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1、2022-2023 学年九年级数学上册第三次月考测试题（附答案）一、选择题（满分 40 分）1若 y（2m）是二次函数，则 m 的值为（）A2 B2 C2 或2 D0 2下列长度的各组线段中，成比例线段的是（）A1cm，2cm，3cm，4cm B1cm，2cm，3cm，6cm C2cm，4cm，6cm，8cm D3cm，4cm，5cm，10cm 3如图，直线 l1l2l3，若 AB 等于 2，BC4，DE3，则线段 EF 的长为（）A5 B6 C7 D8 4函数 yax+b 和 yax2+bx+c 在同一平面直角坐标系内的图象大致是（）A B C D 5如图，ABC 的顶点都是正方形网格中的格
2、点，则 cosACB 等于（）A B C D 6大自然巧夺天工，一片小枫树叶，也蕴含着“黄金分割”如图，P 为 AB 的黄金分割点（APPB），如果 AP 的长度为 8，那么 AB 的长度是（）A44 B124 C12+4 D4+4 7如图，正方形 ABCD 的顶点 A 的坐标为（1，0），点 D 在反比例函数 y的图象上，B 点在反比例函数 y的图象上，AB 的中点 E 在 y 轴上，则 m 的值为（）A2 B3 C6 D8 8已知两点 M（6，y1），N（2，y2）均在抛物线 yax2+bx+c（a0）上，点 P（x0，y0）是抛物线的顶点，若 y0y2y1，则 x0的取值范围是（）Ax0
3、4 Bx02 C6x02 D2x02 9已知ABC 是等腰直角三角形，AB2过点 A 作 ADBC 于点 D，点 P 是直线 AD上一点，以 CP 为边，在 CP 的下方作等腰直角三角形 CPQ（如图），连接 DQ，则 DQ的最小值为（）A B C D1 10如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，D90，AB4，BC6，BAD30动点 P 沿路径 ABCD 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向点 D 运动过点 P作 PHAD，垂足为 H设点 P 运动的时间为 x（单位：s），APH 的面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（）A B C D 二、填空题（满分 20 分）11
4、已知，则 12如图，在坡角为 30的斜坡上有两棵树，它们间的水平距离 AC 为 3m，则这两棵树间的坡面距离 AB 的长为 m 13如图，在 RtABC 中，ACB90，AC3，BC4，点 D 在边 BC 上，点 E 在线段AD 上，EFAC 于点 F，EGEF 交 AB 于点 G若 EF2EG，则 CD 的长为 14已知二次函数 yax2+bx+c（a0）经过点 A（1，3），B（3，3），且当 1x3 时，3y3，则 a 的取值范围是 三、解答题（满分 90 分）15计算：3tan30cos245+2sin60 16如图 1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图 2 所示的平面直角坐标系，
5、在正常水位时，水面宽度 AB 为 12m，拱桥的最高点 C 到水面 AB 的距离为 6m（1）求抛物线的解析式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为 10m，求水面上涨的高度 17如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC 与ABC以点 O 为位似中心，且它们的顶点都为网格线的交点（1）在图中画出点 O（要保留画图痕迹），并直接写出：ABC 与ABC的位似比是 （2）请在此网格中，以点 C 为位似中心，再画一个A1B1C，使它与ABC 的位似比等于 2：1 18如图，在ABC 中，A30，cosB，AC12，求ABC 的面积 19如图，一次函数 yax+b（a0）的图象与反比
6、例函数 y（k0）的图象相交于 A，B 两点，与 x 轴，y 轴分别交于 C，D 两点，tanDCO2，过点 A 作 AEx 轴于点 E，若点 C 是 OE 的中点，且点 A 的横坐标为6（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接 ED，求ADE 的面积 20图 1 是某种路灯的实物图片，图 2 是该路灯的平面示意图，MN 为立柱的一部分，灯臂AC，支架 BC 与立柱 MN 分别交于 A，B 两点，灯臂 AC 与支架 BC 交于点 C，已知MAC60，ACB15，AC40cm，求支架 BC 的长（结果精确到 1cm，参考数据：1.414，1.732，2.449）21如图，在ABC 中，
