《数学——正弦定理、余弦定理(3).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学——正弦定理、余弦定理(3).pdf（4页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、课课题题：正弦定理、余弦定理（正弦定理、余弦定理（3 3）教学目的：教学目的：1 进一步熟悉正、余弦定理内容；2 能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；3 能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；4 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式教学重点：教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向教学难点教学难点:三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求授课类型：授课类型：新授课课时安排：课时安排：1 课时教教具具：多媒体、实物投影仪教学方法教学方法：启发引导式1 启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关
2、系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2 引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用教学过程教学过程：一、复习引入：一、复习引入：正弦定理：abc 2Rsin Asin BsinC222b2 c2 a2余弦定理：a b c 2bccos A,cos A 2bcc2 a2b2b c a 2cacosB,cosB 2ca222a2b2c2c a b 2abcosC，cosC 2ab222二、讲授新课：二、讲授新课：1 正余弦定理的边角互换功能对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它 其实，在涉及到三角形的其
3、他问题中，也常会用到它们 两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决例例 1 1 已知a、b为ABC的边，A、B 分别是a、b的对角，且解：sin A2A B，求的值sinB3Babsin Aasin A3,又(这是角的关系)，sin Asin Bsin Bbsin B2a3a b3 25(这是边的关系)于是，由合比定理得.b2b22例例 2 2 已知ABC中，三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，且a、b、c成等差数列求证：sinAsinC2sinB证明：a、b、c成等差数列，ac2b(这是边的关系)abcb
4、sin A,a sin Asin BsinCsin BbsinCc sin Bbsin AbsinC将、代入，得 2b整理得 sinAsinC2sinB(这是角的关系)sin Bsin B又2 正、余弦定理的巧用某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：22例例 3 3 求 sin 20cos 803sin20cos80的值解：原式sin 20sin 102sin20sin10cos1502010150180，20、10、150可看作一个三角形的三个内角而由正弦定理知：a2sin20，b2sin10，c2sin150，代
5、入()式得：sin 20sin 102sin20sin10cos150sin 150原式22222222设这三个内角所对的边依次是a、b、c，由余弦定理得：ab2abcos150c（）1414例例 4 4 在ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2 倍，求此三角形的三边长(sin2 2sincos)分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系其中sin2 2sincos利用正弦二倍角展开后出现了cos，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的*解：设三角形的三边长分别为，1，2，其中，又设最小角为，则xx 2x 2x 2 ,cos
6、sinsin22sincos2x又由余弦定理可得（1）（2）2（1）（2）cos将代入整理得：340解之得14，21(舍)所以此三角形三边长为 4，5，62222评述：此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方程例例 5 5 已知三角形的一个角为60，面积为103c，周长为20c，求此三角形的各边长2分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知 60角的余弦，其二可用面积公式ABC1absinC表示
7、面积，其三是周长条件应用2解：设三角形的三边长分别为a、b、c，B60，则依题意得a2 c2b2cos60 2aca b c 202122acsin60 10 3b a c acac 402a b c 202222由式得：b20（ac）400ac2ac40（ac）将代入得 4003ac40（ac）0再将代入得ac13a1 5a2 8a c 13由b17，b27解得或ac 40c 8c 512所以，此三角形三边长分别为5c，7c，8c形式的面积公式的应用评述：(1)在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦(2)由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意要求学生体会其求解的
8、方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力三、课堂练习三、课堂练习：1 在ABC中，已知B=30,b=503,c=150，那么这个三角形是()A 等边三角形B直角三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形2 在ABC中，若bsinC+csinB=2bccosBcosC，则此三角形为()2222A 直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形3 在ABC中，已知 sinAsinBsinC=654，则 secA=4 ABC中，tan Asin A，则三角形为tan Bsin B5 在ABC中，角A、B均为锐角且 cosAsinB，则ABC是a2b2c2 c2且acosB bcos A，试
9、判断ABC的形状6 已知ABC中，a b c7 在ABC中，（a+b）sin(A-B)=(a-b)sin(A+B)，判断ABC的形状2222参考答案：1D 2A 3 8 4等腰三角形5钝角三角形6 等边三角形 7等腰三角形或直角三角形四、小结四、小结熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断五、课后作业：五、课后作业：1 在ABC中，已知sinAsin(AB)222，求证：a，b，c成等差数列sinCsin(BC)证明：由已知得 sin（BC）sin（BC）sin（AB）sin（AB）cos2Bcos2Ccos2Acos2B2cos2Bcos2Acos2C1cos2B1cos2A1cos2B2222sinBsinAsinC2222222222由正弦定理可得 2bac,即a，b，c成等差数列2 在ABC中，A30，cosB2sinB3sinC(1)求证：ABC为等腰三角形；(提示BC75)(2)设D为ABC外接圆的直径BE与AC的交点，且AB2，求ADDC的值答案：（1）略（2）13六、板书设计六、板书设计（略）七、课后记：七、课后记：