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1、.word 格式.数学分析题库数学分析题库（1-221-22 章章）四四计算题计算题、解答题解答题求下列极限求下列极限n2 4(n 2)(n 2)lim lim(n 2)解解：.limnn 2nnn 2lim(1n1112231)n(n1)1111 lim(1n12231 lim(1)1nn1ex1ex1 lim1limx0cosxx0cosx1.这是这是11)nn10型型，而而0(1 x)e1x1ln(1x)x1x111ln(1 x)2x 1 xx1x(1 x)ln(1 x)(1 x)xx2(1 x)(1 x)故原极限lim(1 x)x01xx(1 x)ln(1 x)x2(1 x)1ln(1
2、 x)1x02x3x211 elim x026x x1 elim5 5n31(n 1)(n2 n 1)lim lim lim(n2 n 1)3n1n 1n1n1(n 1).专业资料.学习参考.word 格式.6 6lim(1n11n)nn2n2n(n1)n21n1 lim(12)nnn1n2n(n 1)因lim1，lim2nnn 1n故原极限e e.17 7用洛必达法则用洛必达法则lim1 2sin x 2cosx3 lim3sin3xcos3x3xx6611ex1 x)lim8.8.lim(xxx0 xx0e 1x(e 1)ex1ex1 limx limx0 xe ex1x0 xex2ex2
3、9.limx0tan x x;x sin x解法 1：tan x xsec2x1 limlimx0 xsin xx01cosx21 cos x li m2x0cos（x 1 cox s）1cosxx0cos2x 2 lim解法 2：tan x xsec2x1lim limx0 xsin xx01cosx2sec2xtan x limx0sin x2 limx0cos3x 2.专业资料.学习参考.word 格式.10lim(sin2xcosx)x01x解故因limsin2xcosx12cos 2xsin x lim 2，（3 分）x0 x0 x1原式 lim(1sin2xcosx1)x01sin
4、2xcosx1sin2xcosx1x=e2求下列函数的导数求下列函数的导数11.y excosx13.y xsinx12.y ln(lnx)14.求 y sin x 的各阶导数.x解 11y e cos x e sin x12y 13y (ex111ln x xxln xsin xln x)xsin x(cosxln x sin x)x14.y cosx sin(x2)y sin x sin(x2)2y cosx sin(x3)2y(n)sin(xn)215y esin2x 2ecos2xxx16y 17y e18y(n)11(sin x)cosx ln xxsin xln(cos x)(co
5、sx)sin x(cosxln(cosx)tanx)sin(x(n 1),(n 1,2,).211tanxxx1sec2ln3；1923xx20.求下列函数的高阶微分：设u(x)ln x,v(x)e，求d(uv),d()x33uv.专业资料.学习参考.word 格式.解因为d3(uv)2x1x1x12x u v C u v C u v uv e 3e 3e ln xe33xdx3x3x2233(32 ln x)exxxxd3(uv)333x2dx e(ln x)dx3所以d(uv)332dxxxx3d3ud32x11xxxx()(ln xe)e3(e)3e ln x(e)3332xdxvdxx
6、x233 ex(32ln x)xxx所以d()e(21.y(arctanx);323uvx2333ln x)dx32xxx解：y 2arctan x3(arctanx3)6x23arctanx1 x622.y xx;xx解：令y1 x,ln y1 xln x两边对两边对x求导有 y1 ln x1,(xx)xxln x xxy1ln y xxln x两边对x求导有y(xxln x)y(xx)ln x xx(ln x)(xxln x xx)ln x xx1y x(x ln x x)ln x x xxxx(ln2xln x x1).专业资料.学习参考.xxxxxx1).word 格式.td2yx e
7、 cost,:23.求由参量方程所确定的函数的二阶导数2tdxy e sint;tx e cost,解法 1：ty e sint;由含参量方程的求导法则有dyetcost etsintcost sintttdxe cost e sintcost sintdycost sint,d2y求2即求参量方程dxcost sint的导数dxx etcost;(cost sint)2(cost sint)2dyd()d2y2(cost sint)2dx2tt3dxdxe(cost sint)e(cost sint)tx e cost,解法 2：ty e sint;由含参量方程的求导法则有dyetcost
8、etsintcost sintt tan(t)tdxe cost e sintcost sint4dyd2y tan(t),求2即求参量方程dx4的导数dxx etcost;d2y2dxd(dy)sec2(t)2tdx4e sec3(t)dx242etcos(t)4(6)24设y x e,试求y3x.解 基本初等函数导数公式，有(x3)3x2,(x3)6x,(x3)6,(x3)(k)=0,k 4,5,6,(ex)(k)ex,k 1,2,.专业资料.学习参考.,6,.word 格式.应用莱布尼兹公式（n 6）得y(6)x3ex63x2ex156xex206ex(x318x290 x120)ex.
