cos 2+3（）A79 B23 C23 D79【答案】D【分析】利用倍角公式2cos 21 2sin36，即得.【详解】因为1sin63，所以2cos 212sin36171299 .故选：D.7如图，在三棱锥ABCD的平面展开图中，四边形BCED是菱形，1,2BCBF，则三棱锥ABCD外接球的表面积为（）A43 B2 C4 D8【答案】B【分析】画出三棱锥ABCD的直观图，由已知数据可得BDAD，BCAC，据此得到AB
6、的中点O为三棱锥ABCD外接球的球心，求出外接球的半径，代入球的表面积公式即可得解【详解】三棱锥ABCD的直观图，如图所示，则1BCBDACAD，2AB，所以222BDDAAB，222BCCAAB，则BDAD，BCAC，取AB的中点O，连接OD，OC，则OAOBOCOD，所以O为三棱锥ABCD外接球的球心，半径1222RAB，故三棱锥ABCD外接球的表面积242SR 故选：B .8若对x，Ry有()()()4f xyf xf y，则函数22()()1xg xf xx在 2018，2018上的最大值和最小值的和为（）A4 B8 C6 D12【答案】B【分析】根据原抽象函数的关系，通过合理赋值得到
7、()()8f xfx，设具有奇函数性质的新函数()()4h xf x，再证明22()1xxx为奇函数，根据奇函数奇函数为奇函数的结论再次构造具有奇函数性质得()()yxh x，再利用函数图像的平移得到最终最值和为 8.【详解】解：x，yR有()()()4f xyf xf y，取=0 x y，则(0)(0)(0)4fff，故(0)4f，取yx，则(0)()()4ff xfx，故()()8f xfx，令()()4h xf x，则()()448440h xhxf xfx，故()h x为奇函数，22()()1xg xf xx，设22()1xxx，则()()()4g xxh x，22()()1xxxx
8、，故()x为奇函数，故()()yxh x为奇函数，故函数y在 2018,2018上的最大值和最小值的和是 0，而 g x是将函数y的图像向上平移 4 个单位，即在 2018,2018上最大值和最小值均增加 4，故函数()g x在 2018,2018上的最大值和最小值的和是 8，故选：B【点睛】本题充分考察了抽象函数的奇偶性与对称性，我们需要构造新函数使其具有奇偶性，然后再利用平移的特点，得到最终最值之和.二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9已知,0a b，2aba
9、b，则下列表达式正确的是（）A2a，1b Bab的最小值为 3 Cab的最小值为 8 D22(2)(1)ab的最小值为 4【答案】ACD【分析】对 A，通过用a表示b以及用b表示a，即可求出,a b范围，对 B，对等式变形得211ab，利用 乘“1”法即可得到最值，对 C 直接利用基本不等式构造一元二次不等式即可求出ab最小值，对 D 通过多变量变单变量结合基本不等式即可求出最值.【详解】对 A 选项，,0,2a babab，即2b aa，则2aba，则02aa，且0,a 解得2a，2abab，则12,a bb则201bab，且0b，解得1b，故 A 正确；对 B 选项，,0,2a babab
10、，两边同除ab得211ab，则122332322 2ababababbaaabb ，当且仅当2abba，且211ab，即22,21ab时等号成立，故 B 错误；对 C 选项，22 2ababab，,0a b，解得2 2ab，故8ab，当且仅当2ab，且8ab，即4,2ab时等号成立，故 C 正确；对 D 选项，由 A 选项2aba代入得2222(2)(1)(2)12aabaa 222222244(2)(2)2(2)4222aaaaaa，当且仅当224(2)(2)aa，2a，即22a 时，此时21b 时，等号成立，故 D 正确.故选：ACD.10设圆 O22:4xy，直线:250lxy，P 为
11、l上的动点过点 P 作圆 O的两条切线 PA，PB，切点为 A，B，则下列说法中正确的是（）A直线 l与圆 O 相交 B直线 AB 恒过定点84,55 C当 P 的坐标为21，时，APB最大 D当|POAB最小时，直线 AB的方程为240 xy【答案】BCD【分析】求出圆心 O到直线l的距离5d.对于 A：由dr直接判断；对于 B：设,25P mm.求出以OP为直径的圆 D 的方程，得到直线 AB：2540m xyy.证明直线 AB恒过定点84,55.对于 C：先判断出 要使APB最大，只需OPA最大.在直角OPA中，由2sinOPAOP.求出OP最小时 P 21，即可判断；对于 D：利用面积
12、相等得到要使|POAB最小，只需PO最小，即OPl时，得到 P的坐标为21，求出直线 AB.【详解】圆 O22:4xy的半径2r.设圆心 O 到直线:250lxy的距离为 d，则225521d.对于 A：因为5dr，所以直线 l与圆 O相离.故 A 错误；对于 B：P为:250lxy上的动点，可设,25P mm.因为 PA，PB为过点 P作圆 O 的两条切线，所以,PAOA PBOB.所以,O A P B四点共圆，其中OP为直径.设OP的中点为25,22mmD,则222522mmOD,所以圆 D 为222225252222mmmmxy，即22520 xmxym y.所以直线 AB 为圆 D 和
