《高考数学基础突破-导数与积分-第10讲-微积分的应用.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学基础突破-导数与积分-第10讲-微积分的应用.pdf（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021 年高考数学根底突破一一导数与积分第 10 讲定积分与微积分根本定理【知识梳理】1定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间a,b上连续，用分点将区间a,b等分成n个小区间，在每个nn 小区间上任取一点j(i=1,2,，n)，作和式i=1f(EJ x=i=1ba一f(EJ，当nfg时,n上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作f(x)dx，即af(x)dxlimnf(i)b在f(x)dx中，a,b分别叫做积分下限与积分上限，区间aa,b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.2定积分的几
2、何意义bf(x)f(x)0f(x)v0f(x)在a,b上有正有负2.定积分的性质bf(x)dx的几何意义a表示由直线x=a,x=b,y=0 及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积表示由直线x=a,x=b,y=0 及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反 数表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积(1)abkf(x)dxbk f(x)dx(k为常数)；abb3.微积分根本定理一般地，如果af1ba(x)f2(x)dxcaaf1(x)dxbaf2(x)dx;f(x)dxf(x)dxcf(x)dx(其中ac2处运动到x=4单位：m处，那么力 Rx做的功为 _ 焦.19
3、.求曲线y=,x,y=2x,y=x所围成图形的面积.单位：N的作用下沿与力F相同的方向，从x=02021 年高考数学根底突破一一导数与积分第 10 讲定积分与微积分根本定理学生版，后附教师版【知识梳理】1定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间a,b上连续，用分点将区间a,b等分成n个小区间，在每个nn 小区间上任取一点j(i=1,2,，n)，作和式i=1f(EJ x=i=1nb af(EJ，当nfg时,上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作)a,b叫做积分区间，函数f(x)dx，即ba f(x)dx b a f(limi 1nn
4、ni在f(x)dx中，a,b分别叫做积分下限与积分上限，区间af(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.2定积分的几何意义bf(x)dx的几何意义af(x)f(x)0f(x)v0f(x)在a,b上有正有负2.定积分的性质babba表示由直线x=a,x=b,y=0 及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积表示由直线x=a,x=b,y=0 及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反 数表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积(1)kf(x)dx k f(x)dx(k为常数);bbt(x)abaf2(x)dxacaf1(x)dxabcf2(x)dx;f
5、(x)dx f(x)dx f(x)dx(其中ac2 时，3f(x)dxv40,kv2,2、k23f(x)dx=2(2x+1)dx+2402(x+1)dx=，化简得3k+k=0,解得k=0 或k=1.kk2(2)因为f(x)=x3+x2f(1)，所以f(x)=3x2+2xf(1).所以f(1)=3+2f(1),解得f=3.所以f(x)=x3 3x2.故2f(x)dx=2(x3 3x2)dxo=0=4.0题型 2.定积分的几何意义命题点 1.利用定积分的几何意义计算定积分【例 2定积分 勺 9-x2dx的值为_0答案)解析 由定积分的几何意义知，勺 9-x?dx是由曲线y=p9-x?，直线x=0,
6、x=3,y0=0 围成的封闭图形的面积变式训练 2.(J1x2+ex1)dx=.n1答案2+e e2解析?1(:1x2+ex1)dx=?1：1x2dx+?1(ex1)dx.因为?i1x2dx表示单位圆的上半局部的面积，即?i：1x2dx=2，而右(ex 1)dx=(exx)|1=(e1 1)(e1+1)=e 1 2，所以?i(1 x2+ex 1)dx=-+e 1 2.e2 e命题点 2 利用定积分求平面图形面积【例 3】1【2021 唐山质检】曲线y x,y 2 x,y积为S，那么S=_2x所围成的图形的面31x,y kx(k 0)所围成的去边图形的面积为2曲线y解析(1)由y=x，得交点A(