7、ABAC，点 E 在边 BC 上移动（点 E 不与点 B，C 重合），满足DEFB，且点 D，F 分别在边 AB，AC 上（1）求证：BDECEF；（2）当点 E 移动到 BC 的中点时，BC4，ADF 的周长等于 16求：sinB 的值 22如图，抛物线 yax2+bx+3 与 x 轴交于 A，B 两点，且点 B 的坐标为（2，0），与 y 轴交于点 C，抛物线对称轴为直线 x1连接 AC，BC，点 P 是抛物线上在第二象限内的一个动点过点 P 作 x 轴的垂线 PH，垂足为点 H，交 AC 于点 Q过点 P 作 PGAC于点 G（1）求抛物线的解析式（2）P 点在运动过程中线段 PQ 有最
8、大值吗？有求出最大值（3）求PQG 周长的最大值及此时点 P 的坐标 23定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”理解：（1）如图 1，ABC 的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形 ABCD 是以 AC为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点 D（保留画图痕迹，找出 3 个即可）；（2）如图 2，在四边形 ABCD 中，ABC80，ADC140，对角线 BD 平分ABC请问 BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线”吗？请说明理由；若 BD4，求 ABBC 的值 运用
9、：（3）如图 3，已知 FH 是四边形 EFGH 的“相似对角线”，EFHHFG30连接EG，若EFG 的面积为 6，求 FH 的长 参考答案 一、选择题（满分 40 分）1解：根据题意得：m222 且 2m0，解得：m2 故选：B 2解：A、1423，不成比例线段；B、1623，成比例线段；C、2846，不成比例线段；D、31045，不成比例线段；故选：B 3解：直线 l1l2l3，EF6，故选：B 4解：当 a0 时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故 A、D 不正确；由 B、C 中二次函数的图象可知，对称轴 x0，且 a0，则 b0，但 B
10、中，一次函数 a0，b0，排除 B 故选：C 5解：如图，作 CDAB 于点 D，作 AEBC 于点 E，由已知可得，AC，AB5，BC5，CD3，SABCABCDBCAE，AE3，CE1，cosACB，方法 2：由已知可得，AC，ABBC5，CA，cosACBcosA，故选：B 6解：P 为 AB 的黄金分割点（APPB），APAB，ABAP84+4，故选：D 7解：作 DMx 轴于 M，BNx 轴于 N，如图，点 A 的坐标为（1，0），OA1，AEBE，BNy 轴，OAON1，AN2，B 的横坐标为 1，把 x1 代入 y，得 y2，B（1，2），BN2，四边形 ABCD 为正方形，AD
11、AB，DAB90，MAD+BAN90，而MAD+ADM90，BANADM，在ADM 和BAN 中，ADMBAN（AAS），DMAN2，AMBN2，OMOA+AM1+23，D（3，2），点 D 在反比例函数 y的图象上，m326，故选：C 8解：点 C（x0，y0）是抛物线的顶点，y1y2y0，抛物线有最小值，函数图象开口向上，a0，36a+6b+c4a+2b+c，8ab，4，x04 故选：A 9解：连接 BQ，ABC 是等腰直角三角形，AB2ADBC，BCAC4，ADBDCD2，CADACD45，CPQ 是等腰直角三角形，QCPC，QCPACB45，ACPBCQ，又，APCBQC，QBCPAC
12、45，点 Q 在 BQ 上运动，当 DQBQ 时，DQ 的有最小值，最小值，故选：B 10解：当点 P 在 AB 上运动时，yAHPHAPsinAAPcosAx2x2，图象为二次函数；当点 P 在 BC 上运动时，如下图，由知，BHABsinA42，同理 AH2，则 yAHPH（2+x4）224+x，为一次函数；当点 P 在 CD 上运动时，同理可得：y（2+6）（4+6+2x）（3）（12x），为一次函数；故选：D 二、填空题（满分 20 分）11解：设k0，则 x2k，y3k，z4k，；故答案为：12解：由题意知，在 RtABC 中，AC3m，A30，cosA，AB6（m），故答案为：6