9、x a(t sint),25试求由摆线方程所确定的函数y f(x)的二阶导数.y a(1cost)解解dy(a(1cost)sintt cot,dx(a(t sint)1cost2t 1tcotcsc22d y222 1csc4t.dx2(a(t sint)a(1cost)4a2626.求f(x)ln(1 x)到x项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式.2解解 因为x2x3ln(1 x)xo(x3),236所以f(x)ln(1 x)到x项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为2x4x6ln(1 x)x o(x6).232227xyy f(x)(,2)极小值(2,1)递增，不存在(1,0)递增，极大值(0,
10、)递减，凹28解解（1）lim f(x)limx sinmx0 x0凹凹递减，凹10 f(0)，故对任意正整数m，f在x 0连x.专业资料.学习参考.word 格式.续.（2）f(0)limx0f(x)f(0)limx0 x 0 xmsin1010 x limxm1sinx0 xx不存在m 1，故 当m 1m 1时，f在x 0可导.（3）先计算f的导函数.x00，xmsinf(x0)limxx0111111mmmm x0sinxmsin x0sin x0sin x0sinxx0 xxxx0 limxx0 x x0 x x0111m x0(sinsin)xxx0 x x0m(xm x0)sin
11、limxx0 x x0 x xsin02xx02xx01m1 lim(xm1 xm2x0 x0)sin limxx0 xxx0 x x011111m1mm1m2 mx0sin x0cos2 mx0sin x0cosx0 x0 x0 x0 x0mx02coslim f(x)lim(mxm1sinx0 x0m 211110 xm2cos)limxm2(mxsincos)x0 xxxx不存在m 2x0由（2）知，f(0)0，于是当m 2时，有lim f(x)0 f(0)，所以当m 2时，f 在x 0连续.29解解因为f(x)2x,g(x)3x，故当x 0时，f(0)0,g(0)0，不满足柯2西中值定
12、理的条件，所以在区间-1,1上不能用柯西中值定理.30证明证明（1）对任何x 0，有f(x)x sin4210 f(0)，故x 0是极小值点.x（2）当x 0时，有f(x)4x3sin2111111 2x2sincos 2x2sin(2xsincos)，作数列xxxxxx.专业资料.学习参考.word 格式.xn12n2，yn12n4，则xn 0，yn 0.即在x 0的任何右邻域0U(0)内，既有数列xn中的点，也有数列yn中的点.并且f(xn)0，f(yn)0，所以在U(0)内f 的符号是变化的，从而f不满足极值的第一充分条件.又因为0 x4sin2f(0)limx0111102x2sin(
13、2xsincos)0 xxxx 0，f(0)lim0，所x0 xx以用极值的第二充分条件也不能确定f的极值.31 答答：能 推 出f在(a,b)内 连 续.证 明 如 下：x0(a,b)，取minx0 a,b x0，于是x0a,b，由题设，f在a,b 上连续，从而在x0连续.由x0的任意性知，f在(a,b)内连续.32.试求函数y|2x 9x 12x|在1,3上的最值和极值.3212解解y|2x39x212x|x(2x29x12)|2x(2x 9x12),1 x 0,2x(2x 9x12),0 x 3,在闭区间1,3上连续,故必存在最大最小值.26x 18x12,y 26x 18x12 6(x
14、1)(x2),1 x 0,0 x 3,6(x1)(x2),令y 0,得稳定点为x 1,2.又因f(0)12,f(0)12,故y在x 0处不可导.列表如下x1,0)0不存在(0,1)01(1,2)20(2,3f(x).专业资料.学习参考.word 格式.极小值极大值递增递减极小值递增f(x)递减f(0)0f(1)5f(2)4所以x 0和x 2为极小值点,极小值分别为f(0)0和f(2)4,x 1为极大值点,极大值为f(1)5.又在端点处有f(1)23,f(3)9,所以函数在x 0处取最小值0,在x 1处取最大值23.33.求函数y x 5x 5x 1在1,2上的最大最小值：543解：令y f(x