13、圆 O的相交弦，两圆方程相减得：5240mxm y.即直线 AB：2540m xyy.由20540 xyy解得：8545xy ，所以直线 AB恒过定点84,55.故 B 正确；对于 C：因为OPA和OPB为直角三角形，且,OPOP OAOB,所以OPAOPB，所以OPAOPB，所以2APBOPA.要使APB最大，只需OPA最大.在直角OPA中，2sinOAOPAOPOP.要使OPA最大,只需OP最小，所以当OPl时，5OPd最小，此时1OPlkk，所以12OPk，所以直线1:2OP yx.由12250yxxy，解得：21xy ，即当 P的坐标为21，时，APB最大.故 C 正确；对于 D：因为
14、直线 AB为圆 D 和圆 O的相交弦，所以ABOP，且AB被OP平分.所以四边形OAPB的面积为|12POBSA.而四边形OAPB的面积还可以表示为2222212|2|2|2OPAPAOAOPOAOSAOP 所以22|2212POABOPS.要使|POAB最小，只需PO最小，即OPl时，得到 P的坐标为21，.所以圆22:20D xxyy,两圆相减得到直线 AB：240 xy.故 D 正确.故选：BCD.11如图，正四棱锥EABCD的底面边长与侧棱长均为a，正三棱锥FADE的棱长均为a，（）AEFBC B正四棱锥EABCD的内切球半径为212a CE，F，A，B四点共面 D平面/FAD平面BE
15、C【答案】ACD【分析】结合选项逐个验证，线线垂直通常转化为线面垂直，锥体的内切球半径通常采用分割法求解，四点共面借助余弦定理来判断，平面与平面平行通常借助线面平行来判断.【详解】对于 A，取AD的中点G，连接EG，FG，则ADEG，ADFG，又EG，FG 平面EFG，EGFGG，所以AD 平面EFG，因为EF 平面EFG，所以ADEF，又/ADBC，所以EFBC，故 A 正确.对于 B，设内切球半径为r，易求得四棱锥EABCD的一个侧面的面积为2213sin234Saa，所以22212113432334aaarar，解得624ar，故 B 错误.对于 C，取AE的中点H，连接DH，FH，BH
16、，DB，易知AEFH，AEDH，AEBH，所以DHF，DHB分别是二面角DAEF，二面角DAEB的平面角，易求得32DHFHBHa，所以2221cos23DHFHDFDHFDH FH，2221cos23DHBHDBDHBDH BH，又DHF，0,DHB，所以DHF与DHB互补，所以E，F，A，B共面，故 C 正确;因为E，F，A，B共面，又EFABAFBE，所以四边形ABEF为平行四边形，所以/AFBE，BE 平面BEC，AF 平面BEC，所以/AF平面BEC，同理/AD平面BEC，又AD，AF 平面ADF，ADAFA，所以平面/FAD平面BEC，故 D 正确 故选：ACD.12函数 2ln
17、e1xf xx，则（）A f x的定义域为 R B f x的值域为 R C f x是偶函数 D f x在区间0,上是增函数【答案】ACD【分析】由题可得函数的定义域判断 A，根据基本不等式及对数函数的性质可得函数的值域判断 B，根据奇偶性的定义可判断 C，根据指数函数，对勾函数及对数函数的性质可判断 D.【详解】因为函数 2ln e1xf xx，所以函数 f x的定义域为 R，故 A 正确；因为 222e1ln e1ln e1lnelnln eeexxxxxxxf xx，又ee2xx，当且仅当eexx，即0 x 取等号，所以 ln2f x，故 B 错误；因为 ln eexxfxf x，所以 f
18、 x是偶函数，故 C 正确；因为函数ext 在0,上单调递增，且e1xt，根据对勾函数的性质可知1utt 在1t 上单调递增，又函数lnyu为增函数，故函数 f x在区间0,上是增函数，故 D 正确.故选：ACD.第卷 三、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13设随机变量22,XN，若(4)0.2P X，则(02)PX_【答案】310【分析】根据正态分布的对称性计算可得答案.【详解】因为22,XN，(4)0.2P X，所以对称轴为2x，所以(0)0.2P X，(02)0.50.20.3PX 故答案为：310.14已知0 x，0y，且6xy，则(1)(1)xy的最大值为_【答
19、案】16【分析】利用基本不等式计算可得.【详解】解：因为0 x，0y，且6xy，所以2(1)(1)177162xyxyxyxyxy，当且仅当3xy时等号成立.故答案为：16 151766 年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学老师，把数列 0，3，6，12，24，48，96，经过一定的规律变化，得到新数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，科学家发现，新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离，并据此发现了“天王星”、“谷神星”等行星，这个新数列就是著名的“提丢斯-波得定则”根据规律，新数列的第 8 项为_【答案】19.6【分析】分析原数列、新数列的规律，从而求得正确答案.【详解
20、】原数列，从第3项起，每一项是前一项的两倍，所以其第8项为96 2192，新数列，是将原数列的对应的项：先加4，然后除以10所得，所以，新数列的第8项为19241019.6.故答案为：19.6 16 已知椭圆222210 xyabab与抛物线240ypx p有相同的焦点F，点A是两曲线的一个公共点，且AFx轴，则椭圆的离心率是_.【答案】21【分析】由,0F p可得222abp，结合抛物线方程可得A点坐标，代入椭圆方程后，可配凑出关于离心率e的方程，结合0,1e可解方程求得结果.【详解】由题意知：,0F p是椭圆222210 xyabab的焦点，222abp；AFx轴，,2A pp或,2A p
