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1、2008年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题（每题5分，共40分）题号12345678答案CAAB BDCC二、填空题（每题5分，共30分,两空的前一空3分，后一空2分）9， 1060 11 125 13 14， 15. ，三、解答题（本大题共6小题，共80分）16（本题满分12分）OxyBAC如图、是单位圆上的点，是圆与轴正半轴的交点，点的坐标为，三角形为正三角形（）求；（）求的值解：()因为点的坐标为，根据三角函数定义可知， ， 2分所以 4分()因为三角形为正三角形，所以， 5分所以 8分所以 12分17、（本题满分12分）如图，在组合体中，
2、是一个长方体，是一个四棱锥，点且（）证明：；（）求与平面所成的角的正切值；（）若，当为何值时，()证明：因为，所以为等腰直角三角形，所以 1分因为是一个长方体，所以，而，所以，所以 3分因为垂直于平面内的两条相交直线和，由线面垂直的判定定理，可得4分()解：过点在平面作于，连接5分因为，所以，所以就是与平面所成的角6分因为，所以 7分所以与平面所成的角的正切值为 8分()解：当时， 9分当时，四边形是一个正方形，所以，而，所以，所以 10分而，与在同一个平面内，所以 11分zxy而，所以，所以 12分方法二、方法二：()如图建立空间直角坐标系，设棱长，则有， 2分于是，所以，3分所以垂直于平面
3、内的两条相交直线和，由线面垂直的判定定理，可得 4分()，所以，而平面的一个法向量为5分所以 6分所以与平面所成的角的正弦值为 7分所以与平面所成的角的正切值为 8分()，所以，设平面的法向量为，则有，令，可得平面的一个法向量为 10分若要使得，则要，即，解得11分所以当时， 12分18.（本小题满分14分）抛物线的准线的方程为，该抛物线上的每个点到准线的距离都与到定点N的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线 相切的圆，（）求定点N的坐标；（）是否存在一条直线同时满足下列条件： 分别与直线交于A、B两点，且AB中点为； 被圆N截得的弦长为解：（1）因为抛物线的准线的方程为所以，根据抛物线的定
4、义可知点N是抛物线的焦点， -2分所以定点N的坐标为 -3分（2）假设存在直线满足两个条件，显然斜率存在， -4分设的方程为， -5分以N为圆心，同时与直线 相切的圆N的半径为， -6分方法1：因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1， -7分即，解得， -8分当时，显然不合AB中点为的条件，矛盾！ -9分当时，的方程为 -10分由，解得点A坐标为， -11分由，解得点B坐标为， -12分显然AB中点不是，矛盾！ -13分所以不存在满足条件的直线 -14分方法2：由，解得点A坐标为， -7分由，解得点B坐标为， -8分因为AB中点为，所以，解得， -10分所以的方程为，圆心N到直线
5、的距离， -11分因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ -13分所以不存在满足条件的直线 -14分方法3：假设A点的坐标为，因为AB中点为，所以B点的坐标为， -8分又点B 在直线上，所以， -9分所以A点的坐标为，直线的斜率为4，所以的方程为， -10分圆心N到直线的距离， -11分因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ -13分所以不存在满足条件的直线 -14分19（本小题满分14分）佛山某公司生产陶瓷，根据历年的情况可知，生产陶瓷每天的固定成本为14000元，每生产一件产品，成本增加210元已知该产品的日销售量与产量之间的关系式为 ，每件产品
6、的售价与产量之间的关系式为（）写出该陶瓷厂的日销售利润与产量之间的关系式；（）若要使得日销售利润最大，每天该生产多少件产品，并求出最大利润解：()总成本为 1分所以日销售利润 6分()当时， 7分令，解得或 8分于是在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在时取到最大值，且最大值为30000； 10分当时， 12分综上所述，若要使得日销售利润最大，每天该生产400件产品，其最大利润为30000元 14分20（本小题满分14分）设直线. 若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：直线l与曲线S相切且至少有两个切点；对任意xR都有. 则称直线l为曲线S的“上夹线”（）已知函数求证：为曲线的“上夹线”
7、（）观察下图： 根据上图，试推测曲线的“上夹线”的方程，并给出证明解 （）由得， -1分当时，此时， -2分，所以是直线与曲线的一个切点； -3分当时，此时， -4分，所以是直线与曲线的一个切点； -5分所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点； 对任意xR，所以 -6分因此直线是曲线的“上夹线” -7分（）推测：的“上夹线”的方程为 -9分先检验直线与曲线相切，且至少有两个切点：设： ，令，得：（kZ） -10分当时,故：过曲线上的点(，)的切线方程为：y= ()，化简得：即直线与曲线相切且有无数个切点 -12分不妨设下面检验g(x)F(x)g(x)F(x)= 直线是曲线的“上夹线” -14分21（本小题满分14分）数列满足（）求数列的通项公式；（）设数列的前项和为，证明解：()方法一：，所以 3分所以是首项为，公差为的等差数列 4分所以，所以 6分方法二：，猜测 2分下用数学归纳法进行证明当时，由题目已知可知，命题成立； 3分假设当()时成立，即，那么当，也就是说，当时命题也成立 5分综上所述，数列的通项公式为 6分（）设 则 8分函数为上的减函数，所以，即从而 10分 11分 13分 14分