15、)y 5x420 x315x2 5x2(x24x3)5x2(x1)(x3)令y 0解得函数在1,2的稳定点为x1 0,x21,而f(1)10,f(0)1,f(1)2,f(2)7，所以函数在1,2的最大值和最小值分别为fmax(1)2,fmin(1)10.34.确定函数y 2x 3x 36x 25的凸性区间与拐点:32解：令y f(x)y 6x26x36,y 12x6,1，211当x(,)时，y 0，从而区间(,)为函数的凹区间,2211当x(,)时，y 0，从而区间(,)为函数的凸区间.2211131 13并且f()0,f()，所以(,)为曲线的拐点.22222y 12x6 0,解得x.专业资
16、料.学习参考.word 格式.1 35.设an1(n 1,2,),则an是有理数列.n点集ann 1,2,n非空有界,但在有理数集内无上确界.数列an递增有上界,但在有理数集内无极限.1 36.设an1(n 1,2,),则an是有理数列.n点集ann 1,2,n有界无限,但在有理数集内无不存在聚点.数列an满足柯西准则,但在有理数集内不存在极限.37.不能从H中选出有限个开区间覆盖0,.因为H中任意有限个开区间,设其中左端点最小的为38.1211,则当0 x 时,这有限个开区间不能覆盖x.N 3N 2du66x5x2 x11dx29.u xdx 6x1x3 x2u 3u x3x2 6 xln
17、x1C32 2 u 33u 66u 6ln6u 1 C.39.令x asint,t 22,则222a2a x dx acostdasint acos tdt 21cos2tdta211xt sin2tC a2arcsin x a2 x2C.222a40.x21x21131.xarctanxdx arctanxdarctanxx21d arctanx222222x 11x 1x 11arctanxdx arctanxxC.221 x22241.专业资料.学习参考.word 格式.2 x211432.dx 2dx ln x1 321 xx1x x12x1 ln x1 12x1arcsinC.333
18、2dx42.令t x28t,则有x,dx dt,222x2t 1t 12t211xx24t222dtdx dt 2222x21t1t1t1t11t ln2arctan t C ln1t1x2 x2x2 x22arctanx2C.x21t22x,dx dt,43.令t tan,则有cosx 21t21t2dxdt1d(2t)112tanxC.arctan2t C arctan2253cos x14t221(2t)2244.45.46.e1eln x dx 1ln xdxln xdx xlnx x1xlnx x1 2(1e1).1e1ee1e101exdx x tetdt2 2tdet 2 tet
19、etdt 2 eet00001111111110 2.arcsin xdx xarcsin x 00021d 1 xxdx12 1 x1.2201 x22201 x21147.J limn2n n 1n222122n limni1ni 1n21.其 中 和 式 是 函 数n1dx1J arctan x在上的一个积分和,所以.0,1f(x)0401 x21 x2148.F(x)xaf(t)(xt)dt xf(t)dt tf(t)dt.于是aaxxF(x)f(t)dt xf(x)xf(x)f(t)dt,F(x)f(x).aaxx49.以平面x x0(x0 a)截椭球面,得一椭圆y2x b21a20
20、2z2x c21a2021.所以截面积函数为.专业资料.学习参考.word 格式.x2x2bc12,xa,a.于是椭球面的体积V bc12dx 4abc.3aaa50.化椭圆为参数方程:x acost,y bsint,t 0,2.于是椭圆所围的面积为aA 202bsintacostdt absin2tdt ab.051.x a(1cost),y asint,0 t 2,于是所求摆线的弧长为s 20 x(t)y(t)dt 22202t2a(1cost)dt 2asindt 8a.02252.根据旋转曲面的侧面积公式S 2baf(x)1 f 2(x)dx可得所求旋转曲面的面积为S 2sin x 1