13、13解：作 DHEG 交 AB 于点 H，如右图所示，EFAC，ACB90，DCAEFA90，EFDC，AEFADC，EGDH，AGEAHD，EF2EG，2，DC2DH，EGEF，DHEG，EFAC，BCAC，AC3，BC4，DHAC，BDHBCA，设 BD4x，则 DH3x，DCBCBD44x，44x23x，解得 x，CD44x44，故答案为：，14解：二次函数 yax2+bx+c（a0）经过点 A（1，3），B（3，3），两式相减得，8a+2b6，b34a，抛物线的对称轴为：x，如图，当抛物线开口向上时，则 a0，且1，1，解得 a，0a；当抛物线开口向下时，则 a0，且3，3，解得 a，
14、a0，综上，a 的取值范围是a0 或 0a，故答案为a0 或 0a 三、解答题（满分 90 分）15解：原式3（）2+2+2 16解：（1）设抛物线的解析式为 yax2+k，由题意，得：B（6，0）、C（0，6），yax2+6，0a62+6，解得 a，解析式为 yx2+6；（2）由题意得，水面宽度的横坐标为5 和 5，y52+6+6，水面上涨的高度为m 17解：（1）如图所示：点 O 即为所求，ABC 与ABC的位似比是：1；2；故答案为：1：2；（2）如图所示：A1B1C 即为所求 18解：过点 C 作 CDAB，垂足为 D，在 RtACD 中，A30，AC12，CDAC6，ADAC6，在
15、RtBCD 中，CD6，cosB，设 BD4x，则 BC5x，由勾股定理得，62+（4x）2（5x）2，解得 x2 或 x2（舍去），BD4x8，SABCABCD（6+8）618+24，答：ABC 的面积为 18+24 19解：（1）AEx 轴于点 E，点 C 是 OE 的中点，且点 A 的横坐标为6，OE6，OC3，RtCOD 中，tanDCO2，OD6，A（6，6），D（0，6），C（3，0），直线 yax+b（a0）与 x 轴、y 轴分别交于 C、D 两点，解得，一次函数的解析式为 y2x6，把点 A 的坐标（6，6）代入 y（k0），可得 6，解得 k36，反比例函数解析式为 y；（2
16、）SADEAEOE18 20解：如图 2，过 C 作 CDMN 于 D，则CDB90，CAD60，AC40（cm），CDACsinCAD40sin604020（cm），ACB15，CBDCADACB45，BCCD2049（cm），答：支架 BC 的长约为 49cm 21（1）证明：ABAC，BC DEC 是BDE 的外角，DECB+BDE DECDEF+CEF，又DEFB，BDECEF，BDECEF；（2）解：BDECEF，E 是 BC 的中点，BECE，即，DEFB，BC，CDEF DEFECF DFEEFC，即 FE 平分DFC，同理可得 DE 平分BDF，过点 E 分别作 DF，AB，A
17、C 的垂线交 DF，AB，AC 于点 G，H，I，AH+AIAD+DF+AF16，连接 AE，ABAC，AE 是ABC 的中线，BAECAE，在AHE 和AIE 中，AHEAIE（AAS），AHAI，AH8，又BC4，E 是 BC 的中点，BE2，BHEBEA，BHEBEA，BE2BHAB，BH2，由勾股定理得：HE4，sinABE 22解：（1）抛物线 yax2+bx+3 过点 B（2，0），对称轴为直线 x1，则，解得，yx2x+3；（2）PQ 有最大值，理由：令 y0，即，x2x+30，x14，x22，A（4，0），令 x0，得 C（0，3），由点 A、C 的坐标得，直线 AC 的解析式
18、为 yx+3，设 P（m，），Q（m，m+3），PQ（m+3）（m+2）2+，当 m2 时，PQmax；（3）PHCO，ACOAQHPQG，则APG90PQG90AQHCAO，AOCPGQ，AO4，OC3，AC5，PQ：PG：QG5：4：3，当 QP 最大时，PQG 周长最大，CPQG周长max（5+4+3），由（2）知，PQ 最大时，xm2，当 x2 时，yx2x+33，P（2，3）23解：（1）如图 1 所示AB，BC2，ABC90，AC5，四边形 ABCD 是以 AC 为“相似对角线”的四边形，当ACD90时，ACDABC 或ACDCBA，CD2.5 或 CD10，同理：当CAD90时，
19、AD2.5 或 AD10，如图中，D1，D2，D3，D4即为所求；（2）如图 2，BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线”，理由如下：ABC80，BD 平分ABC，ABDDBC40，A+ADB140，ADC140，BDC+ADB140 ABDC，ABDDBC，BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线”；ABDDBC，BD2ABBC，又BD4，ABBC16；（3）如图 3，FH 是四边形 EFGH 的“相似对角线”，EFH 与HFG 相似 又EFHHFG，FEHFHG，FH2FEFG，过点 E 作 EQFG 垂足为 Q，可得 EQFEsin60EF，FGEQ6，FGEF6，FGFE24，FH2FGFE24，FH2