7、1,1);由y=2 13(1)2答案y=2x,x4，那么k=1 得交点B(3,1).y=3xS0依12x611x dx331xdx2x1322-x320T122x-x3321 1313636y=2-x02y=x,x=0,得y=0 x=k,2由y=kx,的面积为或2贝 V 曲线y=x2与直线y=kx(k0)所围成的曲边梯形y=k,k 2k21(kx-x)dx=qxo33x2 3433，即k3=8,k=2.【归纳总结】利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：1画出图形；2确定被积函数;3确定积分的上、下限，并求出交点坐标；4运用微积分根本定理计算定积分，求出平面 图形的面积求解时，注意要把定积分与利
8、用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定 积分是一个数值极限值，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总 为正变式训练 3.1如以下图，曲线阴影局部的面积为2A-B.313y=x2和直线x=0,x=1 及y=4 所围成的图形C.“*4由曲线y=2x?,直线y=4x-2,直线x=D.1 围成的圭寸闭图形的面积为_答案1D(2)j2 1 1 1 1 12/2解析1由Q1Xx=4，得x=2 或x=2(舍)，那么阴影局部的面积为11S=歹(4x)dx+?2(x1113x)|1131)dxxx)|14=(p 3 2+(34 2=4.解得x=1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为22解析
9、1)-X(1)+2X(1)O1(2X+4x+2)dx=(-x+2x+2x)|11=(-X1+2X1+2XOO2,32+2X(1)=罟.考点 3.定积分在物理中的应用【例 3】2021武汉调研一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速25度vt=7 3t+1+t的单位：s,v的单位：m/s行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离单位：m是A.1+25ln 5B.811+25ln C.43+25ln 5D.4+50ln 2答案 C8解析 令vt=0,得t=4 或t=3舍去，汽车行驶距离253s=4 7 3t+i+tdt=7t qt+25ln 1+too=28 24+25ln5=4+25l
10、n5(m).【根底练习稳固】1.定积分？(2x+ex)dx的值为()A.e+2 B.e+1 C.e D.e 1 答案 C解析？(2x+ex)dx=(x2+ex)|0=e.应选 C.n2.由曲线y=sinx,y=cosx与直线x=0,x=所围成的平面图形的面积是A.1B.7tC.D.2：2 2答案 Dnnnn解析 由 sinx=cosx(x(0,y),解得x=.故图中阴影局部的面积(sinx cosx)dx=(sinS=刁(cos0nx sinx)dx+x+cosx)I4+(cosxsinx)n=sin _+nnnnn4丨cos cos 0+(cos2sin)(cossin)=222.3.物体在
11、变力F(x)=5 x2(力单位：N,位移单位：m)作用下，沿与F(x)成 30方x=1 运动到x=2 时，F(x)做的功为(向作直线运动，那么由23A.：3 J B.答案 C解析？F(x)cos 303 JC.竽 J D.2 羽 J5x 3x3x232=4,3,F(x)做的功为4-.3 J.4.()2nA.5答案 BB.43C.3_a二次函数y=f(x)的图象如以下图，那么它与x轴所围成的面积为2D-2n解析 根据f(x)的图象可设f(x)=a(x+1)(x 1)(a0).因为f(x)的图象过(0,1)点，所以一a=1,即a=1.所以f(x)=(x+1)(x 1)=1 x2.1i 4所以S=乞
12、(1 X2)dx=2 汝 1 X2)dx=2(x 3X、i=2(1 3)=3.5.么m等于(A.1 B.0 C.1 D.2答案 A解析 根据定积分的几何意义知，定积分 学&-x2-2xdx的值就是函数y=寸一x2 2x的图 象与x轴及直线x=2,x=m所围成图形的面积，y=：一x2 2x是一个圆心为(一 1,0),半径为 1 的半圆，其面积等于 2,而：x2 2xdx=-，即在区间2,m上该函数图象应为 4 个圆，于是得 m=1，应选 A.6.如图,由两条曲线假设定积分?2，x 2xdx=，那)答案:2解析:y=x,得交点1),B(1,1).12y=;x,4得交点C 2,1),y=1,D(2,
13、1).1面积S 201x4dx+X2+1 dx4x32127.?(ex+x)dx=1答案 e 1解析？(ex+x)dx(ex+尹2)|05,02处运动到x 4(单位：m)处，那么力F(x)做的功为 _ 焦.答案 36(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x 0解析由题意知，力F(x)所做的功为W?F(x)dx?5dx+?(3x+4)dx=5X2+(討+4x)|4=10+|x42+4X4-(|x22+4X2)=36(焦).19.求曲线y=；x,y=2x,y=|X所围成图形的面积.解由y X 得交点A(1,1);y=2 xy=2x,由1y=ix故所求面积13得交点B(3,1).S=?+1xdx+?2x+1xdx=fx|+6x2333 26+c 12212x3x 131=3+6+3=4|10