21、cos2xdx 22 ln053.因为2 1.0 xex2dx limA0Axex21x211eA21.dx lime lim22A0A22A于是无穷积分54.因为021xexdx收敛,其值为.2dxdx1x1dx lim lim1x2(1 x)A1x2(1 x)A11 xx211 limln(1 x)ln x limln1 Aln2ln A11ln2.Ax1AAAAA于是无穷积分1dxdx收敛,其值为1ln2.x(1 x)211 11155.因为,从而级数的部分n(n1)(n 2)2n(n 1)(n 1)(n 2)n(n1)(n 2)n1和为n11 11111 1(n )k(k 1)(k 2
22、)2 k(k 1)(k 1)(k 2)2 2(n1)(n2)4k1k1n.于是该级数收敛,其和为1.4.专业资料.学习参考.word 格式.56.因为lim1cosn112sin211 n lim2n1,且级数收敛,所以级数1cos收敛.2nn112n1nn122nnnnn157.因为limnun lim1,由根式判别法知级数收敛.nn2n12n12n158.因为limn1nsin2n1n12 2,且级数发散,故原级数不绝对收敛.但sin单调递减,且nnn1 n22limsin 0,由莱布尼茨判别法知级数1sin条件收敛.nnnn159.因为nxn11112sinsinkx cosk xcos
23、k x cosxcosnx,2k12222k1x当x(0,2)时,sin 0,于是.所以级数sinnx的部分和数列2n111cosxcosnx221Snsinkx xxk12sinsin22n当x(0,2)时有界,从而由狄利克雷判别法知级数sinnx收敛;nn1同法可证级数cos2nx在x(0,)上收敛.nn1s i n x又 因 为ns2i n x11nn2cn ox s 21ncxo s 21,级 数发 散,2 n2 n2nn1sin nxcos2nx1cos2nx 收敛,于是级数发散,由比较判别法知级数发散.nn2n2nn1n1n1所以级数sinnx在x(0,2)条件收敛.nn1(1)n
24、(x n)n60.判断函数项级数在区间0,1上的一致收敛性.nn1.专业资料.学习参考.word 格式.(1)nx解解记un(x),vn(x)1.则有 级数un(x)收敛;nnx 对每个x0,1,vn(x)；|vn(x)|1 e对x0,1n和n成立.由Abel判别法,61.fn(x)nn在区间0,1上一致收敛.nx,x0,1.讨论函数列fn(x)的一致收敛性.221 n x解解limfn(x)0,x0,1.|fn(x)0|fn(x).可求得nmaxfn(x)fn()0 x11n1 0,(n ).2函数列fn(x)在区间0,1上非一致收敛.62.函数列122n x,0 x,2n11fn(x)2n
25、2n2x,x,n 1,2,2nn10,n x 1.在0,1上是否一致收敛？解：由于fn(0)0，故f(0)lim fn(0)0.当0 x 1时，只要n nn1，就有xfn(x)0，故在(0,1上有f(x)limfn(x)0.于是函数列（8）在0,1上的极限函数f(x)0，又由于x0,1sup fn(x)f(x)fn(1)n (n )，2n所以函数列（8）在0，1上不一致收敛.63.fn(x)2n xe2n2x2在R R内是否一致收敛？解解显然有fn(x)0,|fn(x)f(x)|fn(x)在点xn12n处取得极大值.专业资料.学习参考.word 格式.1 fn 2ne2 0,(n ).由系 2
26、,fn(x)不一致收敛.2n164.函数列122n x,0 x,2n11fn(x)2n 2n2x,x,(n 1,2,),2nn10,x 1.n在0,1上是否一致收敛？1解解0 x 1时,只要n x,就有fn(x)0.因此,在(0,1上有f(x)limfn(x)0.fn(0)0,f(0)limfn(0)0.于是,在0,1上有nn 1 f(x)limfn(x)0.但由于max|fn(x)f(x)|fn n 0,(n ),x0,1n2n因此,该函数列在0,1上不一致收敛.65.求幂级数1234x2x33x54x7的收敛域.3333n 12n1233547解解x 2x 3x 4x xn1x是缺项幂级数