21、p，代入椭圆方程得：222241ppab，2222241ppaap，又椭圆的离心率pea，222222224411ppeeaape，解得：2232 212e，又0,1e，21e.故答案为：21.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17已知数列 na为公差不为 0 的等差数列，23a，且21log a，23log a，27log a成等差数列(1)求数列 na的通项公式；(2)若数列 nb满足11nnnba a，求数列 nb的前 n项和【答案】(1)1nan(2)24nn 【分析】（1）根据21log a，23log a，27log a成等差数列以
22、及23a 可求出首项和公差，再根据等差数列的通项公式即可求解；（2）先求出1112nbnn，再根据裂项相消法求和即可【详解】（1）21log a，23log a，27log a成等差数列，2321272172loglogloglogaaaa a，2317aa a，设数列 na的公差为0d d，211126adaad，211446a dda d，0d，解得：12ad，2133aadd，1d，122ad，11211naandnn；（2）111111212nnnba annnn，数列 nb的前 n项和为12111112334111122224nbnnnbnnb 18在ABC中，A，B，C所对的边为a
23、，b，c，满足222bcabc.(1)求A的值；(2)若2a，4B，则ABC的周长.【答案】(1)3；(2)226.【分析】（1）根据余弦定理直接求解cos A即可求出A角；（2）首先结合（1）可知54312C，然后根据正弦定理求出b，c长度，即可求出三角形周长.【详解】（1）由222bcabc，2221cos222bcabcAbcbc，0,A，3A.（2）3A，4B，54312C，562sinsinsinsincoscossin126464644C，根据正弦定理sinsinsinabcABC，得23262224bc，解得2 63b，623c；因此三角形周长为2 662222633abc.19
24、2022 年国际篮联女篮世界杯已经落下帷幕，中国女篮获得亚军，时隔 28 年再次登上大赛领奖台，追平队史最好成绩，中国观众可以通过中央电视台体育频道观看比赛实况，某机构对某社区群众观看女篮比赛的情况进行调查，将观看过本次女篮世界杯中国女篮 4 场比赛的人称为“女篮球迷”，否则称为“非女篮球迷”，从调查结果中随机抽取 50 份进行分析，得到数据如下表所示：女篮球迷 非女篮球迷 总计 男 20 26 女 l4 总计 50 (1)补全22列联表，并判断是否有99%的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关？(2)现从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取 6 人，然后从这 6 人中，随机
25、抽取 2 人，记这 2 人中男“女篮球迷”的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望.附：22n adbcKabcdacbd，nabcd 20P Kk 0.05 0.01 0.001 0k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析，没有99%的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关(2)分布列见解析，期望是43 【分析】（1）根据已知数据完善列联表后计算2K可得结论；（2）确定 6 人中的男女人数，然后得出随机变量X的值，分别计算概率得分布列，由期望公式计算期望 【详解】（1）列联表如下：女篮球迷 非女篮球迷 总计 男 20 6 26 女 10 l4 24 总计 30 20
26、 50 2250(20 14 10 6)6.4642624 3020K6.635，没有99%的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关（2）从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取 6 人，这 6 人中男“女篮球迷”有 4 人，女“女篮球迷”有 2 人，X的可能值是 0，1，2，2226C1(0)C15P X，114226C C8(1)C15P X，2426C2(2)C5P X，X的分布列为：X 0 1 2 P 115 815 25 1824()012151553E X 20 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，O是BC的中点，3PBPC，22PDBCAB.(1)求证：
27、平面PBC平面ABCD；(2)求直线AD与平面PCD所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)63 【分析】(1)根据线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量的坐标运算求线面角.【详解】（1）因为PBPC，O是BC的中点，所以POBC，在直角POC中，3PC，1OC，所以2PO.在矩形ABCD中，1AB，2BC，所以2DO.又因为2PD，所以在POD中，222PDPOOD，即POOD，而BCODO，BC，OD平面ABCD，所以PO平面ABCD，而PO平面PBC，所以平面PBC平面ABCD.（2）由（1）知，PO平面ABCD，取AD中点Q，连接OQ，易知OQ，OC，OP