27、.3333n03limn|an1|1,R 3.收敛区间为(3,3).x 3时,|an|3通项 0.因此,该幂级数的收敛域为(3,3).66.计算积分I 解解ex210exdx,精确到0.0001.2x2n,x(,).(1)n!n0n因此,10ex22n2n1xnnxdx(1)dx(1)0n!dx 0n!n0n01(1)nn01.(2n 1)n!上式最后是LeibnizLeibniz型级数,其余和的绝对值不超过余和首项的绝对值.为使.专业资料.学习参考.word 格式.11,可取n 7.故从第0项到第6项这前 7 项之和达到要求的精度.于是(2n 1)n!1000I 111111x2edx103
28、52769241112013720110.33333.0.100000.023810.004630.000760.00011 0.746867.把函数f(x)ln(5 x)展开成(x 2)的幂级数.解解nnx2x3n1xn1xln(1 x)x (1)(1),x(1,1.n23nn1而ln(5 x)ln(7 x 2)ln1x 2ln77(1)n1n1(x 2)n ln7,x(5,9.7nn68.求幂级数n 1nx的和函数.n0n!解法一解法一收敛域为(,),设和函数为S(x),则有x0 xn11xn1nn xex.S(t)dt t dt (n1)t dt 00n0n!n0n!n0n!xxn 1n
29、xS(x)=S(t)dt (xex)(1 x)ex,x(,).因此,0n0n!nxnn 1nx解法二解法二n!n!n0n0 xnn!n0 xn exn1(n 1)!xn ex xex ex(x 1)ex,x(,).xn0n!69.展开函数f(x)(1 x)e.xxn解解f(x)e xe n0n!xxxn1n0n!xnxnn0n!n1(n 1)!.专业资料.学习参考.word 格式.1xnxn1n11x(n1)!n1n!n1(n1)!n1n!1 nn1 nnxx,|x|.1n!n!n1n070.在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数f(x)x,（i）x,（ii）0 x 2.解（1）（i）函数f及
30、其周期延拓后的图象所示.显然f是按段光滑的，故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数.由于a0当n 1时，有1f(x)dx xdx 01.an1f(x)cosnxdx xcosnxdx111xsinnx|sinnxdxnn12cosnx|0 x11bnf(x)sin nxdx xsinnxdx11xcosnx|cosnxdxnn 2,当n为偶数时，n2,当n为奇数时.n所以在区间(,)上f(x)2(1)n1n1sinnx,n（ii）函数f及其周期延拓后的图象所示.显然f是按段光滑的，故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数.由于a0当n 1时120 xdx 2.an120 xcosnxdx112xsi
31、nnx|0nn 0.专业资料.学习参考.20sinnxdx,.word 格式.bn120 xsinnxdx112 xcosnx|0nn2 20cosnxdx.所以在区间(0,2)上f(x)2sinnxn.n171.设f(x)是 以2为 周 期 的 分 段 连 续 函 数,又 设f(x)是 奇 函 数 且 满 足f(x)f(x)试求f(x)的 Fourier 系数b2n1f(x)sin2nxdx的值，n 1,2,.解由f(x)是奇函数，故f(x)sin2nx是偶函数，再由f(x)f(x)，故有2b2nfxsin2nxd x02f xsin2nxd x0.作变换 x t，则20ftsin2n t1
32、dt2 ftsin2ntdt0 b2n.b2n所以,b2n 0,n 1,2,.72.设f(x)以2为周期，在区间0,2内,试求f(x)的 Fourier 级数展开式。x,0 x 2,fx20,x 2,解由 Fourier 系数的计算公式，12xa0d x 1,0212xxsinnx212ancosnxd x sinnxd x 0,0222n022n012xbnsinnxd x02xcosnx212 2cosnxd x202 n2 n01n.专业资料.学习参考.word 格式.又f(x)满足 Fourier 级数收敛的 Dirichlet 条件，故 x21,x 0,11sinnx1fx,x 0,
33、2n1n2x,0 x ,2.73.设 x2 x,x 0fx2x x,0 x ,求在,内f(x)的以2为周期的 Fourier 级数展开式.解注意到f(x)是奇函数，故f(x)的 Fourier 系数an 0,n 0,1,2,2bnfxsinnxd x02x x2sinnxd x0222 x xcosnx 2xcosnxd x0n0n24 2xsinnxsinnxd x2200n n 4cosnx0n3n4 11n 3,n 1,2,.因此b2n 0,b2n182n 13,n 1,2,3,.由f(x)在,内分段单调，连续，且f()f(),故在,内81fxsin2n 1x3n12n 1.74.设f(
34、x)是以2为周期的连续函数,其 Fourier 系数为a0,an,bn,n 1,2,.试用a0,an,bn,表示函数F(x)f(x)cosx的 Fourier 系数解由 Fourier 系数的计算公式，A011F x d x fxcosxd x a1,.专业资料.学习参考.word 格式.1Fxcosnxd x1fxcosxcosnxd x1fxcosn 1x cosn 1xd x21an1 an1,n 1,2,3,21B1Fxsinxd xb21f x sin2xd x,221Bnfxcosxsinnxd x1fxsinn 1x sinn 1xd x21bn1bn1,n 2,3,22xy 4
35、75.试求极限lim.(x,y)(0,0)xyAn解2xy4xylim(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)xy(2xyxy4)11lim(x,y)(0,0)2xy44.lim76.试求极限解由(x,y)(0,0)lim1cos(x2 y2)(x y)e22x2y2.x2 y22sin1cos(x2 y2)x2 y22limlimx2y22222x2y2(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)x y2(x y)ee4()210 02.1177.试求极限lim(x y)sinsin.(x,y)(0,0)xy2解由于111111lim(x y)sinsinlim(xsinsin ysinsin)
36、(x,y)(0,0)xy(x,y)(0,0)xyxy,又x y,2所以.专业资料.学习参考.word 格式.1111xsinsin 0limysinsin 0(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)xyxy，,lim所以11lim(x y)sinsin 0(x,y)(0,0)xy.xy278.试讨论lim.(x,y)(0,0)x2 y4解当点(x,y)沿直线y x趋于原点时，yx0 xy2x3lim2 lim2 0 x0 x y4x0 x x42.当点(x,y)沿抛物线线x y趋于原点时，xy 0 xy2y41lim2 limy0 x y4y0y4 y422x2y21 x y122.因为二者不
37、等，所以极限不存在.79.试求极限解由(x,y)(0,0)lim.(x,y)(0,0)lim(x2 y2)(1 x2 y21)lim22x2 y21 x y 1(x,y)(0,0)x2 y2lim(1 x2 y21)2.=(x,y)(0,0)80.u f(x y,xy),f有连续的偏导数，求解令v x y,w xy,则u u,.x yuf vf wff yxv xw xvwuf vf wff xwyv yw yvdzx81.z arctanxy,y e,求.dx解由dz1(y xy)2dx1(xy)1ex(1 x)xx(e xe)x21 x2e2x.1(xe).专业资料.学习参考.word 格
38、式.82.求抛物面z 2x y在点M(1,1,3)处的切平面方程与法线方程。22解由于zx 4x,zy 2y,在M(1,1,3)处zx(1,1,3)4,zy(1,1,3)2，所以,切平面方程为4(x1)2(y 1)z 3.即4x 2y z 3 0法线方程为x1y1z 3421.83.求f(x,y)2x xy y 6x 3y 5在(1,2)处的泰勒公式.22解由x01,得y0 2,f(1,2)5fx(x,y)4x y 6,fx(1,2)0fy(1,2)0fy(x,y)x 2y 3,fxy(x,y)1,fyy(x,y)2,fx x(x,y)4,fx x(1,2 )4fxy(1,2)1fyy(1,2