28、两两相互垂直，如图，分别以OQ，OC，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则(1,1,0)A，(0,1,0)C，(1,1,0)D，(0,0,2)P，0 2 0AD，10 0CD，012CP，.设平面PCD的法向量为mxyz，则00m CDm CP，即020 xyz，令1z，则2y，所以021m，所以2 26cos3,23AD mADDmmA，所以直线AD与平面PCD所成角的正弦值为63.21 已知1F，2F椭圆2222:10 xyCabab的两个焦点，椭圆上的任意一点 P 使得124PFPF，且1PF的最大值为22(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线 l与椭圆 C交于 A，B 两点（A，B
29、不是左右顶点），且以 AB为直径的圆经过椭圆的右顶点求证直线 l过定点，并求出该定点的坐标【答案】(1)22142xy(2)证明详见解析，定点坐标为2,03 【分析】（1）根据已知条件求得,a b c，从而求得椭圆的标准方程.（2）对直线l的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线l的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，根据“以 AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点”列方程，由此求得定点坐标.【详解】（1）依题意，1242,2PFPFa a，由于1PF的最大值为22ac，所以2c，所以222bac，所以椭圆的标准方程是22142xy.（2）椭圆的右顶点为2,0Q，当直线l的斜率不存在时，设直线
30、l的方程为22xtt ，由22142xtxy得2222 1242tty，设00,A t yB ty，则22022ty，由于以 AB为直径的圆经过椭圆的右顶点2,0Q，所以AQBQ，2002221222tyyttt ，解得23t，所以直线l过2,03.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm，由22142ykxmxy消去y并化简得222124240kxkmxm，222222164 1224328160k mkmkm，即22420km.设 1122,A x yB x y，则2121222424,1212kmmxxx xkk，由于以 AB为直径的圆经过椭圆的右顶点2,0Q，所以AQBQ，121
31、2121212222yyy yxxxx，121222y yxx，121222kxmkxmxx ，221212121224k x xkm xxmxxx x，2212121240kx xkmxxm，2222224412401212mkmkkmmkk，整理得3220mkmk，23mk 或2mk，若23mk，代入得222432422099kkk，成立，若2mk，代入得2244220kk成立，所以直线l的方程为2233ykxkk x，过点2,03；或22ykxkk x，过点2,0Q，不符合题意，舍去.综上所述，直线l过定点2,03.【点睛】求解直线过定点问题，关键点是研究直线方程中参数的关系，从而求得定
32、点的坐标.有关直线和圆锥曲线相交的题目，要注意验证判别式是否成立.22已知函数 1ln1f xxx.(1)求曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程；(2)证明，对0 x，均有 11 e2ln1f xx.【答案】(1)240 xy(2)证明见解析 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；（2）将所证不等式转化为21ln1 eln1x xxxx，构造函数()1lng xxxx，利用导数研究其单调性和最值，得到21ln1 exx x ，再构造函数 ln1h xxx利用导数研究其单调性和最值，得到0ln1xx，再利用不等式的性质进行放缩证明.【详解】（1）因为1()ln1f xxx 所
33、以 211fxxx，(1)2f，(1)2f ，则切线方程为22(1)yx，即240 xy.则曲线()f x在点(1,(1)f处的切线方程为240 xy.（2）若证 21 e2ln1f xx，即证 211ln1 e2ln1ln1x xxf xxxxx，令()1lng xxxx，则()2lng xx .当20ex，时，0gx，g x单调递增，当2ex，时，0gx，g x单调递减，所以 22max()e1 eg xg，即21ln1exxx.令 ln1h xxx，0 x，则 11011xhxxx ，可知 h x在0，上单调递减，所以 00h xh，即当0 x 时，0ln1xx，从而110ln1xx，所以当01x时，1ln0 xx x，221ln1 e1 eln1xx xxxx，当1x时，1ln0 xx x，21ln1 e0ln1xx xxx，综上所述，对0 x，均有 21 e2ln1f xx.【点睛】方法点睛：在利用导数证明不等式时，合理构造函数，将问题转化为求函数的单调性和最值问题是一种常见方法，如本题中两次构造函数：（1）构造函数()1lng xxxx 证明 21ln1 exx x ；（2）构造函数=ln1h xxx证明 0ln1xx.