39、)2.f(x,y)52(x1)2(x1)(y 2)(y 2)2.84.求函数f(x,y)e(x y 2y)的极值.2x2解由于fx 2e2x(x y2 2y)e2x e2x(2 x y2 2y)02xf 2e(y1)0y解得驻点(1,1)，fxx 2e2x(2 x y22y)e2x,fxy e2x(22y),fyy 2e2x22A f(1,1)e 0,B f(1,1)0,C f(1,1)2exxxyyy2AC B 2 0,A 02所以(1,1)是极小值点,极小值为f(1,1)2e.85.叙述隐函数的定义.答:设X R，Y R，函数F:X Y R.对于方程F(x,y)0,若存在集合.专业资料.学
40、习参考.word 格式.I X与J Y，使得对于任何xI，恒有唯一确定的y J，使得(x,y)满足方程F(x,y)0,则称由方程F(x,y)0确定了一个定义在I上，值域含于J的隐函数。一般可记为y f(x)x I,y J.且成立恒等式F(x,f(x)0,xI.86.叙述隐函数存在唯一性定理的内容.答:若F(x,y)满足下列条件:（i）函数 F 在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D R2上连续;（ii）F(x0,y0)0（通常称为初始条件）;（iii）在 D 内存在连续的偏导数Fyx,y;（iv）Fyx0,y00,则在点P0的某邻域U(P0)D内，方程Fx,y=0 唯一地确定了一个定义在某区
41、间(x0,x0)内的函数（隐函数）y f(x)，使得1fx0 y0,x(x0,x0)时(x,f(x)U(P0)且Fx,f(x)0；2fx在(x0,x0)内连续.87.叙述隐函数可微性定理的内容.答:若F(x,y)满足下列条件:2（i）函数 F 在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D R上连续;（ii）F(x0,y0)0（通常称为初始条件）;（iii）在 D 内存在连续的偏导数Fyx,y;（iv）Fyx0,y00,又设在 D 内还存在连续的偏导数Fx(x,y)，则由方程F(x,y)0所确定的隐函数在y f(x)在其定义域(x0,x0)内有连续导函数，且.专业资料.学习参考.word 格式.f(
42、x)Fx(x,y).Fy(x,y)88.利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.答:设y f(x)在x0的某邻域内有连续的导函数f(x)，且f(x0)y0;考虑方程F(x,y)y f(x)0.由于F(x0,y0)0,Fy1,Fx(x0,y0)f(x,0)所以只要f(x0)0，就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程F(x,y)y f(x)0能确定出在y0的某邻域U(y0)内的连续可微隐函数x g(y)，并称它为函数y f(x)的反函数.反函数的导数是g(y)33FyFx 11.f(x)f(x)89.解:显然F(x,y)xy3axy及Fx,Fy在平面上任一点都连续，由隐函数定理知2道，在使得Fyx,
43、y 3 y ax 0的点x,y附近，方程x y 3axy 0都能确定33隐函数y f(x)；所以，它的一阶与二阶导数如下：对方程求关于x的导数（其中y是x的函数）并以 3 除之，得x2 y2yay axy 0,或x于是2ayy2axy 0.（1）ay x2y2.y2 ax 0.（2）y ax再对（1）式求导，得：2xay(2yya)y(y ax)y 0,即2y(y2ax)2ay2yy22x.（3）.专业资料.学习参考.word 格式.把（2）式代入（3）式的右边，得2a3xy 2xy(x3 y33axy)2ay2yy 2x.22(y ax)2再利用方程就得到2a3xyy 2.3(y ax)90
44、.解:由于F(0,0,0)0,Fz(0,0,0)1 0,F,Fx,Fy,Fz处处连续，根据隐函数定理18.3，在原点(0,0,0)附近能惟一确定连续可微得隐函数z f(x,y)，且可求得它得偏导数如下：Fxzyz3 2x,2xFz13xyzFyxz33y2z.yFz13xyz291.解:(1)令F(x,y,z)x y z 3xyz,则有222Fx 2x3yz,Fy 2y 3xz,Fz 2z 3xy.由于F(P0)0,Fx,Fy,Fz均连续,且Fy(P0)Fz(P0)1 0,故在点P0(1,1,1)附近由上述方程能确定隐函数y y(z,x)和z z(x,y).(2)当Fy0时,由定理知yx 同理
45、,当Fz 0时,由定理知Fx2x3yz;Fy2y 3xzzx 于是求得Fx2x3yz.Fz2z 3xy.专业资料.学习参考.word 格式.fx(x,y(z,x),z)f1 f2yx y2z32xyz3yx2xyz3(2x3yz)y z,2y3xz23fx(x,y,z(x,y)f1 f3zx y2z33xy2z2zx3xy2z2(2x3yz)y z.2z 3xy23并且有fx(1,y(1,1),1)1,fx(1,1,z(1,1)2.92.解:首先，F(P0)G(p0)0,即P0满足初始条件.再求出 F，G 的所有一阶偏导数Fx 2x,Fy 1,Fu 2u,Fv 2v,Gx y,Gy x,Gu
46、1,Gv1.容易验算，在点P0处的所有六个雅可比行列式中只有(F,G)(x,v)P0FxGxFvGvP0 44 0.11因此，只有x,v难以肯定能否作为以y,u为自变量的隐函数.除此之外，在P0的近旁任何两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数.如果我们想求得x x(u,v),y y(u,v)的偏导数，只需对方程组分别关于u,v求偏导数，得到2u 2xxu yu 0,（1）1 yx xy 0,uu2v 2xxv yv 0,（2）1 xyv yxv 0.由（1）解出xu由（2）解出2xu 12x 2yu,y .u222x y2x y.专业资料.学习参考.word 格式.xv93.解:设2x
47、v12x2yv,y .v222x y2x yF(x,y,u,v)u2v2 x2 y21,G(x,y,u,v)u v xy.(1)F,G关于u,v的雅可比行列式是(F,G)2u2v 2(uv),11(u,v)当u v时,在满足方程组的任何一点(x,y,u,v)的一个邻域内,由方程组可以唯一确定u,v是x,y的可微函数;(2)F,G关于x,u的雅可比行列式是(F,G)2x2u 2(xuy),y1(x,u)当x uy时,在满足方程组的任何一点(x,y,u,v)的一个邻域内,由方程组可以唯一确定x,u是y,v的可微函数.94.解:设F(x,y,z)x2 y2 z250，G(x,y,z)x2 y2 z2
48、.它们在(3,4,5)处的偏导数和雅可比行列式之值为：FFF8,6,10,yxzGGG8,6,10,yxz和(F,G)(F,G)(F,G)120，160，0.(y,z)(x,y)(z,x)所以曲线在(3,4,5)处的切线方程为：.专业资料.学习参考.word 格式.x 3y 4z 5，1601200即3(x3)4(y4)0,z 5.法平面方程为 4(x 3)3(y 4)0(z 5)0，即4x 3y 0.95.解:令F(x,y,z)e z xy 3,则zFx(x,y,z)y,Fy(x,y,z)x,Fz(x,y,z)ez1,故FxM01,FyM0 2,FzM0 0,因此曲面在点M0(2,1,0)处
49、的法向量为n (1,2,0),所求切平面方程为1(x2)2(y1)0,即x2y 4 0.法线方程为x2y 1,2 1z 0,即2x y3 0,z 0,96.解:这个问题实质上就是要求函数.专业资料.学习参考.word 格式.f(x,y,z)x2 y2 z2（空间点(x,y,z)到原点(0,0,0)的距离函数的平方）在条件x y z 0及x y z 1 0下的最大、日乘数法，令22最小值问题.应用拉格朗L(x,y,z,)x2 y2 z2x2 y2 zx y z 1.对L求一阶偏导数，并令它们都等于 0，则有Lx 2x 2x 0,L 2y 2y 0,yLz 2z 0,L x2 y2 z 0,L x
50、 y z 1 0.求得这方程组的解为 3与x y 5113,7 3,3313,z 23.（1）2（1）就是拉格朗日函数L(x,y,z,)的稳定点，且所求的条件极值点必在其中取得.由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数在有界闭集(x,y,z)x y z,x y z 1上连续，从而必存在最大值与最小值），故由2213 13f2,2,23所求得的两个值9 5 3，正是该椭圆到原点的最长距离95 3与最短距离95 3.97.叙述含参量x的正常积分定义.答:用积分形式所定义的这两个函数I(x)f(x,y)dy,xa,b.（1）cd与F(x)d(x)c(x)f(x,y)dy,xa,b.,（2）.专业资料